陜西省石泉縣高中數(shù)學 第四章 定積分 4.1.1 定積分的實際背景教案 北師大版選修2-2.doc

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1.1 定積分的實際背景—面積和路程問題2 課標要求 了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。 三維目標 （一）知識與能力： 了解求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程的共同點； （二）過程與方法： 1.體會求汽車行駛的路程有關(guān)問題的過程； 2.感受在其過程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限（逼近）。 （三）情感態(tài)度與價值觀： 認識數(shù)學在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學生學數(shù)學，用數(shù)學，完善數(shù)學的正確數(shù)學意識。 教材分析 本節(jié)的主要內(nèi)容是展現(xiàn)定積分的實際背景，形成定積分的概念.教材設(shè)計了3個實 例求曲邊梯形面積、根據(jù)物體運動的速度求路程、求物體拉力做的功，通過這些問題的解決，總結(jié)這些問題的解決思路即通過分割求和、加細、減小誤差，然后再研究提 高精確度的過程，這個過程是定積分思想的核心，為定積分概念的引人奠定了背景和方 法的基礎(chǔ)。 學情分析 學生已經(jīng)學過了求曲邊梯形面積、根據(jù)物體運動的速度求路程、求物體拉力做的功，為定積分概念的引人奠定了背景和方法的基礎(chǔ)。 教學重難點 重點：掌握過程步驟：分割、以不變代變、求和、逼近（取極限）． 難點：過程的理解． 提煉的課題 定積分的概念 教學手段運用 教學資源選擇 專家伴讀 教學過程 四、教學過程 （一）、創(chuàng)設(shè)情景 復習：1．連續(xù)函數(shù)的概念；2．求曲邊梯形面積的基本思想和步驟； 利用導數(shù)我們解決了“已知物體運動路程與時間的關(guān)系，求物體運動速度”的問題．反之，如果已知物體的速度與時間的關(guān)系，如何求其在一定時間內(nèi)經(jīng)過的路程呢？ （二）、新課探析 問題：汽車以速度組勻速直線運動時，經(jīng)過時間所行駛的路程為．如果汽車作變速直線運動，在時刻的速度為（單位：km/h），那么它在0≤≤1(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程（單位：km）是多少？ 分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸為勻速直線運動的路程問題．把區(qū)間分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每個小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無窮大就得到（單位：km）的精確值．（思想：用化歸為各個小區(qū)間上勻速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運動的路程）． 解：（1）．分割 在時間區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間： ，，…， 記第個區(qū)間為，其長度為 把汽車在時間段，，…，上行駛的路程分別記作： ，，…， 顯然， （2）近似代替 當很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認為它近似的等于左端點處的函數(shù)值，從物理意義上看，即使汽車在時間段上的速度變化很小，不妨認為它近似地以時刻處的速度作勻速直線運動，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”，于是的用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有 ① （3）求和 由①， == == 從而得到的近似值 （4）取極限 當趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有 思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認為汽車行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？ 結(jié)合上述求解過程可知，汽車行駛的路程在數(shù)據(jù)上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積． 一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在a≤≤b內(nèi)所作的位移． 例、彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力（為常數(shù)，是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長所作的功． 分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解． 解： 將物體用常力沿力的方向移動距離，則所作的功為． 1．分割 在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間： ，，…， 記第個區(qū)間為，其長度為 把在分段，，…，上所作的功分別記作：，，…， （2）近似代替 有條件知： （3）求和 = 從而得到的近似值 （4）取極限 所以得到彈簧從平衡位置拉長所作的功為： （四）、課堂小結(jié)：求汽車行駛的路程有關(guān)問題的過程。