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考點(diǎn)規(guī)范練33 基本不等式及其應(yīng)用
一、基礎(chǔ)鞏固
1.下列不等式一定成立的是( )
A.lgx2+14>lg x(x>0)
B.sin x+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.1x2+1>1(x∈R)
答案C
解析因?yàn)閤>0,所以x2+14≥2x12=x,
所以lgx2+14≥lgx(x>0),故選項(xiàng)A不正確;
當(dāng)x≠kπ,k∈Z時(shí),sinx的正負(fù)不定,故選項(xiàng)B不正確;
由基本不等式可知選項(xiàng)C正確;
當(dāng)x=0時(shí),1x2+1=1,故選項(xiàng)D不正確.
2.已知a>0,b>0,a,b的等比中項(xiàng)是1,且m=b+1a,n=a+1b,則m+n的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案B
解析由題意知ab=1,則m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,故m+n=2(a+b)≥4ab=4(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),等號(hào)成立).
3.小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(a
2ab2b=a,
∴2a+b<1ab,即2aba+b0,b>0)對(duì)稱(chēng),則1a+4b的最小值為( )
A.8 B.9 C.16 D.18
答案B
解析由圓的對(duì)稱(chēng)性可得,直線(xiàn)ax-2by+2=0必過(guò)圓心(-2,1),所以a+b=1.
所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab≥5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab,即2a=b=23時(shí)等號(hào)成立,故選B.
5.若正數(shù)x,y滿(mǎn)足4x2+9y2+3xy=30,則xy的最大值是( )
A.43 B.53 C.2 D.54
答案C
解析由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2(2x)(3y)+3xy(當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)等號(hào)成立),
則12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值為2.
6.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)
C.(-2,4) D.(-4,2)
答案D
解析因?yàn)閤>0,y>0,2x+1y=1,
所以x+2y=(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+2≥8,
當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy,即x=2y時(shí)等號(hào)成立.
由x+2y>m2+2m恒成立,
可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-41,b>1,若ax=by=3,a+b=23,則1x+1y的最大值為( )
A.2 B.32 C.1 D.12
答案C
解析由ax=by=3,1x+1y=1loga3+1logb3=lga+lgblg3=lg(ab)lg3,
又a>1,b>1,所以ab≤a+b22=3,
所以lg(ab)≤lg3,
從而1x+1y≤lg3lg3=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)等號(hào)成立.
8.已知x>1,則logx9+log27x的最小值是 .
答案263
解析∵x>1,∴l(xiāng)ogx9+log27x=2lg3lgx+lgx3lg3≥223=263,當(dāng)且僅當(dāng)x=36時(shí)等號(hào)成立.
∴l(xiāng)ogx9+log27x的最小值為263.
9.某公司購(gòu)買(mǎi)一批機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場(chǎng)分析,每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位:年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(x∈N*).則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn) 年時(shí),年平均利潤(rùn)最大,最大值是 萬(wàn)元.
答案5 8
解析每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為yx=18-x+25x,而x>0,所以yx≤18-225=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí),年平均利潤(rùn)最大,最大值為8萬(wàn)元.
10.(2018天津,文13)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則2a+18b的最小值為 .
答案14
解析∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6.
∵a,b∈R,∴2a>0,18b>0.
∴2a+18b≥22a-3b=22-6=14,
當(dāng)且僅當(dāng)2a=18b,即a=-3,b=1時(shí)取等號(hào).
11.某種飲料分兩次提價(jià),提價(jià)方案有兩種,方案甲:第一次提價(jià)p%,第二次提價(jià)q%;方案乙:每次都提價(jià)p+q2%,若p>q>0,則提價(jià)多的方案是 .
答案乙
解析設(shè)原價(jià)為a,則方案甲提價(jià)后為a(1+p%)(1+q%),方案乙提價(jià)后為a1+p+q2%2.
由于(1+p%)(1+q%)<(1+p%)+(1+q%)22
=1+p+q2%2,
因此提價(jià)多的是方案乙.
12.設(shè)a,b均為正實(shí)數(shù),求證:1a2+1b2+ab≥22.
證明因?yàn)閍,b均為正實(shí)數(shù),所以1a2+1b2≥21a21b2=2ab,
當(dāng)且僅當(dāng)1a2=1b2,即a=b時(shí),等號(hào)成立,
又因?yàn)?ab+ab≥22abab=22,
當(dāng)且僅當(dāng)2ab=ab時(shí),等號(hào)成立,
所以1a2+1b2+ab≥2ab+ab≥22,
當(dāng)且僅當(dāng)1a2=1b2,2ab=ab,即a=b=42時(shí),等號(hào)成立.
二、能力提升
13.已知不等式2x2-axy+y2≥0對(duì)任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.a≤22 B.a≥22 C.a≤113 D.a≤92
答案A
解析因?yàn)?x2-axy+y2≥0,且y≠0,
所以2xy2-axy+1≥0.
令t=xy,則不等式變?yōu)?t2-at+1≥0.
由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈13,2,
即2t2-at+1≥0在t∈13,2時(shí)恒成立.
由2t2-at+1≥0可得a≤2t2+1t,即a≤2t+1t.
又2t+1t≥22t1t=22.
當(dāng)且僅當(dāng)2t=1t,即t=22時(shí)等號(hào)成立,所以2t+1t取得最小值22,所以有a≤22,故選A.
14.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都成立,則實(shí)數(shù)a的最小值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案D
解析令f(y)=|y+4|-|y|,
則f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.
∵不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都成立,
∴2x+a2x≥f(y)max=4,
∴a≥-(2x)2+42x=-(2x-2)2+4恒成立;
令g(x)=-(2x)2+42x,
則a≥g(x)max=4,∴實(shí)數(shù)a的最小值為4.
15.已知x>0,a為大于2x的常數(shù).
(1)求函數(shù)y=x(a-2x)的最大值;
(2)求y=1a-2x-x的最小值.
解(1)∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=122x(a-2x)≤122x+(a-2x)22=a28,當(dāng)且僅當(dāng)x=a4時(shí)取等號(hào),
故函數(shù)y=x(a-2x)的最大值為a28.
(2)y=1a-2x-x=1a-2x+a-2x2-a2≥212-a2=2-a2,當(dāng)且僅當(dāng)x=a-22時(shí)取等號(hào).
故y=1a-2x-x的最小值為2-a2.
16.某工廠(chǎng)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元,每生產(chǎn)x千件,需另投入成本為C(x)(單元:萬(wàn)元),當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),C(x)=13x2+10x(單位:萬(wàn)元).當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時(shí),C(x)=51x+10000x-1 450(單位:萬(wàn)元).每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元.通過(guò)市場(chǎng)分析,該廠(chǎng)生產(chǎn)的商品能全部售完.
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)L(x)(單位:萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:千件)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠(chǎng)在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?
解(1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為0.05萬(wàn)元,則x千件商品銷(xiāo)售額為0.051000x萬(wàn)元,依題意得,當(dāng)0
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