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第09節(jié) 函數(shù)的綜合問題與實際應用
【考綱解讀】
考 點
考綱內(nèi)容
5年統(tǒng)計
分析預測
函數(shù)的簡單應用
能將一些簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)問題，并給予解決.
2014?浙江理10；
2015?浙江文20；理18；
2016?浙江文12，20；理18；
2017?浙江17.；
2018?浙江7,11，15.
1.會從實際問題中抽象出函數(shù)模型，進而利用函數(shù)知識求解；
2.函數(shù)的綜合應用.
3.常與二次函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、基本不等式及導數(shù)等知識交匯．
4.備考重點
（1）一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及其他函數(shù)模型.
（2）函數(shù)的綜合應用.
【知識清單】
1. 常見的幾種函數(shù)模型
(1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0).
(2)反比例函數(shù)模型：y＝(k≠0).
(3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0).
(4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝abx＋c(b>0，b≠1，a≠0).
(5)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0).
2.指數(shù)、對數(shù)及冪函數(shù)三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
性質(zhì)
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增減性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行
隨n值變化而各有不同
值的比較
存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax
200時，y>5，不滿足公司的要求；
（2）對于y＝1.003x，易知滿足①，但當x>538時，不滿足公司的要求；
（3）對于y＝ln x＋1，易知滿足①.
當x∈[10,1 000]時，y≤ln 1 000＋1.
下面證明ln 1 000＋1<5.
∵ln 1 000＋1－5＝ln 1 000－4＝(ln 1 000－8)＝(ln 1 000－ln 2 981)<0，滿足②.
再證明ln x＋1≤x25%，即2ln x＋4－x≤0.
設F(x)＝2ln x＋4－x，則F′(x)＝－1＝<0，x∈[10,1 000]，
∴F(x)在[10,1 000]上為減函數(shù)，F(xiàn)(x)max＝F(10)＝2ln 10＋4－10＝2ln 10－6＝2(ln 10－3)<0，滿足③.
綜上，獎勵模型y＝ln x＋1能完全符合公司的要求．
考點5 函數(shù)的綜合應用
【5-1】【2018年浙江卷】我國古代數(shù)學著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設雞翁，雞母，雞雛個數(shù)分別為，，，則當時，___________，___________．
【答案】 8 11
【解析】分析:將z代入解方程組可得x,y值.
詳解：
點睛：實際問題數(shù)學化，利用所學的知識將陌生的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的性質(zhì)，是解決這類問題的突破口．
【5-2】【騰遠2018年（浙江卷）紅卷】已知函數(shù)，函數(shù).若對任意的，都存在，使得成立，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】分析：由題意，若對任意的，都存在，使得成立，即有成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和絕對值不等式，分別求解函數(shù)和的最小值，得到不等式，即可求解.
詳解：因為函數(shù)，所以，
由題意，若對任意的，都存在，使得成立，
即有成立，
又由，
因為，且，
所以，當時取等號，即的最小值為，
所以，解得，即的取值范圍是.
【5-3】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1，
設．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．
（Ⅱ）由已知可得，所以可化為，
化為，令，則，因，故，
記，因為，故，
所以的取值范圍是．
【領(lǐng)悟技法】
1.函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點，令f(x)＝0，有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)＜0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點個數(shù)；(3)利用圖象交點個數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù).
2.求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法.在求分段函數(shù)的最值時，應先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值.
【觸類旁通】
【變式一】【2017天津，文8】已知函數(shù)設，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】
【解析】
【變式二】已知函數(shù),當時，設的最大值為，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】設，則，由于，則，所以將以上三式兩邊相加可得，即，應填答案.
【易錯試題常警惕】
易錯典例：如圖所示，在矩形中，已知，（，在、、、上分別截取、、、都等于，當為何值時，四邊形的面積最大？求出這個最大面積.
易錯分析：忽略了實際問題中自變量的取值范圍，，由于，所以當時，
自變量不能取到，面積不能取得最大值.
綜上所述，若，當時面積取得最大值；
若，當時面積取得最大值.
溫馨提醒：解決此類問題，關(guān)鍵是利用已知條件，建立函數(shù)模型，然后化簡整理函數(shù)解析式.
【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】
數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休——數(shù)形結(jié)合思想
我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.
向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標表示和坐標運算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應用向量解決問題或解答向量問題時，要注意恰當?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想，將復雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達到事半功倍的效果.
利用函數(shù)處理方程解的問題，方法如下：
(1)方程f(x)＝a在區(qū)間I上有解?a∈{y|y＝f(x)，x∈I}?y＝f(x)與y＝a的圖象在區(qū)間I上有交點．
(2)方程f(x)＝a在區(qū)間I上有幾個解?y＝f(x)與y＝a的圖象在區(qū)間I上有幾個交點．
一般地，在探究方程解的個數(shù)或已知解的個數(shù)求參數(shù)的范圍時，常采用轉(zhuǎn)化與化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，從而可利用數(shù)形結(jié)合的方法給予直觀解答．
【典例】【2018屆天津市河東區(qū)二?！恳阎瘮?shù)滿足，當時，，若在區(qū)間上方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：首先根據(jù)題意，求得函數(shù)在相應的區(qū)間上的解析式，之后在同一個坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖像，之后將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為對應曲線交點的個數(shù)問題，結(jié)合圖形，得到結(jié)果.
詳解：當時，， ，
在同一坐標系內(nèi)畫出的圖像，
動直線過定點，當再過時，斜率，
由圖象可知當時，兩圖象有兩個不同的交點，
從而有兩個不同的零點，故選D.
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