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第10講 函數(shù)的圖像
1.描點法作圖
其基本步驟是列表、描點、連線,具體為:
首先:①確定函數(shù)的定義域;②化簡函數(shù)解析式;③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性).
其次:列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標(biāo)軸的交點).
最后:描點,連線.
2.圖像變換
變換
類型
變換前
變換方法
變換后
平移
變換
y=f(x)
的圖像
a>0,右移a個單位;a<0,左移|a|個單位
y= 的圖像
b>0,上移b個單位;b<0,下移|b|個單位
y= 的圖像
(續(xù)表)
變換
類型
變換前
變換方法
變換后
對稱
變換
y=f(x)
的圖像
關(guān)于x軸對稱
y= 的圖像
關(guān)于y軸對稱
y= 的圖像
關(guān)于原點對稱
y= 的圖像
y=ax(a>0
且a≠1)
的圖像
關(guān)于直線y=x對稱
y=
的圖像
伸縮
變換
y=f(x)
的圖像
a>1,橫坐標(biāo)縮短為原來的1a,縱坐標(biāo)不變;
0
1,縱坐標(biāo)伸長為原來的a倍,橫坐標(biāo)不變;
01,若互不相等的實數(shù)p,q,r滿足f(p)=f(q)=f(r),則2p+2q+2r的取值范圍是 ( )
A.(8,16) B.(9,17)
C.(9,16) D.172,352
(2)[2018廈門質(zhì)檢] 已知函數(shù)f(x)=|log2x|,00且a≠1) f(ax) af(x) y=|f(x)| y=f(|x|)
對點演練
1.y=0 [解析] y=log1ax=-logax,故兩個函數(shù)圖像關(guān)于x軸,即直線y=0對稱.
2.x=0 [解析] y=1ax=a-x,故兩個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸,即直線x=0對稱.
3.y=x [解析] 兩個函數(shù)互為反函數(shù),故兩個函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對稱.
4.③ [解析] 將y=|1-x2|兩邊平方,得y2=|1-x2|(y≥0),即x2+y2=1(y≥0)或x2-y2=1(y≥0),所以③正確.
5.y=(2x+3)2 [解析] 得到的是y=[2(x+1)+1]2=(2x+3)2的圖像.
6.y=ln12x [解析] 根據(jù)伸縮變換方法可得,所求函數(shù)解析式為y=ln12x.
7.-log2(x-1) [解析] 與f(x)的圖像關(guān)于直線y=x對稱的圖像所對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=-log2x,再將其圖像右移1個單位得到h(x)=-log2(x-1)的圖像.
8. [解析] y=1,00,解得-20,
得-11,
故排除選項A,D.
f(2)=ln2-12=ln32>0,故排除選項C.
故選B.
3.C [解析] 函數(shù)f(x)=log2(2x-1),x>0,log2(1-2x),x<0,所以當(dāng)x>0時,函數(shù)為增函數(shù),當(dāng)x<0時,函數(shù)為減函數(shù),可排除A,B.又易知x<0時,f(x)<0,排除D,故選C.
4.D [解析] 當(dāng)x=1時,y=0,即函數(shù)圖像過點(1,0),由選項中圖像可知,只有D符合.
例5 [思路點撥] 由圖像逐一判斷即可.
D [解析] 從圖像可以看出函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱,函數(shù)為偶函數(shù),所以A錯;當(dāng)x=0時,y>0,所以B錯;當(dāng)x>0時,函數(shù)圖像與x軸有兩個交點,而對于C,y=ex-x>0恒成立,所以C錯;對于D,y=2x-x2=0有兩個解,所以滿足題意.所以選D.
例6 [思路點撥] 先求出當(dāng)x≥0時不等式f(x)≤12的解集,然后利用函數(shù)為偶函數(shù)求出整個定義域上不等式f(x)≤12的解集,最后再求出不等式f(x-1)≤12的解集.
A [解析] 當(dāng)x∈0,12時,由f(x)=cos πx=12,得πx=π3,解得x=13;
當(dāng)x∈12,+∞時,由f(x)=2x-1=12,解得x=34.
畫出當(dāng)x≥0時函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,
結(jié)合圖像可得,當(dāng)x≥0時,不等式f(x)≤12的解集為x13≤x≤34.
因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù),
所以當(dāng)x<0時,不等式f(x)≤12的解集為x-34≤x≤-13,
所以不等式f(x)≤12的解集為x-34≤x≤-13或13≤x≤34.
由-34≤x-1≤-13或13≤x-1≤34,
解得14≤x≤23或43≤x≤74,
故不等式f(x-1)≤12的解集為14,23∪43,74.
故選A.
例7 [思路點撥] 將方程f(x)=g(x)的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)圖像的交點個數(shù)問題.
A [解析] 先求函數(shù)g(x)的解析式.
當(dāng)x>0時,-x<0,
∴f(-x)=2x2-4x+1,故g(x)=-f(-x)=-2x2+4x-1;
當(dāng)x<0時,-x>0,
∴f(-x)=2e-x=2ex,故g(x)=-f(-x)=-2ex.
又g(0)=-f(0)=-2,
∴g(x)=-f(-x)=-2x2+4x-1,x>0,-2ex,x≤0.
在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)f(x),g(x)的圖像,實線為f(x)的圖像,虛線為g(x)的圖像,可得兩函數(shù)的圖像有4個交點,故方程f(x)=g(x)的根的個數(shù)為4.故選A.
例8 [思路點撥] (1)作出函數(shù)圖像,可以得出2p+2q=1,從而再得出r的范圍即可;(2)分別作出y=f(x)和y=fx+12的圖像,找到兩函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)即可.
(1)B (2)D [解析] (1)不妨設(shè)p52,即m∈(-∞,2)∪(5,+∞).又f(x)=ex-mx在(3,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)=ex-m≥0在(3,+∞)上恒成立,∴m≤e3.綜上,m∈(-∞,2)∪(5,e3],故選B.
3.B [解析] 作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖像(圖略),由圖像可知,f(x)與g(x)的圖像有2個交點,故方程f(x)=g(x)有2個解,故選B.
4.0,52 [解析] 設(shè)g(x)=5-mx,則函數(shù)g(x)的圖像是過點(0,5)的直線.
在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)和g(x)的圖像,如圖所示.
∵不等式f(x)≤5-mx恒成立,
∴函數(shù)f(x)的圖像上的任意一點不在函數(shù)g(x)的圖像的上方.
結(jié)合圖像可得:
①當(dāng)m<0時,不成立;
②當(dāng)m=0時,成立;
③當(dāng)m>0時,需滿足g(2)=5-2m≥0,解得00.故選B.
例2 [配合例4使用] 將函數(shù)f(x)=e1-x的圖像向左平移1個單位得到曲線C1,而且曲線C1與函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,則g(x)的解析式為 ( )
A.g(x)=e2-x B.g(x)=ex-2
C.g(x)=ex D.g(x)=e-x
[解析] C 將函數(shù)f(x)=e1-x的圖像向左平移1個單位,得到函數(shù)y=e1-(x+1)=e-x的圖像,即曲線C1:y=e-x.∵曲線C1與函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,∴g(x)=ex,故選C.
例3 [配合例6使用] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)在(-∞,-4)上是減函數(shù),若g(x)=f(x-4)是奇函數(shù),且g(4)=0,則不等式f(x)≤0的解集是 ( )
A.(-∞,-8]∪(-4,0]
B.[-8,-4)∪[0,+∞)
C.[-8,-4]∪[0,+∞)
D.[-8,0]
[解析] C ∵g(x)=f(x-4)是奇函數(shù),
∴函數(shù)g(x)=f(x-4)的圖像的對稱中心為(0,0),
∴函數(shù)f(x)的圖像的對稱中心為(-4,0).
又函數(shù)f(x)在(-∞,-4)上是減函數(shù),
∴函數(shù)f(x)在(-4,+∞)上為減函數(shù),且f(-4)=g(0)=0.
∵g(4)=f(0)=0,
∴f(-8)=0.
畫出函數(shù)f(x)圖像的草圖(如圖),
結(jié)合圖像可得,f(x)≤0的解集是[-8,-4]∪[0,+∞).故選C.
例4 [配合例7使用] 已知函數(shù)f(x)=log12(1-x),x<1,3x-1,x≥1,若方程f(x)-a=0有三個不同的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是 ( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,2]
D.(0,+∞)
[解析] A 由f(x)-a=0得a=f(x).
畫出函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,且當(dāng)x≥3時,函數(shù)y=f(x)的圖像以直線y=1為漸近線.
結(jié)合圖像可得,當(dāng)0
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