高中數(shù)學 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念 2.1.2 函數(shù)的表示方法自主訓練 蘇教版必修1

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1、 2.1.2 函數(shù)的表示方法 自主廣場 我夯基 我達標 1.一個面積為100 cm2的等腰梯形，上底長為x cm，下底長為上底長的3倍，則把它的高y表示成x的函數(shù)為( ) A.y=50x(x＞0) B.y=100x(x＞0) C.y=(x＞0) D.y=(x＞0) 思路解析：由y=100得2xy=100,∴y=(x＞0). 答案:C 2.下列圖形是函數(shù)y=-|x|(x∈［-2，2］)的圖象的是( ) 思路解析：y=-|x|= 其中y=-x(

2、0≤x≤2)是直線y=-x上滿足0≤x≤2的一條線段(包括端點)，y=x是直線y=x上滿足-2≤x＜0的一條線段(包括左端點)，其圖象在原點及x軸下方. 答案:B 3.已知f(x)的定義域為［-2，2］，則f(x2-1)的定義域為( ) A.［-1，］ B.［0，］ C.［-，］ D.［-4，4］ 思路解析：∵-2≤x2-1≤2，∴-1≤x2≤3，即0≤x2≤3， 因此0≤|x|≤，-≤x≤. 答案:C 4.設f(x)=，則f()是( ) A.f(x) B.-f(x)

3、 C. D. 思路解析：∵f(x)=，∴f()==f(x). 答案:A 5.某城市出租車按如下方法收費：起步價6元，可行3 km(不含3 km)，3 km后到10 km(不含10 km)每走1 km加價0.5元，10 km后每走1 km加價0.8元，某人坐出租車走了12 km，他應交費____________元. 思路解析：把收費y元看成所求路程x km的函數(shù)，當0＜x＜3時應交6元,當3≤x＜10時應交6+70.5=9.5元, ∴當x=12時，y=9.5+0.83=11.9元. 答案:11.9 6.設f(x)=則f｛f［f(-)］｝的值為__

4、________，f(x)的定義域是__________. 思路解析：∵-1＜-＜0，∴f(-)=2(-)+2=， 而0＜＜2，∴f()=-=-. ∵-1＜-＜0，∴f(-)=2(-)+2=. 因此f｛f［f(-)］｝=. 函數(shù)f(x)的定義域為｛x｜-1≤x＜0｝∪｛x｜0＜x＜2＝∪｛x｜x≥2｝=｛x｜x≥-1且x≠0｝. 答案: ｛x｜x≥-1且x≠0｝ 7.如圖，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式是_________，這個函數(shù)的定義域為_________. 思路解析：據(jù)長方體

5、的體積公式，易得V=x(a-2x)2，其中0＜x＜. 答案:V=x(a-2x)2 {x|0＜x＜} 8.已知f(1-)=x，求f(x). 思路解析：設1-=t，用換元法，同時應注意函數(shù)的定義域. 答案:設1-=t，則x=(1-t)2.∵x≥0,∴t≤1. ∴f(t)=(1-t)2(t≤1).∴f(x)=(x-1)2(x≤1). 9.作出下列函數(shù)的圖象： (1)y=|x-1|+2|x-2|； (2)y=|x2-4x+3|. 思路解析：先寫出函數(shù)的解析式，再畫出其圖象. 解答：(1)y=|x-1|+2|x-2|= 函數(shù)y=|x-1|+2|x

6、-2|的圖象如左下圖所示. (2)y=|x2-4x+3|= 函數(shù)y=|x2-4x+3|的圖象如右上圖所示. 10.設H(x)=畫出函數(shù)y=H(x-1)的圖象. 思路解析：先求y=H(x-1)的函數(shù)解析式，再畫其圖象. 解答：由H(x)=得到H(x-1)= 畫出函數(shù)H(x-1)的圖象，如圖所示. 11.A、B兩地相距150 km，某汽車以每小時50 km的速度從A地到B地，在B地停留2小時之后，又以每小時60 km的速度返回A地.寫出該車離開A地的距離s(km)關(guān)于時間t(h)的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖象. 思路解析：該車離開A地的距離s(km

7、)關(guān)于時間t(h)的函數(shù)為分段函數(shù)，先寫出其解析式，再畫出其圖象. 解答：汽車由A地到B地共需=3(h), 由B地返回A地共需=2.5(h), ∴s= 畫出函數(shù)圖象如圖所示： 12.如右圖，梯形OABC各頂點的坐標分別為O(0，0)，A(6，0)，B(4，2)，C(2，2).一條與y軸平行的動直線l從O點開始作平行移動，到A點為止.設直線l與x軸的交點為M，OM=x，記梯形被直線l截得的在l左側(cè)的圖形的面積為y.求函數(shù)y=f(x)的解析式，定義域，值域以及f［f()］的值. 思路解析：這是由數(shù)學問題產(chǎn)生出函數(shù)關(guān)系的例子，結(jié)果是個分段定義函數(shù).分段定義函數(shù)是一個函數(shù)，它在各“

8、段”的對應法則是對定義域作分類而給出的，體現(xiàn)了整體和局部的關(guān)系.以上兩種思想是認識分段定義函數(shù)的指導思想.如題圖，由于點M在OA上的位置不同，題中所說的圖形形狀、求其面積的方法就不同，從而應對M點的位置，即x的取值作出分類討論. 解答：當0≤x≤2時，圖形為等腰直角三角形，此時y=xx=x2;當2＜x≤4時，圖形為一個直角梯形，它又可分割成一個等腰直角三角形(確定的)與一個矩形，此時y=22+(x-2)2=2x-2;當4＜x≤6時，圖形為一個五邊形，它可看作是原梯形去掉一個等腰直角三角形(位于直線右側(cè))，此時y=(6+2)2-(6-x)2=-x2+6x-10. 于是y=f(x)= 并且函

9、數(shù)y=f(x)的定義域是[0，6]. 又當0≤x≤2時,0≤x2≤2;當2＜x≤4時,2＜2x-2≤6; 當4＜x≤6時,6＜-x2+6x-10≤8. 所以函數(shù)y=f(x)的值域為[0，2]∪(2，6]]∪(6，8]，即為[0，8]. 由于∈（2,4）,故f()=2-2=5. 又5∈（4,6）,故f(5)=-52+65-10=. 于是f［f()］=f(5)=. 13.用長為l的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架(如圖)，若矩形底邊長為2x，求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域. 思路解析：求函數(shù)的定義域，如果是實際問題除應考慮函數(shù)解析式本身有定義外，還應

10、考慮實際問題有意義，如本題注意到矩形的長2x、寬a必須滿足2x＞0和a＞0，即l-πx-2x＞0. 解答：由題意知，此框架圍成的面積是由一個矩形和一個半圓組成的圖形的面積，而矩形的長AB=2x，寬為a.則有2x+2a+πx=l， 即a=-x-x，半圓的直徑為2x，半徑為x. 所以y=+(-x-x)2x=-(2+)x2+lx. 根據(jù)實際意義知-x-x＞0，因x＞0，解得0＜x＜， 即函數(shù)y=-(2+)x2+lx的定義域是{x|0＜x＜}. 14.國內(nèi)跨省市之間郵寄信函，每封信函的質(zhì)量和對應的郵資如下表： 信函質(zhì)量(m)/g 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60

11、＜m≤80 80＜m≤100 郵資(M)/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 畫出圖象，并寫出函數(shù)M=f(m)的解析式. 思路解析：此題為分段函數(shù)，注意端點值. 解答：郵資是信函質(zhì)量的函數(shù)，函數(shù)圖象如下圖. 函數(shù)的解析式為M= 我綜合 我發(fā)展 15.設二次函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(2-x)，且f(x)=0的兩個實根的平方和為10，f(x)的圖象過點(0，3)，求f(x)的解析式. 思路解析:要求的函數(shù)為二次函數(shù)，一般可設其為f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，然后根據(jù)已知條件求出系數(shù)a、b、c，從而求得該二次函數(shù).由于本題條

12、件f(2+x)=f(2-x)隱含著函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，故可設函數(shù)f(x)=a(x-2)2+k. 解答：∵f(2+x)=f(2-x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱. 于是，設f(x)=a(x-2)2+k(a≠0)， 則由f(0)=3，可得k=3-4a， ∴f(x)=a(x-2)2+3-4a=ax2-4ax+3. ∵ax2-4ax+3=0的兩實根的平方和為10， ∴10=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-. ∴a=1.∴f(x)=(x-2)2-1=x2-4x+3. 我創(chuàng)新 我超越 16.如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬2 m，渠深

13、1.8 m，邊坡的傾角是45. (1)試用解析表達式將橫斷面中水的面積A(m2)表示成水深h(m)的函數(shù)； (2)確定函數(shù)的定義域和值域； (3)畫出函數(shù)的圖象. 思路解析：利用等腰梯形的性質(zhì)解決問題. 解答：(1)由已知，橫斷面為等腰梯形，下底為2 m，上底為(2+2h) m，高為h m， ∴水的面積A==h2+2h. (2)定義域為{h|0＜h＜1.8}. 值域由二次函數(shù)A=h2+2h(0＜h＜1.8)求得. 由函數(shù)A=h2+2h=(h+1)2-1的圖象可知， 在區(qū)間(0，1.8)上函數(shù)為增函數(shù)，所以0＜A＜6.84. 故值域為{A|0＜A＜6.84}. (

14、3)函數(shù)圖象如下確定. 由于A=(h+1)2-1，對稱軸為直線h=-1， 頂點坐標為(-1，-1)，且圖象過(0，0)和(-2，0)， 又考慮到0＜h＜1.8， ∴A=h2+2h的圖象僅是拋物線的一部分，如右圖所示. 17.如右圖，動點P從邊長為4的正方形ABCD的頂點B開始，順次經(jīng)C、D、A繞周界運動，用x表示點P的行程，y表示△APB的面積，求函數(shù)y=f(x)的解析式. 思路解析：由P點的運動方向知，當P運動到BC、CD、DA上時，分別對應的解析式不同，因此這是個分段函數(shù). 解答：由已知，得y= 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375