高中數學 第二章 函數概念與基本初等函數I 2.1 函數的概念 2.1.1 函數的概念和圖象1學案 蘇教版必修1

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1、 2．1．1　函數的概念和圖象 第1課時　函數的概念 1．體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，理解函數的概念． 2．了解構成函數的三要素：定義域、對應法則、值域，會求一些簡單函數的定義域和值域． 函數的概念 一般地，設A，B是兩個非空的數集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它對應，那么這樣的對應叫做從A到B的一個函數，通常記為y＝f(x)，x∈A． 其中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數y＝f(x)的定義域． 若A是函數y＝f(x)的定義域，則對于A中的每一個x，都有一個輸出值y與之對應．我們將所有輸出值y組成

2、的集合稱為函數的值域． 符號y＝f(x)是“y是x的函數”的數學表示，應理解為x是自變量，它是法則所施加的對象；f是對應法則，它可以是一個或幾個解析式，也可以是圖象、表格或文字描述；y是自變量的函數，當x允許取某一個具體數值時，相應的y值與之對應．“y＝f(x)”僅僅是函數符號，還可用“y＝g(x)”“y＝F(x)”“y＝G(x)”等來表示函數關系． 【做一做1－1】已知f(x)＝＋，則f(7)＝__________． 答案：5 【做一做1－2】求下列函數的定義域和值域． (1)y＝；(2)y＝＋3． 解：(1)定義域：(－∞，0)∪(0，＋∞)， 值域：(－∞，0)∪(0，

3、＋∞)； (2)定義域：［1，＋∞)，值域：［3，＋∞)． 1．三種基本初等函數的定義域和值域 剖析：(1)一次函數f(x)＝kx＋b(k≠0)的定義域是R，值域是R． (2)反比例函數f(x)＝(k≠0)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是R．當a＞0時，值域是；當a＜0時，值域是． 2．如何判斷兩個函數是同一函數 剖析：只有當兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數才是同一函數，這就是說：(1)定義域不同，兩個函數不同；(2)對應法則不同，兩個函數也是不同的；(3)

4、即使是定義域和值域分別相同的兩個函數，它們也不一定是同一函數，因為函數的定義域和值域不能惟一地確定函數的對應法則．例如，函數y＝x＋1與y＝x－1，它們的定義域都是R，值域都是R，也就是說，這兩個函數的定義域和值域都分別相同，但它們的對應法則是不同的，因此不能說這兩個函數是同一函數．由于值域可以由定義域和對應法則惟一確定，所以兩個函數當且僅當定義域與對應法則分別相同時，才是同一函數． 題型一 函數的概念 【例1】下列四組函數中，f(x)與g(x)表示同一函數的有__________． ①f(x)＝，g(x)＝()4 ②f(x)＝x，g(x)＝ ③f(x)＝1，g(x)＝1(x≠

5、0) ④f(x)＝x－1，g(x)＝|x－1| 解析：若兩個函數能表示同一個函數，則必須滿足：①定義域相同；②對應法則相同． 對于①，兩函數的定義域不同，其中f(x)的定義域為{x|x∈R}，g(x)的定義域為{x|x≥0}；對于②，定義域、值域和對應法則都相同，所以f(x)與g(x)表示同一函數；對于③，定義域不同，其中f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為{x|x≠0}；④的對應法則不同． 答案：② 反思：一般地，函數的定義域和對應法則確定，值域就隨之確定，因此判斷兩個函數是否為同一函數，只需判斷它們的定義域和對應法則是否分別相同即可． 題型二 求函數的定義域 【例2】求

6、下列函數的定義域： (1)y＝2＋； (2)y＝·； (3)y＝． 分析：給定函數時，要指明函數的定義域．對于用解析式表示的函數，如果沒有給出定義域，那么就認為函數的定義域是指使函數有意義的自變量的取值集合． 解：(1)要使函數有意義，必須滿足x－2≠0成立，即x≠2，所以這個函數的定義域為{x|x∈R，且x≠2}． (2)要使函數有意義，必須滿足成立，解得1≤x≤3， 所以這個函數的定義域為{x|x∈R，且1≤x≤3}． (3)要使函數有意義，必須滿足成立，解得x＞－1，所以這個函數的定義域為{x|x＞－1}． 反思：一般地，求函數的定義域就是求使函數解析式有意義

7、的自變量的取值的集合： (1)解析式是整式的函數，其定義域為R； (2)解析式是分式的函數，其定義域為使分母不為零的實數的集合； (3)解析式是偶次根式的函數，其定義域是使被開方式為非負數的實數的集合； (4)如果解析式是由實際問題得出的，則其定義域是同時使實際問題和解析式有意義的實數的集合； (5)求函數的定義域的步驟通常是先根據題意列不等式(組)，再解不等式(組)，而后得出結論． 題型三 求函數的值域 【例3】求下列函數的值域： (1)y＝；(2)y＝． 分析：求函數的值域沒有統(tǒng)一的方法．如果函數的定義域是有限個值，那么就可將函數值都求出得到值域；如果函數的定義域是無數

8、個值時，則可根據函數表達式的特點采取相應的方法來求其值域，如觀察法、配方法、換元法等． 解：(1)(觀察法)y＝＝2＋． 因為x≠3，≠0， 所以y≠2．故所求函數的值域為{y|y≠2}． (2)(逐步求解法)先分離常數，y＝＝＝1－．∵x2＋1≥1，∴0＜≤1． ∴－2≤1－＜1．∴y∈［－2,1)． 題型四 求已知函數的函數值 【例4】已知f(x)＝x2＋1，g(x)＝， (1)求f(2)和g(a)； (2)求f［g(1)］和g［f(x)］． 分析：求某個函數的某個函數值，就是將自變量用相應的代數式或數替換，然后化簡即可；求f［g(a)］時，一般遵循先里后外的原則，先

9、求g(a)，然后將f(x)解析式中的x代換為g(a)，同時要注意函數的定義域． 解：(1)f(2)＝22＋1＝5，g(a)＝． (2)f［g(1)］＝＋1＝； g［f(x)］＝g(x2＋1)＝＝． 反思：要正確理解f(a)的含義．如果自變量取a，則由對應法則f確定的y的值稱為函數在a處的函數值，記作f(a)；求某個函數的函數值時，還要正確理解對應法則“f”和“g”的含義． 1已知函數f(x)＝，則函數f［f(x)］的定義域是__________． 解析：由條件得：f［f(x)］＝， 從而由得之． 答案：{x|x≠－1，且x≠－2} 2設f(x)＝，又記f1(x)＝f(x)

10、，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，則f2010(x)等于__________． 解析：因f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝＝－， f3(x)＝f(f2(x))＝＝， f4(x)＝f(f3(x))＝＝x， 所以它的規(guī)律是以4為周期，從而由2 010＝4×502＋2，得f2 010(x)＝f2(x)． 答案：－ 3函數y＝(x∈R)的值域是______． 解析：(方法一)由y＝，得x2＝． ∴≥0．解之，得0≤y＜1． (方法二)y＝＝1－， ∵x2＋1≥1，∴－1≤－＜0．∴0≤y＜1． 答案：［0,1) 已知P＝{x|

11、0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列對應不表示從P到Q的函數的有__________． (1)f：x→y＝x (2)f：x→y＝x (3)f：x→y＝x (4)f：x→y＝ 解析：因為當x＝4時，y＝6不在集合Q中，(3)不符合函數的定義，其他均符合． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375