高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念 2.1.2 函數(shù)的表示方法學(xué)案 蘇教版必修1

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1、 2．1．2　函數(shù)的表示方法 1．在實際情境中，會根據(jù)不同的要求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)． 2．理解同一函數(shù)可以用不同的方法表示． 1．函數(shù)的表示方法 (1)列表法：用列表來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法． (2)解析法：用等式來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法，這個等式通常叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式． (3)圖象法：用圖象來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法． 1．列表法表示函數(shù)的優(yōu)點在于不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應(yīng)的函數(shù)值．這種方法常應(yīng)用到實際生產(chǎn)和生活中． 2．圖象法表示函數(shù)的優(yōu)點是通過圖象可以直接觀察出函數(shù)的變化趨勢．氣象臺應(yīng)用自動記錄儀器描繪

2、溫度隨時間變化的曲線，工廠的生產(chǎn)圖象及股市走向圖等，就是用圖象法表示函數(shù)關(guān)系的． 3．用解析法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點：一是簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系；二是可以通過解析式求出任意一個自變量所對應(yīng)的函數(shù)值． 【做一做1－1】客車從甲地以60km/h的速度勻速行駛1小時到達(dá)乙地，在乙地停留了0．5 h，然后以80km/h的速度勻速行駛1 h到達(dá)丙地．下列描述客車從甲地出發(fā)，經(jīng)過乙地，最后到達(dá)丙地所經(jīng)過的路程s與時間t之間關(guān)系的圖象中，正確的是__________． 答案：③ 【做一做1－2】某種杯子每只0．5元，買x只，所需錢數(shù)為y元，分別用列表法、圖象法、解析法將y表示成x(x∈{1,

3、2,3,4})的函數(shù)． 解：(1)列表法： x/只 1 2 3 4 y/元 0．5 1 1．5 2 (2)圖象法(如下圖)． (3)解析法：y＝0．5x，x∈{1,2,3,4}． 2．分段函數(shù) 在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達(dá)式．像這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)．生活中有很多可以用分段函數(shù)描述實際問題的模型，如出租車的計費、個人所得稅納稅額等． 分段函數(shù)的圖象由幾個不同部分組成，作分段函數(shù)圖象時，應(yīng)根據(jù)不同定義域上的不同解析式分別作出． 分段函數(shù)的定義域應(yīng)為各段上自變量取值的并集，如函數(shù)y＝的定義域為{x|x＞0}．

4、 分段函數(shù)定義域是各段自變量取值集合的并集，值域是各段函數(shù)值集合的并集，在作圖時，要特別注意每段端點的虛實． 【做一做2】在實際問題中，常常使用表格，有些表格描述了兩個變量的函數(shù)關(guān)系，比如，國內(nèi)跨省市之間郵寄信函，每封信函的質(zhì)量和對應(yīng)郵資如下表： 信函質(zhì)量 m/g 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80 80＜m≤100 郵資M/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 畫出函數(shù)圖象并寫出它的解析式． 解：圖象如圖． 解析式為： 1．如何求函數(shù)解析式？ 剖析：對于基本初等函數(shù)，通過待定系數(shù)法求之，即利用方程思

5、想． 對于實際應(yīng)用問題，通常是研究自變量、函數(shù)與其他量之間的等量關(guān)系，從而將函數(shù)用自變量和其他量之間的關(guān)系表示出來，但不要忘記確定自變量的取值范圍．如已知等腰三角形的周長為12，則底邊長x與腰長y之間的函數(shù)關(guān)系是y＝6－x，其中x∈(0,6)． 2．如何理解分段函數(shù)？ 剖析：(1)分段函數(shù)的表達(dá)式是分段表示的，即函數(shù)與自變量的關(guān)系不是只滿足一個式子，而是在不同范圍內(nèi)有不同的對應(yīng)法則，這樣的函數(shù)關(guān)系是分段函數(shù)． (2)分段函數(shù)的定義域應(yīng)為各段上自變量取值的并集，這一點與函數(shù)y＝＋的定義域的求法不相同． (3)作分段函數(shù)的圖象時，特別注意端點處點的虛實，如函數(shù)y＝的圖象為 (4)分

6、段函數(shù)的表示法是解析法的一種形式．函數(shù)y＝不能寫成y＝22－6x,0＜x＜11或y＝－44，x≥11． 分段函數(shù)的表達(dá)式因其特點可以分成兩個或兩個以上的不同表達(dá)式，所以其圖象也是由幾部分組成的，可以是由光滑的曲線段組成，也可以是孤立的點或幾段線段組成；求分段函數(shù)的函數(shù)值的關(guān)鍵是“分段歸類”，即自變量的取值屬于哪一區(qū)間，就用哪一區(qū)間上的解析式． 題型一 求函數(shù)解析式 【例1】(1)已知函數(shù)f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； (2)已知f(＋4)＝x＋8，求f(x2)； (3)已知函數(shù)y＝f(x)滿足2f(x)＋＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)； (4)已知一次函數(shù)

7、f(x)滿足f［f(x)］＝4x－1，求f(x)． 分析：求解析式的方法較多，如配湊法、換元法、方程法、待定系數(shù)法等，關(guān)鍵在于弄清對于“x”而言，“f”是怎樣的對應(yīng)法則，至于選擇什么符號表示自變量沒有關(guān)系．要特別注意正確確定中間變量的取值范圍，如(2)中設(shè)＋4＝t≥4，否則就不能正確確定f(x)的定義域． 解：(1)方法一(換元法)： 令t＝x＋1，則x＝t－1，代入得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2， ∴f(t)＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6． 方法二(配湊法)： ∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴

8、f(x)＝x2－5x＋6． (2)方法一(配湊法)：∵f(＋4)＝x＋8＝(＋4)2－16，∴f(x)＝x2－16(x≥4)． ∴f(x2)＝x4－16(x≤－2，或x≥2)． 方法二(換元法)：設(shè)＋4＝t≥4， 則＝t－4，x＝(t－4)2， ∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16． ∴f(x)＝x2－16(x≥4)． ∴f(x2)＝x4－16(x≤－2，或x≥2)． (3)(方程法)∵x∈R，且x≠0， 由2f(x)＋＝2x，① 將x換成，則換成x， 得＋f(x)＝．② ①2－②，得3f(x)＝4x－， 即f(x)＝－． (4)(待定系數(shù)法)∵f(x

9、)是一次函數(shù)， ∴設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)， 則f［f(x)］＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x－1． ∴?或 ∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1． 反思：對于已知f［g(x)］的表達(dá)式，求f(x)的表達(dá)式的問題，一般方法是換元法，即設(shè)g(x)＝t，解出用t表示x的表達(dá)式，代入求得f(x)的解析式．在用換元法解這類題時，特別要注意正確確定中間變量t的取值范圍． 若題目中已知函數(shù)f(x)的函數(shù)類型，一般采用待定系數(shù)法，如第(4)小題，由于已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，故可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)． 題型二 分段函數(shù)的圖象與應(yīng)用 【例2】

10、試作出函數(shù)y＝|x－1|和y＝|x－1|＋|x＋2|的圖象． 分析：y＝|x－1|＝ y＝|x－1|＋|x＋2|＝ 解：y＝|x－1|的圖象如圖(1)． y＝|x－1|＋|x＋2|的圖象如圖(2)． 反思：畫帶絕對值符號的簡單函數(shù)的圖象的基本方法是先求函數(shù)的定義域，然后化簡函數(shù)解析式，就是去絕對值符號． (1)帶一個絕對值符號的函數(shù)，根據(jù)絕對值的意義去絕對值符號． (2)帶兩個或兩個以上絕對值符號的問題，常用“零點分段法”去絕對值符號，從而把函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，然后作圖．如本題(2)，令x－1＝0，得x＝1；令x＋2＝0，得x＝－2． －2和1把數(shù)軸分成三部分(如下圖所

11、示)． 【例3】設(shè)函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)＞f(1)的解集是__________． 解析：因f(1)＝12－41＋6＝3，所以原不等式可化為f(x)＞3．作出原函數(shù)的圖象，如下圖所示． 再作出直線y＝3，其交點坐標(biāo)分別為(－3,3)，(1,3)和(3,3)，從圖象觀察即得． 答案：(－3,1)∪(3，＋∞) 反思：作為填空題，可利用數(shù)形結(jié)合的方法求解不等式，此方法直觀、簡潔、準(zhǔn)確． 題型三 實際應(yīng)用問題 【例4】通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間．講座開始時，學(xué)生的興趣激增，中間有一段不太長的時間，學(xué)生的興趣

12、保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散．分析結(jié)果表明，用f(x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力，f(x)的值越大，表示接受的能力越強(qiáng)，x表示提出和講授概念的的講授時間(單位：分鐘)，可有以下的公式： f(x)＝ (1)開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多長時間？ (2)開講后5分鐘與開講后20分鐘比較，學(xué)生的接受能力何時強(qiáng)一些？ (3)一道數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及13分鐘的講授時間，老師能否及時在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道難題？ 解：(1)開講10分鐘后，學(xué)生的接受能力值為59，達(dá)到最強(qiáng)，并維持6分鐘． (2)f(5)＝－0.152＋2.65＋43

13、＝53.5； f(20)＝－320＋107＝47， 所以開講后5分鐘學(xué)生的接受能力比開講后20分鐘強(qiáng)一些． (3)當(dāng)0＜x≤10時，f(x)＝－0．1x2＋2．6x＋43＝－0．1(x－13)2＋43＋16．9，f(x)max＝f(10)＝59．令55≤f(x)≤59，解得6≤x≤10． 所以6≤x≤10時，f(x)∈［55,59］，即開講后10分鐘里，學(xué)生只有后4分鐘接受能力在55以上，然后有6分鐘接受能力維持在59； 當(dāng)16＜x≤30時，f(x)＝－3x＋107． 令f(x)≥55，解得x≤，即在這段時間里，學(xué)生只有分鐘接受能力維持在55以上． 綜上所述，開講后學(xué)生共有4＋6

14、＋＝分鐘接受能力在55以上，故老師不能在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道難題． 反思：實際問題往往都有一個陌生的情境，它需要我們仔細(xì)閱讀題意．如果題中給的數(shù)量比較多，可以逐個理解和研究，然后把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解． 1設(shè)函數(shù)f(x)＝則的值為__________． 解析：因為f(2)＝22＋2－2＝4，所以＝， ＝＝1－＝． 答案： 2某城市出租車按如下方法收費：起步價6元，可行3 km(含3 km)，3 km后到10 km(含10 km)每走1 km加價0.5元，10 km后每走1 km加價0.8元，某人坐出租車走了12 km，他應(yīng)交費___

15、___元． 解析：把收費y元看成所走路程x km的函數(shù)， 當(dāng)0＜x≤3時，應(yīng)交6元； 當(dāng)3＜x≤10時，應(yīng)交6＋(x－3)0.5＝4.5＋0.5x(元)； 當(dāng)x＞10時，應(yīng)交4.5＋0．510＋(x－10)0．8＝1.5＋0.8x(元)． ∴當(dāng)x＝12時，y＝1.5＋0．812＝11.1(元)． 答案：11.1 3某客運公司確定客票價格的方法是：如果行程不超過100千米，票價是每千米0．5元，如果超過100千米，超過部分按每千米0．4元定價，則客運票價y(元)與行程數(shù)x(千米)之間的函數(shù)關(guān)系式是__________． 解析：根據(jù)行程是否大于100千米來求出解析式， 由題意，得

16、當(dāng)0＜x≤100時，y＝0.5x， 當(dāng)x＞100時，y＝1000.5＋(x－100)0.4＝10＋0.4x． 答案：y＝ 已知函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函數(shù)，g(x)是x的反比例函數(shù)，＝16，h(1)＝8，求h(x)及其定義域． 分析：本題中已知函數(shù)的模型，用待定系數(shù)法求解析式． 解：設(shè)f(x)＝k1x(k1≠0)，g(x)＝(k2≠0)， 則h(x)＝k1x＋． 由題意得 解得 所以h(x)＝3x＋，定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 5已知函數(shù)f(x)＝ (1)畫出函數(shù)的圖象； (2)求f(1)，f(－1)的值． 分析：分別作出f(x)在x＞0，x＝0，x＜0各段上的圖象，合在一起得函數(shù)的圖象． 解：(1)如圖所示． (2)f(1)＝12＝1，f(－1)＝－＝1． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375