一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第九章 第九節(jié)　曲線與方程 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 一、填空題 1．長度為定值a的線段，兩端點分別在x軸，y軸上移動，則線段中點P的軌跡方程是________． 解析：設(shè)線段在x軸、y軸上的端點分別為A(xA,0)，B(0，yB)，線段AB的中點P的坐標(biāo)為(x，y)， 由中點坐標(biāo)公式，得x＝， y＝，則xA＝2x，yB＝2y，又|AB|＝a， 所以＝＝a，即x2＋y2＝()2，即線段中點P的軌跡方程是x2＋y2＝()2. 答案：x2＋y2＝()2 2．已知點F(，0)，直線l：x＝－，點B是l上的動點．若過B垂直于y軸的直

2、線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是________． 解析：由已知：|MF|＝|MB|.由拋物線定義知，點M的軌跡是以F為焦點，l為準(zhǔn)線的拋物線． 答案：拋物線 3．已知直線l：y＝kx＋1與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方程為________． 解析：直線l與y軸的交點為N(0,1)，圓心C(2,3)， 設(shè)M(x，y)，∵M(jìn)N與MC所在直線垂直， ∴·＝－1(x≠0且x≠2)， 當(dāng)x＝0時不符合題意，當(dāng)x＝2時，y＝3符合題意， ∴AB中點的軌跡方程為： x2＋y2－2x－4y＋3＝0(<x<

3、)． 答案：x2＋y2－2x－4y＋3＝0(<x<) 4．設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點，線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為________． 解析：M為AQ垂直平分線上一點，則 |AM|＝|MQ|， ∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5， ∴點M的軌跡是以C、A為焦點的橢圓． ∴a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 答案：＋＝1 5．已知定點F1、F2和動點P滿足|－|＝2，|＋|＝4，則點P的軌跡為________． 解析：以F1F2所

4、在直線為x軸，以F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系如圖． ∵|－|＝||＝2， ∴F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)． 設(shè)P(x，y)，則＝(－1－x，－y)， ＝(1－x，－y)， ∴＋＝(－2x，－2y)． ∴|＋|＝＝4，即x2＋y2＝4. ∴點P的軌跡是圓． 答案：圓 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P到點F(3,0)的距離的4倍與它到直線x＝2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)點P運(yùn)動時，d恒等于點P的橫坐標(biāo)與18之和，則點P的軌跡C是____________________________________________． 解析：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)， 則d

5、＝4＋3|x－2|，由題設(shè)知， d＝18＋x，即4＋3|x－2|＝18＋x.① 當(dāng)x>2時，由①得＝6－x， 化簡得＋＝1. 當(dāng)x≤2時，由①得＝3＋x， 化簡得y2＝12x. 故點P的軌跡C是由橢圓C1：＋＝1在直線x＝2的右側(cè)部分與拋物線C2：y2＝12x在直線x＝2的左側(cè)部分(包括它與直線x＝2的交點)所組成的曲線． 答案：由橢圓C1：＋＝1在直線x＝2的右側(cè)部分與拋物線C2：y2＝12x在直線x＝2的左側(cè)部分(包括它與直線x＝2的交點)所組成的曲線 7．△ABC中，A為動點，B、C為定點，B(－，0)，C(，0)，且滿足條件sin C－sin B＝sin A，則動

6、點A的軌跡方程是________． 解析：由正弦定理：－＝×， ∴|AB|－|AC|＝|BC|，且為雙曲線的右支． ∴動點A的軌跡方程為－＝1(x>0且y≠0)． 答案：－＝1(x>0且y≠0) 8．平面內(nèi)與定點(－1,2)和直線3x＋4y－5＝0的距離相等的點的軌跡是________． 解析：∵(－1,2)在直線3x＋4y－5＝0上， ∴軌跡是過定點(－1,2)且垂直于3x＋4y－5＝0的直線． 答案：直線 9．已知定點A(2,0)，它與拋物線y2＝x上的動點P連線的中點M的軌跡方程是________． 解析：設(shè)P(x1，y1)，M(x，y)，則y＝

7、x1.① 又M為AP中點， ∴， ∴代入①得 (2y)2＝2x－2，即y2＝(x－1)． 答案：y2＝(x－1) 二、解答題 10．已知拋物線y2＝2x，O為頂點，A、B為拋物線上兩動點，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB，垂足為M，求M點的軌跡． 解析：解法一　設(shè)直線OA的方程為y＝kx， 則直線OB的方程為y＝－x. 由得k2x2＝2x，則x＝0或x＝， ∴A點坐標(biāo)為(，)，將A點坐標(biāo)中的k換為－， 可得B點坐標(biāo)(2k2，－2k)， 則直線AB的方程為y＋2k＝(x－2k2)， 即y＝(x－2)．① 又直線OM的方程為y＝x，② ①×②整理得(x－1

8、)2＋y2＝1(x≠0) 所求軌跡為以(1,0)為圓心，半徑為1的圓(去掉原點)． 解法二　求直線AB的方程同解法一．直線AB過N(2,0)點，因此△OMN為直角三角形， ∴點M在以O(shè)N為直徑的圓上運(yùn)動，點M的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1(x≠0)． 11．已知曲線C：y＝x2與直線l：x－y＋2＝0交于兩點A(xA，yA)和B(xB，yB)，且xA<xB.記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為D.設(shè)點P(s，t)是L上的任一點，且點P與點A和點B均不重合． 若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程． 解析： 如圖所示，由題

9、意得A(－1,1)，B(2,4)，Q(，)，－1<s<2. 設(shè)線段PQ的中點M的坐標(biāo)為(x，y)，則 ∴ 又P(s，t)在曲線y＝x2上， ∴t＝s2(－1<s<2)． 即2y－＝(2x－)2(－1<2x－<2)， 整理得y＝2x2－x＋(－<x<)． ∴線段PQ的中點M的軌跡方程為： y＝2x2－x＋(－<x<)． 12．設(shè)動圓M滿足條件p：經(jīng)過點F(，0)，且與直線l：x＝－相切．記動圓圓心M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程； (2)已知點M1為軌跡C上縱坐標(biāo)為m的點，以M1為圓心滿足條件p的圓與x軸相交于

10、點F、A(A在F的右側(cè))，又直線AM1與軌跡C相交于兩個不同點M1、M2，當(dāng)OM1⊥OM2(O為坐標(biāo)原點)時，求直線M1M2的斜率． 解析：(1)由題意可知點M到點F(，0)的距離與點M到直線x＝－的距離相等， ∴點M的軌跡C是以點F為焦點，以l為準(zhǔn)線的拋物線， 故所求軌跡C的方程為y2＝2x. (2)∵M(jìn)1在拋物線y2＝2x上， ∴M1的坐標(biāo)為(，m)， 則點A的坐標(biāo)為(m2－，0)， 又點A在點F的右側(cè)，∴必有m2－>，即m2>1， ∴直線AM1的方程為y＝(x－m2＋)． 設(shè)M1(x1，y1)，M2(x2，y2)， 由 ?y2－y＋＝0，顯然Δ>0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝1－2m2， ∴x1x2＝(y1y2)2＝， 當(dāng)OM1⊥OM2時， 有·＝0，即x1x2＋y1y2＝0， ∴＋1－2m2＝(1－2m2)(＋1)＝0. 又m2>1，∴m2＝，m＝±， 此時M1的坐標(biāo)為(，±)，則點A的坐標(biāo)為(2,0)， ∴直線M1M2的斜率為k＝＝±.