一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習(xí)：第七章 第二節(jié)　簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)規(guī)范練 A組　基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 1．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為(　　) A．12π　　　　　　　 B.π C．8π D．4π 解析：由正方體的體積為8可知，正方體的棱長(zhǎng)a＝2.又正方體的體對(duì)角線是其外接球的一條直徑，即2R＝a(R為正方體外接球的半徑)，所以R＝，故所求球的表面積S＝4πR2＝12π. 答案：A 2．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　) A.π B．4π C．4π D．6π 解

2、析：設(shè)球的半徑為R，由球的截面性質(zhì)得R＝＝，所以球的體積V＝πR3＝4π. 答案： B 3．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：該幾何體由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱組合而成，直觀圖如圖所示， V＝V柱＋V錐＝(1＋1)12＋(1＋1)12＝，故選C. 答案：C 4．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(實(shí)線和虛線)表示的是某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積為(　　) A．24π B．29π C．48π D．58π 解析：如圖，在324的長(zhǎng)方體中構(gòu)造符合題意的幾何體(三棱錐ABCD)，其外接球

3、即為長(zhǎng)方體的外接球，表面積為4πR2＝π(32＋22＋42)＝29π. 答案：B 5．(20xx西安質(zhì)量檢測(cè))某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D．3 解析：根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是下部為直三棱柱，上部為三棱錐的組合體，如圖所示，則該幾何體的體積是V幾何體＝V三棱柱＋V三棱錐＝211＋211＝.故選A. 答案：A 6．(20xx山西四校聯(lián)考)若三棱錐PABC的最長(zhǎng)的棱PA＝2，且各面均為直角三角形，則此三棱錐的外接球的體積是________． 解析：如圖，根據(jù)題意，可把該三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則該三棱錐的外接球即該長(zhǎng)方體的

4、外接球，易得外接球的半徑R＝PA＝1，所以該三棱錐的外接球的體積V＝π13＝π. 答案：π 7．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，則棱錐EABCD的體積為_(kāi)_______． 解析：如圖所示，BE過(guò)球心O，∴DE＝＝2， ∴VE－ABCD＝32＝2. 答案：2 8．已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為_(kāi)_______． 解析：如圖，設(shè)截面小圓的半徑為r，球的半徑為R，因?yàn)锳H∶HB＝1∶2，所以O(shè)H＝R.由勾

5、股定理，有R2＝r2＋OH2，又由題意得πr2＝π，則r＝1，故R2＝1＋(R)2，即R2＝.由球的表面積公式，得S＝4πR2＝. 答案： 9．(20xx高考全國(guó)卷Ⅱ)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置． (1)證明：AC⊥HD′； (2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱錐D′ABCFE的體積． 解析：(1)證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD. 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF. 由此得EF⊥HD，EF⊥HD′，所以AC⊥HD′. (2)由EF∥AC得

6、＝＝. 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4. 所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3. 于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2， 故OD′⊥OH. 由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H， 所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′. 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以O(shè)D′⊥平面ABC. 又由＝得EF＝. 五邊形ABCFE的面積S＝68－3＝. 所以五棱錐D′ABCFE的體積V＝2＝. 10.如圖，在四棱錐SABCD中，四邊形ABCD為矩形，E為SA的中點(diǎn)，SA＝SB＝2，AB＝2，BC＝3. (1)證明：SC∥平面BDE； (2)若B

7、C⊥SB，求三棱錐CBDE的體積． 解析：(1)證明：連接AC，設(shè)AC∩BD＝O， ∵四邊形ABCD為矩形，則O為AC的中點(diǎn)． 在△ASC中，E為AS的中點(diǎn)，∴SC∥OE， 又OE?平面BDE，SC?平面BDE，∴SC∥平面BDE. (2)∵BC⊥AB，BC⊥SB，AB∩SB＝B， ∴BC⊥平面SAB，又BC∥AD，∴AD⊥平面SAB. ∵SC∥平面BDE， ∴點(diǎn)C與點(diǎn)S到平面BDE的距離相等， ∴VCBDE＝VSBDE＝VDSBE， 在△ABS中，SA＝SB＝2，AB＝2， ∴S△ABS＝21＝. 又∵E為AS的中點(diǎn)，∴S△BES＝S△ABS＝. 又點(diǎn)D

8、到平面BES的距離為AD， ∴VDBES＝S△BESAD＝3＝， ∴VCBDE＝，即三棱錐CBDE的體積為. B組　能力提升練 1．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體外接球的表面積為(　　) A．36π B.π C．32π D．28π 解析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，其底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，高是2.將該四棱錐補(bǔ)形成一個(gè)三棱柱，如圖所示，則其底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，高是4，該三棱柱的外接球即為原四棱錐的外接球．∵三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，∴底面三角形的中心到該三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離為2＝，∴外接球的半徑R＝ ＝，外接球的表面積S＝4πR2＝

9、4π＝，故選B. 答案：B 2．(20xx廣州模擬)《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)為鱉臑．若三棱錐PABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為(　　) A．8π B．12π C．20π D．24π 解析：如圖，因?yàn)樗膫€(gè)面都是直角三角形，所以PC的中點(diǎn)到每一個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，即PC的中點(diǎn)為球心O，易得2R＝PC＝，所以R＝，球O的表面積為4πR2＝20π，選C. 答案：C 3．在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為

10、V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B. C．6π D. 解析：由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個(gè)側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過(guò)直三棱柱的高，所以這個(gè)球放不進(jìn)去，則球可與上下底面相切，此時(shí)球的半徑R＝，該球的體積最大，Vmax＝πR3＝＝. 答案：B 4．四棱錐SABCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，其表面積等于8＋8，則球O的體積等于(　　) A. B. C．16π D. 解析：依題意，設(shè)球O的半徑為R，

11、四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為a、高為h，則有h≤R，即h的最大值是R，又AC＝2R，則四棱錐SABCD的體積VSABCD＝2R2h≤.因此，當(dāng)四棱錐SABCD的體積最大，即h＝R時(shí)，其表面積等于(R)2＋4R ＝8＋8，解得R＝2，因此球O的體積等于＝，選A. 答案：A 5．多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的體積為_(kāi)_______cm3. 解析：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，如圖所示，在三棱錐DABC中，底面ABC是等腰三角形，設(shè)底邊AB的中點(diǎn)為E，則底邊AB及底邊上的高CE均為4，側(cè)棱AD⊥平面ABC，且AD＝4，所以三棱錐DABC的體積V＝S△ABCAD＝444

12、＝(cm3)． 答案： 6．已知正四棱錐OABCD的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為_(kāi)_______． 解析：過(guò)O作底面ABCD的垂線段OE(圖略)，則E為正方形ABCD的中心．由題意可知()2OE＝，所以O(shè)E＝，故球的半徑R＝OA＝＝，則球的表面積S＝4πR2＝24π. 答案：24π 7．如圖，已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形，PA＝6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G. (1)證明：G是AB的中點(diǎn)； (2)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由)，并求四面體PD

13、EF的體積． 解析：(1)證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以AB⊥PD. 因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E，所以AB⊥DE. 因?yàn)镻D∩DE＝D， 所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG. 又由已知，可得PA＝PB，所以G是AB的中點(diǎn)． (2)在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影． 理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.因此EF⊥平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影． 連接CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心． 由(1)知，G是AB的中

14、點(diǎn)，所以D在CG上，故CD＝CG. 由題設(shè)可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC. 由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2. 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2， 所以四面體PDEF的體積V＝222＝. 8．如圖所示，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60，AB＝2，AD＝4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD. (1)求證：AB⊥DE； (2)求三棱錐EABD的側(cè)面積和體積． 解析：(1)證明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60， ∴BD＝＝2

15、. ∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD. 又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD， ∴AB⊥平面EBD.又DE?平面EBD，∴AB⊥DE. (2)由(1)知AB⊥BD. ∵CD∥AB，∴CD⊥BD，從而DE⊥BD. 在Rt△DBE中，∵DB＝2，DE＝DC＝AB＝2， ∴S△EDB＝DBDE＝2. ∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，∴AB⊥BE. ∵BE＝BC＝AD＝4， ∴S△EAB＝ABBE＝4. ∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD， ∴ED⊥平面ABD，而AD?平面ABD， ∴ED⊥AD，∴S△EAD＝ADDE＝4. 綜上，三棱錐EABD的側(cè)面積S＝S△EDB＋S△EAB＋S△EAD＝8＋2. ∵DE⊥平面ABD， 且S△ABD＝S△EBD＝2，DE＝2， ∴VEABD＝S△ABDDE＝22＝.