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1、
高考數學精品復習資料
2019.5
1．若a，b是函數f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則p＋q的值等于( )
A．6 B．7
C．8 D．9
答案 D
解析 由題可知a，b是x2－px＋q＝0的兩根，
∴a＋b＝p>0，ab＝q>0，故a，b均為正數．
∵a，b，－2適當排序后成等比數列，
∴－2是a，b的等比中項，得ab＝4，
∴q＝4.又a，b，－2適當排序后成等差數列，
所以－2是第一項或
2、第三項，不防設a0，
∴a＝1，此時b＝4，
∴p＝a＋b＝5，
∴p＋q＝9，選D.
2.設Sn為等比數列{an}的前n項和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數列，則an＝________.
答案 3n－1
解析 由3S1,2S2，S3成等差數列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，則3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.
3．設Sn是數列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝
3、________.
答案?。?
解析 ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，∴是等差數列，且公差為－1，而＝＝－1，∴＝－1＋(n－1)(－1)＝－n，∴Sn＝－.
4.設n∈N*，xn是曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標．
(1)求數列{xn}的通項公式；
(2)記Tn＝xx…x，證明：Tn≥.
解 (1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線斜率為2n＋2，
從而切線方程為y－2＝(2n＋2)(x－1)．
令y＝0，解得切線與x軸交
4、點的橫坐標xn＝1－＝.
(2)證明：由題設和(1)中的計算結果知
Tn＝xx…x＝22…2.
當n＝1時，T1＝.
當n≥2時，因為x＝2＝>＝＝.
所以Tn>2…＝.
綜上可得對任意的n∈N*，都有Tn≥.
5．設等差數列{an}的公差為d，點(an，bn)在函數f(x)＝2x的圖象上(n∈N*)．
(1)若a1＝－2，點(a8,4b7)在函數f(x)的圖象上，求數列{an}的前n項和Sn；
(2)若a1＝1，函數f(x)的圖象在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2－，求數列的前n項和Tn.
解 (1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，有2a8＝42a7
5、＝2a7＋2.解得d＝a8－a7＝2.所以，Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.
(2)函數f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，它在x軸上的截距為a2－.
由題意，a2－＝2－，解得a2＝2.所以，d＝a2－a1＝1.
從而an＝n，bn＝2n.
所以Tn＝＋＋＋…＋＋，
2Tn＝＋＋＋…＋.因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.所以，Tn＝.
6．已知數列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．若{an}為等比數列，且a1＝2，b3＝6＋b2.
(1)求an與bn；
(2)設c
6、n＝－(n∈N*)．記數列{cn}的前n項和為Sn.
①求Sn；
②求正整數k，使得對任意n∈N*均有Sk≥Sn.
解 (1)由題意a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6，
知a3＝()＝8，又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)，
所以數列{an}的通項為an＝2n(n∈N*)．
所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)．
故數列{bn}的通項為bn＝n(n＋1)(n∈N*)．
(2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)，所以Sn＝－(n∈N*)．
②因為c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，
當n≥5時，cn＝，
而－＝>0，
得≤<1.
所以，
7、當n≥5時，cn<0.
綜上，對任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4.
7．設數列{an}的前n項和為Sn，若對任意的正整數n，總存在正整數m，使得Sn＝am，則稱{an}是“H數列”．
(1)若數列{an}的前n項和Sn＝2n(n∈N*)，證明：{an}是“H數列”；
(2)設{an}是等差數列，其首項a1＝1，公差d<0.若{an}是“H數列”，求d的值；
(3)證明：對任意的等差數列{an}，總存在兩個“H數列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．
解 (1)證明：由已知，當n≥1時，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是對任意的正整數n，
8、總存在正整數m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.
所以{an}是“H數列”．
(2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.因為{an}是“H數列”，所以存在正整數m，使得S2＝am，即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1.
因為d<0，所以m－2<0，故m＝1，從而d＝－1.
當d＝－1時，an＝2－n，Sn＝是小于2的整數，n∈N*.
于是對任意的正整數n，總存在正整數m＝2－Sn＝2－，使得Sn＝2－m＝am.所以{an}是“H數列”．因此d的值為－1.
(3)證明：設等差數列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d＝na1＋(n－1)(d－a1)(n∈N*)．令bn＝na1，cn＝(n－1)(d－a1)，則an＝bn＋cn(n∈N*)．
下證{bn}是“H數列”．
設{bn}的前n項和為Tn，則Tn＝a1(n∈N*)．于是對任意的正整數n，總存在正整數m＝，使得Tn＝bm.所以{bn}是“H數列”．
同理可證{cn}也是“H數列”．
所以，對任意的等差數列{an}，總存在兩個“H數列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．
數學理一輪對點訓練：642 數列的綜合應用 Word版含解析
