高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第2節(jié) 函數(shù)的單調性與最大小值學案 文 北師大版

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第二節(jié)　函數(shù)的單調性與最大(小)值 [考綱傳真]　1.理解函數(shù)的單調性、最大(小)值及其幾何意義.2.會運用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質． (對應學生用書第9頁) [基礎知識填充] 1．函數(shù)的單調性 (1)單調函數(shù)的定義 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 在函數(shù)f(x)的定義域內的一個區(qū)間A上，如果對于任意兩數(shù)x1，x2∈A 當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是增加的 當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就稱函

2、數(shù)f(x)在區(qū)間A上是減少的 圖像 描述 自左向右看圖像是上升的 自左向右看圖像是下降的 (2)單調區(qū)間的定義 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是增加的或是減少的，那么就稱A為單調區(qū)間． 2．函數(shù)的最大(小)值 前提 函數(shù)y＝f(x)的定義域為D 條件 (1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M； (2)對于任意x∈D，都有f(x0)≤M (3)存在x0∈D，使得f(x)＝M； (4)對于任意x∈D，都有f(x0)≥M. 結論 M為最大值 M為最小值 [知識拓展] 　 函數(shù)單調性的常用結論 (1)對任意x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0?f(x)在D

3、上是增函數(shù)，＜0?f(x)在D上是減函數(shù)． (2)對勾函數(shù)y＝x＋(a＞0)的增區(qū)間為(－∞，－]和[，＋∞)，減區(qū)間為[－，0)和(0，]． (3)在區(qū)間D上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù)． (4)函數(shù)f(g(x))的單調性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調性的關系是“同增異減”． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)對于函數(shù)f(x)，x∈D，若對任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增加的．(　　) (2)函數(shù)y＝的單

4、調遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (3)函數(shù)y＝|x|在R上是增加的．(　　) (4)函數(shù)y＝x2－2x在區(qū)間[3，＋∞)上是增加的，則函數(shù)y＝x2－2x的單調遞增區(qū)間為[3，＋∞)．(　　) [答案]　(1)√　(2)　(3)　(4) 2．(20xx深圳二次調研)下列四個函數(shù)中，在定義域上不是單調函數(shù)的是(　　) A．y＝x3 B．y＝ C．y＝　　　 D．y＝x C　[選項A，B中函數(shù)在定義域內均為單調遞增函數(shù)，選項D為在定義域內為單調遞減函數(shù)，選項C中，設x1＜x2(x1，x2≠0)，則y2－y1＝－＝，因為x1－x2＜0，當x1，x2同號時x1

5、x2＞0，－＜0，當x1，x2異號時x1x2＜0，－＞0，所以函數(shù)y＝在定義域上不是單調函數(shù)，故選C．] 3．(教材改編)已知函數(shù)f(x)＝，x∈[2,6]，則f(x)的最大值為________，最小值為________． 2　　[可判斷函數(shù)f(x)＝在[2,6]上為減函數(shù)，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.] 4．函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b在R上是減函數(shù)，則k的取值范圍是________． 　[由題意知2k＋1＜0，得k＜－.] 5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的單調增區(qū)間為________，f(x)max＝________. [1,3

6、]　8　[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的單調增區(qū)間為[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.] (對應學生用書第10頁) 函數(shù)單調性的判斷 　(1)(20xx全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) (2)試討論函數(shù)f(x)＝x＋(k＞0)的單調性． 【導學號：00090017】 (1)D　[由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2. 設t＝x2－2x－8，則y＝ln t在t∈(0，＋∞)上為增函數(shù)． 欲求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間，即

7、求函數(shù)t＝x2－2x－8的單調遞增區(qū)間． ∵函數(shù)t＝x2－2x－8的單調遞增區(qū)間為(4，＋∞)， ∴函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(4，＋∞)． 故選D．] (2)法一：由解析式可知，函數(shù)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)內任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1). 因為0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0. 故當x1，x2∈(，＋∞)時，f(x1)＜f(x2)， 即函數(shù)在(，＋∞)上是增加的． 當x1，x2∈(0，)時，f(x1)＞f(x2)， 即函數(shù)在(0，)上是減少

8、的． 考慮到函數(shù)f(x)＝x＋(k＞0)是奇函數(shù)，在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調性，故在(－∞，－)上是增加的，在(－，0)上是減少的． 綜上，函數(shù)f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上是增加的，在(－，0)和(0，)上是減少的． 法二：f′(x)＝1－. 令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)，故函數(shù)的單調增區(qū)間為(－∞，－)和(，＋∞)． 令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－，0)或x∈(0，)，故函數(shù)的單調減區(qū)間為(－，0)和(0，)． 故函數(shù)f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上是增加的，在(－，0)和(0，)上是減少的． [規(guī)律

9、方法]　1.函數(shù)y＝f(g(x))的單調性應根據(jù)外層函數(shù)y＝f(t)和內層函數(shù)t＝g(x)的單調性判斷，遵循“同增異減”的原則． 2．利用定義判斷或證明函數(shù)的單調性時，作差后應注意差式的分解變形要徹底． 3．利用導數(shù)法證明函數(shù)的單調性時，求導運算及導函數(shù)符號判斷要準確． 易錯警示：求函數(shù)的單調區(qū)間，應先求定義域，在定義域內求單調區(qū)間，如本題(1)． [變式訓練1]　(1)(20xx北京高考)下列函數(shù)中，在區(qū)間(－1,1)上為減函數(shù)的是 (　　) A．y＝ B．y＝cos x C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x (2)函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的單調遞增區(qū)間

10、是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) (1)D　(2)D　[(1)選項A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增加的，故y＝在(－1,1)上是增加的； 選項B中，y＝cos x在(－1,1)上先增后減； 選項C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上是增加的，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上是增加的； 選項D中，y＝2－x＝x在R上是減少的，故y＝2－x在(－1,1)上是減少的． (2)由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，所以函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因為y＝logt在定義域上是減函數(shù)，所

11、以求原函數(shù)的單調遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－4的單調遞減區(qū)間，可知所求區(qū)間為(－∞，－2)．] 利用函數(shù)的單調性求最值 　已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1. (1)當a＝時，求函數(shù)f(x)的最小值； (2)若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍． [思路點撥]　(1)先判斷函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上的單調性，再求最小值；(2)根據(jù)f(x)min＞0求a的范圍，而求f(x)min應對a分類討論． [解]　(1)當a＝時，f(x)＝x＋＋2，f′(x)＝1－＞0，x∈[1，＋∞)， 即f(x)在[1，＋∞)上是增加的，∴f(x)m

12、in＝f(1)＝1＋＋2＝. 4分 (2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)． 法一：①當a≤0時，f(x)在[1，＋∞)上是增加的． f(x)min＝f(1)＝a＋3. 要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0， ∴－3＜a≤0. 7分 ②當0＜a≤1時，f(x)在[1，＋∞)上是增加的， f(x)min＝f(1)＝a＋3， ∴a＋3＞0，a＞－3，∴0＜a≤1. 綜上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零時，a的取值范圍是(－3,1]. 12分 法二：f(x)＝x＋＋2＞0，∵x≥1，∴x2＋2x＋a＞0， 8分 ∴a＞－(

13、x2＋2x)，而－(x2＋2x)在x＝1時取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即a的取值范圍為(－3,1]. 12分 [規(guī)律方法]　利用函數(shù)的單調性求最值是求函數(shù)最值的重要方法，若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上是增加的，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a)． 請思考，若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上是減少的呢？ [變式訓練2]　(1)函數(shù)f(x)＝的最大值為________． (2)(20xx北京高考)函數(shù)f(x)＝(x≥2)的最大值為________. 【導學號：00090018】 (1)2　(2)2　[(1)當x≥1時，函數(shù)f(x)＝為減函數(shù)

14、，所以f(x)在x＝1處取得最大值，為f(1)＝1；當x＜1時，易知函數(shù)f(x)＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，為f(0)＝2. 故函數(shù)f(x)的最大值為2. (2)法一：∵f′(x)＝－， ∴x≥2時，f′(x)＜0恒成立， ∴f(x)在[2，＋∞)上是減少的， ∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值為f(2)＝2. 法二：∵f(x)＝＝＝1＋， ∴f(x)的圖像是將y＝的圖像向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到的．∵y＝在[1，＋∞)上是減少的，∴f(x)在[2，＋∞)上是減少的，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值為f(2)＝2. 法三：由題意可得f(x)

15、＝1＋. ∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜≤1， ∴1＜1＋≤2，即1＜≤2. 故f(x)在[2，＋∞)上的最大值為2.] 函數(shù)單調性的應用 角度1　比較大小 　(20xx河南百校聯(lián)盟質檢)已知f(x)＝2x－2－x，a＝－，b＝，c＝log2，則f(a)，f(b)，f(c)的大小順序為(　　) A．f(b)＜f(a)＜f(c) B．f(c)＜f(b)＜f(a) C．f(c)＜f(a)＜f(b) D．f(b)＜f(c)＜f(a) B　[易知f(x)＝2x－2－x為單調遞增函數(shù)，而a＝－＝＞＝b＞0，c＝log2＜0，所以f(c)＜f(b)＜f(a)，故選B．]

16、 角度2　解不等式 　(20xx湖北重點高中聯(lián)合協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋sin x，x∈(－1,1)，則滿足f(a2－1)＋f(a－1)＞0的a的取值范圍是(　　) A．(0,2) B．(1，) C．(1,2) D．(0，) B　[由題意知f(－x)＝(－x)3＋sin(－x)＝－x3－sin x＝－(x3＋sin x)＝－f(x)，x∈(－1,1)， ∴f(x)在區(qū)間(－1,1)上是奇函數(shù)； 又f′(x)＝3x2＋cos x＞0， ∴f(x)在區(qū)間(－1,1)上是增加的， ∵f(a2－1)＋f(a－1)＞0， ∴－f(a－1)＜f(a2－1)

17、， ∴f(1－a)＜f(a2－1)， ∴解得1＜a＜，故選B．] 角度3　求參數(shù)的取值范圍 　(1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調遞增的，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A． B． C． D． (2)已知函數(shù)f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________． (1)D　(2)(2,3]　[(1)當a＝0時，f(x)＝2x－3，在定義域R上是單調遞增的，故在(－∞，4)上是增加的； 當a≠0時，二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝－， 因為f(x)在(－∞，4)上是增加的， 所以a＜0，且－≥4

18、，解得－≤a＜0. 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是. (2)要使函數(shù)f(x)在R上是增加的， 則有即 解得2＜a≤3， 即實數(shù)a的取值范圍是(2,3]．] [規(guī)律方法]　1.比較大小．比較函數(shù)值的大小，應將自變量轉化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數(shù)的單調性解決． 2．解不等式．在求解與抽象函數(shù)有關的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調性將“f”符號脫掉，使其轉化為具體的不等式求解．此時應特別注意函數(shù)的定義域． 3．利用單調性求參數(shù)．視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖像或單調性定義，確定函數(shù)的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較求參數(shù)． 易錯警示：(1)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調的；(2)分段函數(shù)的單調性，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值．