《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》習(xí)題3及解答》

第三章誤差的合成與分配 習(xí)題及參考答案 3-1相對測武時盂用54.255mm的吊塊紐做標準件，杲塊組由四塊鳳塊研介而成，它們的甚木尺 寸為：= 40mmJz = \2mmJ3 = 1.25/n/n,/4 = 1.005/wn d經(jīng)測最，它們的尺寸偏差及其測彊 極限誤差分別為:A/, = -0.7//rn,A/2 = +0.5“”,= -0.3pm , A/4 = +0.1“〃i , = ±0.35“"，= ±0.25/11)1^^13 = ±0.20///z?, <5hm/4 = ±0.20///n。試求吊「塊組按 基本尺寸便用時的修正值及給相對測量帶來的測量誤差。 【解】盲塊組的關(guān)系為：顯然本題是一個關(guān)于函數(shù)系統(tǒng)誤差和函數(shù)隨機誤差 的計算問題。匕知個組成塊的尺寸偏差(屬系統(tǒng)誤差)，則町計算磺塊組的系統(tǒng)誤差。 AL = A/] + A/, + A/, + △仃=-0.7 + 0.5- 0.3 + 0.1 = -0.4 (/An) 所以，最塊組按基本尺寸使用時的修正值E為：£ = -AL = -(-0.4) = 0.4 (“m) 鼠塊組按基本尺寸使用時的測杲誤差(系統(tǒng)極限誤差)為： 3=±低?喬石可贏?喬瓦丸=±j0.352 +0.25, +0.20, +0.2— ±0.515 (/m) 3-2為求長方體體枳V. W接測杲其并邊K為:a = 161.6加加,b = 44.5/w/n, c = 11.2/n/n, \_L矢II測 的系統(tǒng)誤差為= 1.2mm9^b = -0.8mm,Ac = 0.5/nm ,測杲的極限誤差為 8a = ±0.8加加，氐=±0.5加加© = ±Q.5mm?試求工方體的體積及此體積的極限誤差。 【解】立方體體枳：V = abc.若不考慮測得值的系統(tǒng)謀差，則計算體枳為： V0=fl/?c = 161.6 x 44.5x11.2 = 80541.44 (mm3) M Lb Ac] ——+——+—— a b c」 體積V的系統(tǒng)誤差為： da db de AV = = 80541.44 J-A. +121 +-221 =2745.744 (mm3) .161.6 44.5 11.2J 考渥測缸系統(tǒng)謀差后的立方體體積： V = V0-AV = 80541.44 - 2745.744 = 77795.696 « 77795.70 (mm5) 又玄接測彊值存在極限謀崔 則間接測彊體積存在的極限謀簽為: dV e , dV c s=土 Jib© r r = ±J[44.5xll.2x(±0.8)『 +[161.6x11.2 x(±0.5)『 +[161.6 x44.5x(±0.5)]' =±a/398.722 + 904.962 + 3595.61 = 3729.1 (mm5) 故測航結(jié)果為：v± 77795.70±37291 (mm') 3-3長方體的邊長分別為q，C，測磺時：①標準差均為6 ②標準差各為》込，6。試求體 積的標準差。 【解】長方體體積計算式：V = abc = ala1ai,則體積的標準差為： =Jawm)2 +(666)，=“ig J(—)2 + (T‘ +(―)2 ① 標準差均為o?時.則體積的標準差為: ②標準差各為5込、6時，則體積的標準差為: 34測靈菜電路的電流1 = 22.5mA ,電壓U二12.6V ,測就的標準差分別為“ =0.5〃人巾= 0.1V> 求所耗功率P = UI及其標準差6, o 【解】若不考慮測得值的誤差，則計算所耗功率為： P = t// = 22.5xlQ-3 xl2.6 = 0.2835 (W) 所耗功率標準簽6 rdP dP T rr: ; r op =彳(藥 5) + (麗 W = d(Uo[) +(/%' =7(12.6x0.5x10-3)2 +(22.5xl0-3 xO.l)2 =、/39.69+5.0625 xlO-3 = 6.69x 10-3 (W) 3-5已知x±6 = 2.0±0.1,y±bv = 3.0±0.2，相關(guān)系數(shù)pn=0,試求(p= 還的值及其標準差。 【解】若不考慮測得值兀和y的誤差，計算其值: (p= x\[y = 2.0 x V^O = 2.885 己知o; = 0丄Q、= 0.2,則卩的標準差: 2 3-6已知x與y的相關(guān)系數(shù)久=-1»試求"=x2 + ay的方差。 【解】屬r函數(shù)隨機謀差合成問題。由教材式(3-13)有: 2 z du 2 、 z du、2 ■ r Ou 6 二(〒)P；+(R 牙+2 ox dy ={2x)2a； + aza}. + 2x 2x X a x(_l,Q0 = {1X0x - aa.)1 9 9 3?7通過電流衷的電流/與指針偏轉(zhuǎn)角0服從卜?列關(guān)系：I = C^(p.式中C為決定J：儀表結(jié) 構(gòu)的常數(shù)，C=5.031x10_7A.兩次測得諂=6°17'±1,倫=43°32±1。試求兩種情況 卜的人，厶及具極限誤差，并分析最佳測鼠方案。 【解】因/ = Ctan^ - tan(p=I/C,曲三角函數(shù)隨機謀差(極限謀差)計算公式(3?21),仃: J = COS2 ^J(—)2 O-；=辛cos，0，5/ = cos：(P 惰心=等& 9 (1) COS (P 當(dāng)(P=(P\時，把^ = 6°1T代入關(guān)系式，仃： 人= Ctan® = 5.031 x 1 O'7 tan6°17 = 5.54 x 10"8 (A) 相應(yīng)的極限誤差為: 酩人=Cdg® = 5.031xl(r x[±lx刃(180x60)] = ±J 4gJ * 10_lo COS2 (p\ cos2 6°17* (A) 當(dāng)0=込時，把烏=43?32代入關(guān)系式,有: I2 = C(au% = 5.031X10-7 tan43*32* =4.780xlQ-7 (A) 相應(yīng)的極限誤差為: 片 j =血笑=5.031xl(Tx[±lx;r/(180x60)] = ±2 ?84xlo-10 cos'佟 cos2 4332 根據(jù)求得測乗電流的誤差傳遞式(l)，欲使極限謀差％變小，必須滿足—^―=0或為最小, COS"(P 因c為常數(shù)，這意味著只能是cos'0最人。乂I大1電流表指針偏轉(zhuǎn)角在0“<兀范闈內(nèi)變化， 當(dāng)O<0V”/2時，cos2 (p單調(diào)卜?降，為使C/cos2 (p趨小，卩應(yīng)該愈小愈好，即測小電流誤差 小。上述計算結(jié)杲驗證了該方案的正確性。 4 當(dāng)z/2 <(p<7t時，cos2 (p單調(diào)増加，為使C/cos‘0趨小，0應(yīng)該愈人愈好。 3-8如圖3?6所示，用雙球法測吊汛的直徑DJ]鋼球直徑分別為d”d一測出距離分別為 試求被測孔徑D與各克接測杲杲的函數(shù)關(guān)系D=f(drdzyHrH1)及其誤差傳遞系數(shù)。 【解】由兒何關(guān)系易求被測孔徑D 圖3?6 r I H / "詁+扣2 +掙+押-申+ (払十HJ =*91 + 如)+ J(d] + H1 - H 2 )(d $ - H] + 比) 各苴接測鼠量的誤差傳遞系數(shù)如下: dD 1 dD _ 1 &T~2 心+比-H2 4-0 + 比 ~dd[~2 &D _ 1 / - 仏 + 20 - 2比 dD 冠 __勺風(fēng) +比_比燉_比+比） dD dL-d2 + 2Ht - 2H2 麗；二曲 + 0 - HJd-H嚴 HJ ■ OH, 3-9按公式V = nrh求闘柱體體積，若己知r約為2沁，h約為20cm,耍使體積的相對■誤差 等J： 1%,試問r和h測駅時謀差應(yīng)為多少？ 【解】已知圓柱體的半徑和禹度分別為：r = 2cmJi = 20cm ,則可計算出關(guān)柱體的體枳： Vo = nrh = 3.1416 x22 x20 = 251.328 {cm）3 而體積的絕對誤差為：Jv =Voxl% = 251.328xl% = 2.5V7n3） 測量項目有2項,n=2,且按等作用原則分配誤差,則可得測量半徑尸與高度％的極限誤差: — %春噲錯X 2匚3.141；頁20 = @00715） = 0?07如） 6 ==j=x-L=宰x ； = 0.141（期）=1.41（〃呦 yjn dV dh yjn 加? J2 3.1416x2* 即：允許廠的測彊謀差為土0.071mm,高度力的測吊謀差為±l?41mim 3-10假定從支點到取心的長度為L的單擺振動周期為T,耳力加速度可由公式7 = 2^7^77屮 給出。若耍求測啟g的相對標準差q/gVO.l%,試問按等作用原則分配誤差時，測晟L和T的和對標準差應(yīng)是多少? 【解】町直接測杲單擺長度L和單擺振動周期T,然后按卜式計算咆力加速度， gE% 影響重力加速度的因數(shù)有2個(n-2),按等作用原則分配誤差,則測量L和T的標準差分 別為： r _ 5 1 S T2 _^L_ S 「了麗一忑礦百一時 5 1 長切刃、 因耍求測磧g的相對標準差q/gSO.l%， 則測最L的相對標準差應(yīng)為: 6 # 0.1%= 0.071% 屈V2 測最T的相對標準差應(yīng)為: (7 a 比=—< —= x0.1%= 0.035% T 2屈2邁 =#(428.6 + 429.2+426.5+ 430.8) = 428.775 3-11對某一質(zhì)駅進行4次重復(fù)測品測得數(shù)據(jù)(單位g)為4286 429.2, 426.5, 430.8。已知測 鼠的已定系統(tǒng)謀差A(yù) = -2.6g ,測nt的備極限誤差分屆及其和應(yīng)的傳遞系數(shù)如卜裁所列。若 乞誤差均服從正態(tài)分布.試求該質(zhì)杲的授可信賴值及比極限誤差。 序號 極限誤差/g 誤差傳遞隨數(shù) 隨機誤差 未定系統(tǒng)誤差 1 2.1 — 1 2 — 1.5 1 3 — 1.0 1 4 — 0.5 1 5 4.5 — 1 6 — 2.2 1.4 7 1.0 — 2.2 S — 1.8 ■ 【解】①4次巫復(fù)測就的丫均值: ②己知測吊仃C定系統(tǒng)謀羞A = -2.6g ,依此對測彊結(jié)果進行修正?則測磺結(jié)果的赧可信賴值為’ x0 = x-A = 428.775-(一2.6)= 431.375 (g) ③肉測彊的極限謀差服從正態(tài)分布，其介成的極限浜差為 a、隨機謀差有三項，其合成極限謀差為： 5 = ±丄、士a®)2 = ±丄 J(lx 2.1)2 + (1x4.5)，+ (2.2x1)，= ±1.358 (g) N V i=i 4 故總的極限謀墾為: b、未定系統(tǒng)誤差冇五項，苴介成極限誤差為: =±^(lxl.5)2 + (lxl.O): +(1x0.5)2 + (1.4x2.2)2 + (lxl.8)2 = ±4.028 (g) $0 = ±5/尸 + 八 土 J1.358' + 4.028, = ±4.25 (g) ④ 測量最后結(jié)果表示為：x =兀土氏=431?375±4?25 (g) 7