《2015屆高考數(shù)學總復習 基礎知識名師講義 第四章 第四節(jié)平面向量的拓展與應用 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2015屆高考數(shù)學總復習 基礎知識名師講義 第四章 第四節(jié)平面向量的拓展與應用 文(4頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、
第四節(jié) 平面向量的拓展與應用
1.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.
2.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.
知識梳理
平面向量與數(shù)學的許多分支都有聯(lián)系,在高考中涉及平面向量的應用主要有以下幾方面:
1.向量在平面幾何中的應用:平面幾何經常涉及距離(線段的長度)、夾角,而向量運算,特別是向量的數(shù)量積涉及向量的模、夾角,因此可以用向量方法解決部分幾何問題.利用向量方法處理幾何問題一般有以下“三步曲”:(1)轉化:用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題;(2)運算:通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題;
2、(3)翻譯:把運算結果“翻譯”成幾何關系.
2.平面向量在物理中的應用:物理學中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解、合成與向量的加減法相似,因此可以用向量的知識來解決某些物理問題.利用向量方法處理物理問題一般有以下“三步曲”:(1)表示:把物理問題的相關量用向量表示;(2)轉化:轉化為向量問題模型,通過向量的運算使問題得以解決;(3)還原:把運算結果“還原”成物理問題.
3.平面向量與其他數(shù)學知識的綜合應用:(1)向量與三角函數(shù)交匯的問題是高考經常出現(xiàn)的問題,命題以三角函數(shù)作為背景,是向量的坐標運算與解三角形、三角函數(shù)圖象和性質綜合的問題;(2)平面向量與函數(shù)、不等式交匯的問題,主要是向
3、量與二次函數(shù)、均值不等式結合的問題為主,要注意自變量的取值范圍;(3)向量與解析幾何交匯的問題,其基本思想是利用向量的坐標表示,將向量問題轉化為坐標問題,進而利用直線和圓錐曲線的相關知識來解答.
基礎自測
1.在△ABC中,M是BC的中點,AM=1,點P在AM上且滿足=2,則·(+)等于( )
A.- B.- C. D.
解析:由題知P為△ABC的重心,則+=-.
1 / 4
則·(+)=-2=-||2=-.故選A.
答案:A
2.已知a=(1,sin2x),b=(2,sin 2x),其中x∈(0,π).若|a&
4、#183;b|=|a||b|,則tan x的值等于( )
A.1 B.-1 C. D.
解析:由|a·b|=|a||b|知,a∥b.
所以sin 2x=2sin2x,即2sin xcos x=2sin2x,而x∈(0,π),
所以sin x=cos x,即x=,故tan x=1.
答案:A
3.一質點受到平面上的三個力F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài),已知F1,F(xiàn)2成120°角,且F1,F(xiàn)2的大小分別為1和2,則有( A )
A.F1,F(xiàn)3成90°角 B.F1,F(xiàn)3成150°角
C
5、.F2,F(xiàn)3成90°角 D.F2,F(xiàn)3成60°角
4.把一個函數(shù)的圖象按向量a=(-3,2)平移后,得到的圖象的解析式為y=log2(x+3)+2,則原來的函數(shù)解析式為________.
答案:y=log2x
1.(2013·湖南卷)已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量滿足|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
解析:因為a,b是單位向量,所以|a+b|=,|c-a-b|=|(a+b)-c|=1,即一個模為的向量與向量c之差的模為1,在
單位圓中可解得-
6、1≤|c|≤+1.
答案:A
2.(2013·新課標全國卷Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點,則·=________.
解析:在正方形中,=+,=+=-,所以·=·(-)=2-2=22-×22=2.
答案:2
1.(2012·深圳松崗中學模擬)如圖,半圓的直徑AB=6,O為圓心,C為半圓上不同于A,B的任意一點,若P為半徑OC上的動點,則(+)·的最小值是( )
A.- B. C.2 D.-2
解析:設||=x, 則(+)·
7、;=2·=2||·||cos π=-2x(3-x)=22-,當x=時,所求的最小值為-.故選A.
答案:A
2.(2012·長春調研)在△ABC中,向量m=(2cos B,1),向量n=(1-sin B,-1+sin 2B),且滿足|m+n|=|m-n|.
(1)求角B的大??;
(2)求sin A+sin C的取值范圍.
解析:(1)由|m+n|=|m-n|,可知m⊥n,得m·n=0.
而m=(2cos B,1),n=(1-sin B,-1+sin 2B),所以有m·n=2cos B-sin 2B-1+sin 2B=2cos B-1=0,得cos B=,所以B=60°.
(2)sin A+sin C=sin A+sin(120°-A)=cos A+sin A=sin(A+30°).
又0<A<120°,則30°<A+30°<150°,所以<sin(A+30°)≤1,所以<sin A+sin C≤,即sin A+sin C的取值范圍是.
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