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1、△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△
第四節(jié) 基本不等式
考點一
利用基本不等式證明不等式
[例1] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8.
[自主解答]?。?，[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8.
【互動探究】
保持例題條件不變，證明： ＋ ≤2.
證明：∵a>0，b>0，且a＋b＝1，
∴ ＋
＝ ＋
≤＋＝＝＝2.
當且僅當a＋＝1，b＋＝1，即a＝b＝時等號成立．
【方法規(guī)律】
利用基本不等式證明不等
2、式的方法技巧
利用基本不等式證明不等式時，要充分利用基本不等式及其變形，同時注意基本不等式成立的條件．對待證明的不等式作適當變形，變出基本不等式的形式，然后利用基本不等式進行證明．
設a、b均為正實數(shù)，求證：＋＋ab≥2.
證明：由于a、b均為正實數(shù)，
所以＋≥2 ＝，
當且僅當＝，即a＝b時等號成立，
又因為＋ab≥2 ＝2，
當且僅當＝ab時等號成立，
所以＋＋ab≥＋ab≥2，
當且僅當即a＝b＝時取等號.
高頻考點
考點二 利用基本不等式求最值
1．利用基本不等式求最值是高考的常考內(nèi)容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題．[來源:]
3、
2．高考對利用基本不等式求最值的考查常有以下幾個命題角度：
(1)知和求積的最值；
(2)知積求和的最值；
(3)構(gòu)造不等式求最值．
[例2] (1)(2013·福建高考)若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
(2)(2013·山東高考)設正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當取得最小值時，x＋2y－z的最大值為( )
A．0 B. C．2 D.
(3)(2013
4、83;天津高考)設a＋b＝2，b>0，則＋的最小值為________．
[自主解答] (1)因為2x>0,2y>0，
所以1＝2x＋2y≥2＝2，
故≤，即2x＋y≤＝2－2，
所以x＋y≤－2.
(2)＝＝＋－3≥2 －3＝1，
當且僅當＝，即x＝2y時等號成立．
此時z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2.
∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y－1)2＋2，
∴當y＝1，x＝2，z＝2時，x＋2y－z取最大值，最大值為2.
(3)∵a＋b＝2，b>0，∴b＝2－a>0，得a<2.
5、
令t＝＋＝＋，
①當0<a<2時，[來源:]
t＝＋＝＋＋≥＋2 ＝，[來源:]
當且僅當＝，即b＝2a，a＝∈(0,2)時，t取得最小值為.
②當a<0時，
t＝－－＝－＋＋≥－＋2 ＝，當且僅當－＝－，即b＝－2a，a＝－2時，t取得最小值為.∵>，∴＋的最小值為.
[答案] (1)D (2)C (3)
利用基本不等式求最值問題的常見類型及解題策略
(1)知和求積的最值．求解此類問題的關(guān)鍵：明確“和為定值，積有最大值”．但應注意以下兩點：①具備條件——正數(shù)；②驗證等號成立．
(2)知積求和的最值．明確“積為定值，和有最小值”，直接應用基本不
6、等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件．
(3)構(gòu)造不等式求最值．在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，構(gòu)造不等式求解．
1．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，則f(x)有( )
A．最大值為0 B．最小值為0
C．最大值為－4 D．最小值為－4
解析：選C ∵x<0，∴－x>0，
∴x＋－2＝－－2≤－2 －2＝－4，當且僅當－x＝－，即x＝－1時等號成立．
2．(2014·衢州模擬)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則的最小值為________．
解析：＝＝
7、3;＝5＋2≥5＋4＝9.當且僅當a＝b＝時，取等號．
答案：9
3．(2013·四川高考)已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________.
解析：∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋≥2 ＝4，當且僅當4x＝時等號成立，此時a＝4x2，由已知x＝3時函數(shù)取得最小值，所以a＝4×9＝36.
答案：36
考點三
基本不等式的實際應用
[例3] 為響應國家擴大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2014年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用t(t≥0)萬元滿足x＝
8、4－(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)．
(1)將該廠家2014年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；
(2)該廠家2014年的年促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？
[自主解答] (1)由題意有1＝4－，
得k＝3，故x＝4－.
故y＝1.5××x－(6＋12x)－t＝3＋6x－t＝3＋6－t＝27－－t(t≥0)．
(2)由(1)知：y＝27－－
9、t＝27.5－.
基本不等式
＋≥2×＝6，
當且僅當＝t＋，即t＝2.5時等號成立．
故y＝27－－t＝27.5－≤27.5－6＝21.5.
當且僅當＝t＋，即t＝2.5時，等號成立，y有最大值21.5.
所以2014年的年促銷費用投入2.5萬元時，該廠家利潤最大，最大利潤為21.5萬元．
【方法規(guī)律】
解實際應用題時應注意的問題
(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；
(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需再利用基本不等式求得函數(shù)的最值；
(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求．
(4)有些
10、實際問題中，要求最值的量需要用幾個變量表示，同時這幾個變量滿足某個關(guān)系式，這時問題就變成了一個條件最值，可用求條件最值的方法求最值．
某單位建造一間地面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5 m．房屋正面的造價為400元/m2，房屋側(cè)面的造價為150元/m2，房頂和地面的造價費用合計為5 800元，如果墻高為3 m，且不計房屋背面的費用．當側(cè)面的長度為多少時，總造價最低？
解：由題意可得，造價y＝3＋5 800＝900＋5 800(0<x≤5)，
則y＝900＋5 800≥900×2 ＋5 800＝13 000(元)，當
11、且僅當x＝，即x＝4時取等號．
故當側(cè)面的長度為4米時，總造價最低．
———————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
1個技巧——公式的逆用
運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a，b>0)逆用就是ab≤2(a，b>0)等，還要注意“添”“拆”項技巧和公式等號成立的條件等．
2個變形——基本不等式的變形
(1)≥2≥ab(a，b∈R，當且僅當a＝b時取等號)；
(2) ≥≥≥(a>0，b>0，當且僅當
a＝b時取等號)．
3個注意點——利用基本不等式求最值應注意的問題
(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可．
(2)在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件．[來源:]
(3)連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致．
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高考數(shù)學復習：第六章 ：第四節(jié)基本不等式突破熱點題型
