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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料
第2課時 補集及綜合應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解全集、補集的概念(難點).2.準(zhǔn)確翻譯和使用補集符號和Venn圖(重點).3.會求補集，并能解決一些集合綜合運算的問題(重點)．
預(yù)習(xí)教材P10－P11，完成下面問題：
知識點 補集的概念
(1)全集：
①定義：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．
②記法：全集通常記作U.
(2)補集
文字語言
對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作?UA
符號語言
?UA＝{x|x∈U且x?A}
圖形語言
【
2、預(yù)習(xí)評價】
(1)設(shè)集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，則?U(A∪B)＝________.
(2)已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若?AB＝{5}，則實數(shù)m＝________.
解析 (1)∵A∪B＝{1,2,3,4}，
∴?U(A∪B)＝{5}．
(2)由?AB＝{5}知5∈A且5?B，
即5∈{3,4，m}，
故m＝5.
答案 (1){5} (2)5
題型一 補集的基本運算
【例1】 (1)設(shè)集合U＝R，M＝{x|x>2或x<0}，則?UM＝( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0<x
3、<2}
C．{x|x<0或x>2} D．{x|x≤0或x≥2}
(2)已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，則實數(shù)a＝________.
解析 (1)如圖，在數(shù)軸上表示出集合M，可知?UM＝{x|0≤x≤2}．
(2)由題意可知解得a＝2.
答案 (1)A (2)2
規(guī)律方法 求補集的方法
(1)列舉法表示：從全集U中去掉屬于集合A的所有元素后，由所有余下的元素組成的集合．
(2)由不等式構(gòu)成的無限集表示：借助數(shù)軸，取全集U中集合A以外的所有元素組成的集合．
【訓(xùn)練1】 (1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{
4、x|－3<x≤4}，則?UA＝________.
(2)設(shè)U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，則實數(shù)m＝________.
解析 (1)借助數(shù)軸得?UA＝{x|x＝－3或x>4}．
(2)∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的兩個根，∴m＝－3.
答案 (1){x|x＝－3或x>4} (2)－3
題型二 集合交、并、補的綜合運算
【例2】 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)．
解 利用數(shù)軸
5、，分別表示出全集U及集合A，B，先求出?UA及?UB，再求解．
則?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}．
所以A∩B＝{x|－2<x≤2}；
(?UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；
A∩(?UB)＝{x|2<x<3}．
規(guī)律方法 1.求解與不等式有關(guān)的集合問題的方法
解決與不等式有關(guān)的集合問題時，畫數(shù)軸(這也是集合的圖形語言的常用表示方式)可以使問題變得形象直觀，要注意求解時端點的值是否能取到．
2．求解集合混合運算問題的一般順序
解決集合的混合運算時，一般先運算括號內(nèi)的部分，再計算其他部分
6、．
【訓(xùn)練2】 已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}．
求：(1)(?SA)∩(?SB)；(2)?S(A∪B)；(3)(?SA)∪(?SB)；(4)?S(A∩B)．
解 (1)如圖所示，可得
A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}，
?SA＝{x|1<x<2或5≤x≤7}，
?SB＝{x|1<x<3}∪{7}．
由此可得：(1)(?SA)∩(?SB)＝{x|1<x<2}∪{7}．
(2)?S(A∪B)＝{x|1<x<2}∪{7}．
(3)
7、(?SA)∪(?SB)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}＝{x|1<x<3或5≤x≤7}．
(4)?S(A∩B)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}＝{x|1<x<3或5≤x≤7}.
互動探究
題型三 根據(jù)補集的運算求參數(shù)的值或范圍
【探究1】 如果a∈?UB，那么元素a與集合B有什么關(guān)系？“a∈A∩(?UB)”意味著什么？
解 如果a∈?UB，那a?B，“a∈A∩(?UB)”意味著a∈A且a?B.
【探究2】 是否存在元素a，使得a∈A且a∈?UA？若集合A＝{x|－2<x≤3}，則?RA是什么？
解 不存在a，
8、使得a∈A且a∈?UA；若A＝{x|－2<x≤3}，則?RA＝{x|x≤－2或x>3}．
【探究3】 (1)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，滿足B∩(?UA)＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求實數(shù)a，b的值．
(2)已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A?RB，求a的取值范圍．
解 (1)∵B∩(?UA)＝{2}，∴2∈B，但2?A.
∵A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A，但4?B.
∴解得∴a，b的值分別為，－.
(2)?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?.
∵A
9、?RB，
∴分A＝?和A≠?兩種情況討論．
①若A＝?，此時有2a－2≥a，∴a≥2.
②若A≠?，則有或∴a≤1.
綜上所述，a≤1或a≥2.
規(guī)律方法 由集合的補集求解參數(shù)的方法
(1)有限集：由補集求參數(shù)問題，若集合中元素個數(shù)有限時，可利用補集定義并結(jié)合集合知識求解．
(2)無限集：與集合交、并、補運算有關(guān)的求參數(shù)問題，若集合中元素有無限個時，一般利用數(shù)軸分析法求解．
【訓(xùn)練3】 設(shè)全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求實數(shù)a的值．
解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
10、當(dāng)a＝2時，|2a－1|＝3≠5，此時A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合題意．
當(dāng)a＝－4時，|2a－1|＝9，此時A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，
不滿足條件?UA＝{5}，故a＝－4舍去．
綜上知a＝2.
課堂達(dá)標(biāo)
1．設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，則?UA＝( )
A．{1,2} B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5} D．?
解析 根據(jù)補集的定義計算．∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴?UA＝{3,4,5}．
答案 B
2．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x&
11、lt;5}，則A∩(?UB)＝( )
A．{x|1≤x<2} B．{x|x<2} C．{x|x≥5} D．{x|1<x<2}
解析 ?UB＝{x|x<2或x≥5}，A∩(?UB)＝{x|1<x<2}．
答案 D
3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，則(?RA)∩B＝( )
A．{－2，－1} B．{－2} C．{－1,0,1} D．{0,1}
解析 因為集合A＝{x|x>－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，則(?RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．
12、
答案 A
4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x<a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，則a＝________.
解析 ∵A＝{x|1≤x<a}，?UA＝{x|2≤x≤5}，∴A∪(?UA)＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩(?UA)＝?，因此a＝2.
答案 2
5．已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB)．
解 將集合U，A，B分別表示在數(shù)軸上，如圖所示，
則?UA＝{x|－1≤x≤3}；
?UB＝{x|－5≤x<－1，或1≤x≤3}；
法一
13、(?UA)∩(?UB)＝{x|1≤x≤3}．
法二 ∵A∪B＝{x|－5≤x<1}，
∴(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}．
課堂小結(jié)
1．補集定義的理解
(1)補集是相對于全集而存在的，研究一個集合的補集之前一定要明確其所對應(yīng)的全集．比如，當(dāng)研究數(shù)的運算性質(zhì)時，我們常常將實數(shù)集R當(dāng)做全集．
(2)補集既是集合之間的一種關(guān)系，同時也是集合之間的一種運算，還是一種數(shù)學(xué)思想．
(3)從符號角度來看，若x∈U，AU，則x∈A和x∈?UA二者必居其一．
2．與集合的交、并、補運算有關(guān)的求參數(shù)問題一般利用數(shù)軸求解，涉及集合間關(guān)系時不要忘掉空集的情形．
3．不等式中的等號在補集中能否取到，要引起重視，還要注意補集是全集的子集．
4．補集的相關(guān)性質(zhì)
(1)A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?.
(2)?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U.
(3)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，
?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
高中數(shù)學(xué)人教版A版必修一學(xué)案：第一單元 1.1.3 第2課時 補集及綜合應(yīng)用 Word版含答案
