高中數(shù)學蘇教版必修5學業(yè)分層測評20 基本不等式的應用 Word版含解析

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1、 精品資料 學業(yè)分層測評(二十) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、填空題 1．設00， ∴y＝x(3－2x)＝2x ≤22＝，當且僅當x＝－x，即x＝時，取“＝”， ∴函數(shù)y＝x(3－2x)的最大值為. 【答案】　 2．若實數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________. 【導學號：91730071】 【解析】　∵x2＋y2＋xy＝1， ∴(x＋y)2＝1－xy≤1－2， ∴(x＋y)2

2、≤，∴x＋y≤. 【答案】　 3．設x，y滿足x＋4y＝40，且x，y∈(0，＋∞)，則lg x＋lg y的最大值是________． 【解析】　∵x＋4y＝40，且x，y∈(0，＋∞)， ∴4xy≤2＝(20)2＝400，當且僅當x＝4y時等號成立． ∴l(xiāng)g x＋lg y＝lg(xy)＝lg (x4y)≤lg ＝2. 【答案】　2 4．已知x≥，則f(x)＝的最小值為________． 【解析】　f(x)＝＝ ＝≥1. 當且僅當x－2＝，即x＝3時等號成立． 【答案】　1 5．已知點P(x，y)在經(jīng)過A(3,0)，B(1,1)兩點的直線上，則2x＋4y的最小值為___

3、_____． 【解析】　∵點P(x，y)在直線AB上， ∴x＋2y＝3， ∴2x＋4y≥2＝2 ＝4. 【答案】　4 6．某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩次費用之和最小，倉庫應建在離車站________千米處． 【解析】　設倉庫距離車站為x千米，則y1＝，y2＝k2x.由題意可知， 2＝，8＝k210， ∴k1＝20，k2＝， ∴y＝＋x. ∵＋x≥2＝8， 當且僅當＝x，即x＝5時取等號． ∴x＝5千

4、米時，y取得最小值． 【答案】　5 7．若對任意x>0，≤a恒成立，則a的取值范圍是________. 【導學號：91730072】 【解析】　因為x>0，所以x＋≥2， 當且僅當x＝1時取等號，所以有＝≤＝， 即的最大值為，故a≥. 【答案】　 8．汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率g(即每小時的汽油消耗量，單位：L/h)與汽車行駛的平均速度v(單位：km/h)之間有函數(shù)關系：g＝(v－50)2＋5(0

5、＝ ＝v＋－≥2－＝(當且僅當v＝，即v＝50時，取“＝”)． ∴當v＝50 km/h時，汽油的使用效率最高． 【答案】　50 二、解答題 9．設a＋b＝2，b>0，求＋的最小值． 【解】　因為＋＝＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，當且僅當＝，a<0，即a＝－2，b＝4時取等號，故＋的最小值是. 10．某地方政府準備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖341所示的一個矩形綜合性休閑廣場，其總面積為3 000平方米，其中場地四周(陰影部分)為通道，通道寬度均為2米，中間的三個矩形區(qū)域將鋪設塑膠地面作為運動場地(其中兩個小場地形狀相同)，塑膠運動場地占地面積為S平方米． 圖341 (1)

6、分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關系式(寫出函數(shù)定義域)； (2)怎樣設計能使S取得最大值，最大值為多少？ 【解】　(1)由已知xy＝3 000,2a＋6＝y(tǒng)，則y＝(6≤x≤500)， S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x－(6≤x≤500)． (2)S＝3 030－6x－≤3 030－2 ＝3 030－2300＝2 430， 當且僅當6x＝，即x＝50時，“＝”成立，此時x＝50，y＝60，Smax＝2 430. 即設計x＝50米，y＝60米時，運動場地面積最大，最大值為2 430平方米． [能力提升] 1．

7、設正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當取得最大值時，＋－的最大值為________．　 【解析】　由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2. 所以＝＝≤＝1，當且僅當＝，即x＝2y時取等號， 此時z＝2y2，max＝1. ＋－＝＋－＝－＋ ＝－2＋1≤1，當y＝1時，取等號． 【答案】　1 2．若a＞b＞0，則代數(shù)式a2＋的最小值為________． 【解析】　依題意得a－b＞0，所以代數(shù)式a2＋≥a2＋＝a2＋≥ 2＝4，當且僅當即a＝， b＝時取等號，因此a2＋的最小值是4. 【答案】　4 3．設a>b>c，且＋≥恒成立，則m的取

8、值范圍是________. 【導學號：91730073】 【解析】　由a>b>c，知a－b>0，a－c>0，b－c>0， ∴原不等式等價于＋≥m. 要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可． ＋＝＋ ＝2＋＋≥2＋2＝4. 當且僅當＝，即2b＝a＋c時，等號成立． ∴m≤4，即m∈(－∞，4]． 【答案】　(－∞，4] 圖342 4．為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，三角形支架如圖342所示，要求∠ACB＝60，BC長度大于1，且AC比AB長0.5米，為了廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長度越短越好，求AC最短為多少米？且當AC最短時，BC長度為多少米？ 【解】　設BC＝a(a>1)，AC＝b， 則AB＝b－0.5， ∵(b－0.5)2＝b2＋a2－2abcos 60， ∴－b＋0.25＝a2－ab， 整理得b＝. 令a－1＝t(t>0)， ∴a＝t＋1， ∴b＝＝＝t＋＋2≥2＋2＝2＋ . 綜上，當BC＝1＋米時AC最短，為2＋米．