高考數(shù)學復習：第八章 ：第六節(jié)雙曲線突破熱點題型

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1、 第六節(jié)　雙 曲 線 考點一 雙曲線的定義、標準方程 　 [例1]　(1)(2013天津高考)已知拋物線y2＝8x的準線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點， 且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為______________． (2)(2013遼寧高考)已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________． [自主解答]　(1)由拋物線y2＝8x可知其準線方程為x＝－2， 所以雙曲線的左焦點為(－2,0)，即c＝2；[來源:] 又因為離心率為2，所以e＝＝2，故

2、a＝1， 由a2＋b2＝c2知b2＝3， 所以該雙曲線的方程為x2－＝1. (2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5， 所以|PQ|＝4b＝16>2a， 又因為A(5,0)在線段PQ上， 所以P，Q在雙曲線的一支上，且PQ所在直線過雙曲線的右焦點，由雙曲線定義知： 所以|PF|＋|QF|＝28. 即△PQF的周長是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44. [答案]　(1)x2－＝1　(2)44 【互動探究】 本例(2)中“若PQ的長等于虛軸長的2倍”改為“若PQ的長等于實軸長的2倍”，則結(jié)果如何？ 解：依題意知|PQ|＝4a＝12>2a. 又∵A(5,0)

3、在線段PQ上， ∴PQ在雙曲線的一支上． 同樣|PF|－|PA|＝2a＝6，|QF|－|QA|＝2a＝6. ∴|PF|＋|QF|＝24. ∴△PQF的周長是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝24＋12＝36.　　　　　 【方法規(guī)律】 雙曲線定義運用中的兩個注意點 (1)在解決與雙曲線的焦點有關(guān)的距離問題時，通?？紤]利用雙曲線的定義； (2)在運用雙曲線的定義解題時，應特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清楚是指整條雙曲線還是雙曲線的一支． 1．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝(　　) A.

4、 B. C. D. 解析：選C　∵由雙曲線的定義有 |PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， ∴|PF1|＝2|PF2|＝4， 則cos∠F1PF2＝ ＝＝. 2．已知△ABP的頂點A，B分別為雙曲線－＝1的左、右焦點，頂點P在雙曲線上，則的值等于(　　) A. B. C. D. 解析：選A　在△ABP中，由正弦定理知 ＝＝＝＝. [來源:] 考點二 直線和雙曲線的綜合 　 [例2]　(2013全國高考)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2

5、，離心率為3，直線y＝2與C的兩個交點間的距離為. (1)求a，b； (2)設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，且|AF1|＝|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列． [自主解答]　(1)由題設(shè)知＝3，即＝9， 故b2＝8a2. 所以C的方程為8x2－y2＝8a2. 將y＝2代入上式，解得x＝ . 由題設(shè)知，2 ＝，解得a2＝1. 所以a＝1，b＝2. (2)證明：由(1)知，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，C的方程為8x2－y2＝8.① 由題意可設(shè)l的方程為y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化簡，得(k2－8)x2－6k2x＋9

6、k2＋8＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1x2＝. 于是|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)， |BF1|＝＝＝3x2＋1. 由|AF1|＝|BF1|，得－(3x1＋1)＝3x2＋1， 即x1＋x2＝－. 故＝－，解得k2＝，從而x1x2＝－. 由于|AF2|＝＝＝1－3x1， |BF2|＝＝＝3x2－1， 故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，[來源:] |AF2||BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 從而|AF2||BF2|＝|AB|2， 所以|AF2|，|AB|，|BF2

7、|成等比數(shù)列． 【方法規(guī)律】 求解雙曲線綜合問題的主要方法 雙曲線的綜合問題主要為直線與雙曲線的位置關(guān)系．解決這類問題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程聯(lián)立成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題．設(shè)直線與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，直線的斜率為k，則|AB|＝|x1－x2|. 過雙曲線－＝1的右焦點F2，傾斜角為30的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，F(xiàn)1為左焦點． (1)求|AB|； (2)求△AOB的面積． 解：(1)由雙曲線的方程，得a＝，b＝， ∴c＝＝3，

8、F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)． 直線AB的方程為y＝(x－3)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得5x2＋6x－27＝0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－. ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝ ＝. (2)直線AB的方程變形為x－3y－3＝0. ∴原點O到直線AB的距離為d＝＝. ∴S△AOB＝|AB|d＝＝. 高頻考點 考點三 雙曲線的幾何性質(zhì)及應用　　 1．雙曲線的幾何性質(zhì)及應用，是高考命題的熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題． 2．高考對雙曲線幾何性質(zhì)的考查主要有以下幾個命題角度： (1)求

9、雙曲線的離心率(或范圍)； (2)求雙曲線的漸近線方程； (3)求雙曲線方程； (4)求雙曲線的焦點(距)、實虛軸長． [例3]　(1)(2013新課標全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為　(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x (2)(2013浙江高考)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是(　　) A. B. C.

10、 D. [自主解答]　(1)＝＝ ， 所以＝， 故所求的雙曲線漸近線方程是y＝x. (2)設(shè)雙曲線C2的實半軸長為a，焦半距為c，|AF1|＝m，|AF2|＝n， 由題意知c＝， 2mn＝(m＋n)2－(m2＋n2)＝4， (m－n)2＝m2＋n2－2mn＝8,2a＝|m－n|＝2，a＝， 則雙曲線C2的離心率e＝＝＝. [答案]　(1)C　(2)D 與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1)求雙曲線的離心率(或范圍)．依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得． (2)求雙曲線的漸近線方程．依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲

11、線中a，b的值或a與b的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程． (3)求雙曲線方程．依據(jù)題設(shè)條件，求出a，b的值或依據(jù)雙曲線的定義，求雙曲線的方程． (4)求雙曲線焦點(焦距)、實虛軸的長．依題設(shè)條件及a，b，c之間的關(guān)系求解． 1．(2013湖北高考)已知0<θ<，則雙曲線C1：－＝1與C2：－＝1的(　　) A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 解析：選D　∵0<θ<，∴sin θ

12、軸長為2cos θ，虛軸長為2sin θ，焦距為2，離心率為. 2．(2013廣東高考)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選B　依題意c＝3， 又∵e＝＝，∴a＝2， ∴b2＝ c2－a2＝ 32－22＝5， ∴C的方程為－＝1. 3．(2013湖南高考)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30，則C的離心率為________

13、． 解析：不妨設(shè)點P在雙曲線C的右支上且F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，由雙曲線定義知 |PF1|－|PF2|＝2a，① 又|PF1|＋|PF2|＝6a，②[來源:] 由①②，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. 因為c>a，所以2c>2a， 所以在△PF1F2中，∠PF1F2為最小內(nèi)角， 因此∠PF1F2＝30. 在△PF1F2中，由余弦定理可知， |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 30， 即4a2＝16a2＋4c2－8ac. 所以c2－2ac＋3a2＝0， 兩邊同除以a2得e2－2e＋3＝0. 解得e＝. 答案： ———

14、———————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個規(guī)律——等軸雙曲線的離心率及漸近線的關(guān)系 　雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關(guān)系)． 2種方法——求雙曲線標準方程的兩種方法 　(1)定義法，根據(jù)題目的條件，若滿足定義，求出相應的a，b的值即可求得方程． (2)待定系數(shù)法 ①定值：根據(jù)條件確定相關(guān)參數(shù) ②待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法 3個關(guān)注點——雙曲線幾何性質(zhì)的關(guān)注點 　雙曲線的幾何性質(zhì)可從以下三點關(guān)注： (1)“六點”：兩焦點、兩頂點、兩虛軸端點； (2)“四線”：兩對稱軸(實、虛軸)、兩漸近線； (3)“兩形”：中心、頂點、虛軸端點構(gòu)成的三角形；雙曲線上的一點(不包括頂點)與兩焦點構(gòu)成的三角形． 3個防范——雙曲線問題的三個易混點 　(1)區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中a，b，c大小關(guān)系，在雙曲線中c2＝a2＋b2，而在橢圓中a2＝b2＋c2. (2)雙曲線的離心率e∈(1，＋∞)，而橢圓的離心率e∈(0,1)．[來源:] (3)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是y＝x，－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是y＝x.