2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(含解析) (I).doc

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2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(含解析) (I) 一、選擇題：本題共12個(gè)小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.設(shè)集合，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：化簡(jiǎn)集合，根據(jù)交集的定義計(jì)算. 詳解：因?yàn)榧希? 化簡(jiǎn), 所以，故選D. 點(diǎn)睛：研究集合問(wèn)題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合. 2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），為的共軛復(fù)數(shù)，則（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 分析：把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式求解. 詳解：由，得， 則， ，則，故選A. 點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分. 3.某學(xué)校的兩個(gè)班共有100名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，已知，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為 A. 20 B. 10 C. 7 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)考試成績(jī)服從正態(tài)分布，可得考試成績(jī)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，再由題意，即可求解成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)。 【詳解】由考試成績(jī)服從正態(tài)分布，且， 則, 所以該班人數(shù)在110分以上的人數(shù)為。 故選B. 【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，解題關(guān)鍵是考試成績(jī)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，利用對(duì)稱(chēng)寫(xiě)出要用的一段的頻數(shù)，從而解出題目。 4.古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于50尺，則至少需要 A. 7天 B. 8天 C. 9天 D. 10天 【答案】C 【解析】 【分析】 設(shè)所需天數(shù)為n天，第一天3為尺，先由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，在利用前n項(xiàng)和，便可求出天數(shù)n的最小值。 【詳解】設(shè)該女子所需天數(shù)至少為n天，第一天織布尺， 由題意得： ， 解得 ， ， 解得，， 所以要織布的總尺數(shù)不少于50尺，該女子所需天數(shù)至少為9天， 故選C. 【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，直接兩次利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式便可得到答案。 5.在矩形中，，若向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，那么使得與的面積都不小于3的概率為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)和的面積都不小于3可得P在平面內(nèi)滿足題意的區(qū)域面積，再利用幾何概型性質(zhì)可得 計(jì)算出結(jié)果。 【詳解】，P到AB的距離， 同理可得：P到AD的距離 ， 可得P可在區(qū)域?yàn)猷忂叿謩e為3和的矩形， 所以 ， 故選C。 【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率求解，利用面積之比便可求解。 6. 執(zhí)行如圖所示的算法，則輸出的結(jié)果是（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 試題分析：，，；，，；，，，故輸出. 考點(diǎn)：程序框圖． 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的條件結(jié)構(gòu)流程圖，屬于容易題. 解決程序框圖問(wèn)題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：（1）不要混淆處理框和輸入框；（2）注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；（3）注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；（4）處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；（5）要注意各個(gè)框的順序. 7.有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測(cè)：4號(hào)或5號(hào)選手得第一名；觀眾乙猜測(cè)：3號(hào)選手不可能得第一名；觀眾丙猜測(cè)：1,2,6號(hào)選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測(cè)：4,5,6號(hào)選手都不可能獲得第一名．比賽后發(fā)現(xiàn)沒(méi)有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對(duì)比賽結(jié)果，此人是(　　) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 試題分析：如果1、2號(hào)得第一名，則乙丙對(duì)，如果3號(hào)得第一名，則只有丁對(duì)，如果4、5號(hào)得第一名，則甲乙都對(duì)，如果6號(hào)得第一名，則乙丙都對(duì)，因此只有丁猜對(duì)，故選D． 考點(diǎn)：反證法． 8.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，該幾何體外接球的表面積為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，然后分別求出各個(gè)面的面積然后作和即可。 【詳解】根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，其一個(gè)側(cè)面是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形，高為， 將該四棱錐還原成一個(gè)三棱柱，如圖所示， 則其底面為邊長(zhǎng)為4的正三角形，高為6， 三棱柱的中心到期6個(gè)頂點(diǎn)的距離即為外接球的半徑， 因?yàn)槿庵牡酌媸沁呴L(zhǎng)為4正三角形， 所以底面三角形的中心到底面的三個(gè)頂點(diǎn)距離為 ， 三棱錐的外接球半徑即為該三棱柱的外接球的半徑 ， 所以外接球的表面積為 ， 故選A. 【點(diǎn)睛】本題考查三視圖與直觀圖，幾何體外接球表面積，首先利用三視圖與直觀圖的關(guān)系還原出直觀圖，然后再利用外接球半徑與幾何體各棱長(zhǎng)之間的關(guān)系解出外接球半徑，即可求出所需外接球表面積。 9.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線：上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，則的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則，. ∵過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn) ∴ ∴直線的方程為. ∴聯(lián)立，解得，即. ∴ 故選C. 10.設(shè)函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)的和為 A. 10 B. 8 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)得函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又由可得函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故而得出函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合便可得解。 【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)， 所以 ， 又因?yàn)椋? 所以，可得， 即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，且 圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。 故在區(qū)間上的零點(diǎn)，即方程 的根， 分別畫(huà)出與的函數(shù)圖像， 因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖像都關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，因此方程的零點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)， 由圖像可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)，分別設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次為， 則， 所以所有零點(diǎn)和為8,故選B。 【點(diǎn)睛】本題考查方程解的個(gè)數(shù)（或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)）問(wèn)題，利用函數(shù)的奇偶性對(duì)稱(chēng)性解決這一類(lèi)問(wèn)題。 11.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且在上單調(diào)，同時(shí)的圖象向左平移個(gè)單位之后與原來(lái)的圖象重合，當(dāng)，且時(shí)，，則 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由題意求得的值，寫(xiě)出函數(shù)的解析式，求出圖像的對(duì)稱(chēng)軸，得出的值，再求出的值。 【詳解】由函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)， 所以，解得， 又，所以， 所以； 的圖像向左平移各單位后為： ， 由兩圖像完全重合可得，所以，; 又因?yàn)樵趩握{(diào)， 所以， 所以，所以； 所以，其圖像對(duì)稱(chēng)軸位，即，； 當(dāng)，其對(duì)稱(chēng)軸為， 因?yàn)?，所以? 所以，故選C。 【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)以及函數(shù)圖像變化，主要利用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和周期性解決此類(lèi)題目。 12.在棱長(zhǎng)為4的正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，且滿足，則三棱錐的體積最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)題目易得三棱錐底面積已知，故而只需找到高便可求出三棱錐體積，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)找到三棱錐高的最大值，即可求出三棱錐體積的最大值。 【詳解】因?yàn)樵诶忾L(zhǎng)為4的正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，且滿足， 所以, 所以,即 , 令點(diǎn)P在DC上的投影點(diǎn)為O，，， 所以， 整理得， 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)，有最大值為16，所以 的最大值為， 因?yàn)? 所以三棱錐體積最大值為：，故選D。 【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是列出式子，轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題，借助函數(shù)求解即可。 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13.已知向量,的夾角為，，，則________． 【答案】 【解析】 【分析】 將平方后運(yùn)算出結(jié)果再開(kāi)方即可得到答案 【詳解】由題意得， 將向量,的夾角為，，代入上式得 【點(diǎn)睛】本題考查的模長(zhǎng)，這一類(lèi)題型直接平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積和向量的平方求解， 注意：。 14.已知滿足則最大值為_(kāi)________． 【答案】4 【解析】 【分析】 由不等式組畫(huà)出可行域，然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，求出函數(shù)的截距，題目所求z即為截距的二倍，求出其最大值即可。 【詳解】根據(jù)不等式組畫(huà)出可行域如下： 將目標(biāo)函數(shù)化成，即該直線在y軸上的截距的二倍即為z的值，由上圖可知，截距的最大值為2，故z的最大值為4，答案即為4. 【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合思想。做該類(lèi)題目需要注意的是：一、準(zhǔn)確無(wú)誤的做出可行域；二、畫(huà)函數(shù)所對(duì)應(yīng)直線時(shí)，需注意與約束條件中直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三、一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界點(diǎn)上取得。 15.在中，是邊上一點(diǎn)，的面積為，為銳角，則__________． 【答案】. 【解析】 ∵在△ABC中，∠B=，AC=，D是AB邊上一點(diǎn)，CD=2， △ACD的面積為2，∠ACD為銳角， ∴S△ACD=sin∠ACD=2，解得sin∠ACD=， ∴cos∠ACD=，由余弦定理得到 ∴AD=， 由正弦定理, 又因?yàn)? 故答案為：． 點(diǎn)睛: 本題考查三角形邊長(zhǎng)的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．當(dāng)已知三角形的一個(gè)邊和兩個(gè)角時(shí),用正弦定理.已知兩角一對(duì)邊時(shí),用正弦定理,已知兩邊和對(duì)角時(shí)用正弦. 16.已知實(shí)數(shù)，，滿足，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，那么的最小值為_(kāi)_______ 【答案】 【解析】 【分析】 由已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，的幾何意義就是曲線上的點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的平方，進(jìn)而求出的最小值 【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足， 所以，，， 所以點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上， 的幾何意義就是曲線上的點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的平方， 最小值即為曲線上與直線平行的切線， 因?yàn)椋笄€上與直線平行的切線 即，解得 ，所以切點(diǎn)為， 該切點(diǎn)到直線的距離 ，就是所求兩曲線間的最小距離， 所以的最小值為 。 【點(diǎn)睛】本題考查曲線與直線間距離的最小值，即為曲線上與直線平行的切線的切點(diǎn)到直線的距離。 三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17題～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22題和第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答. 17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）已知數(shù)列與其前n項(xiàng)和的遞推式為，當(dāng)時(shí)，便可得到，當(dāng)時(shí)，可得到，利用兩式作差便可得到數(shù)列為公比為-1的等比數(shù)列，從而寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）根據(jù)第一問(wèn)求出的的通項(xiàng)公式寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消的求和方法便可得到最后 【詳解】（1) 得，當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 兩式作差得，整理得， 所以是首項(xiàng)為－1，公比為－1的等比數(shù)列，故。 (2)由題意，. . 【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)考查求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，我們需掌握：，需注意：當(dāng)角標(biāo)出現(xiàn)時(shí)，必須保證角標(biāo)大于0， 第二問(wèn)考查數(shù)列求和方法之一的裂項(xiàng)相消，需要注意：消除后前后所剩余項(xiàng)相等，符號(hào)相反。 18.如圖，在四棱錐中，平面，平面，， （1）證明：平面平面； （2）若直線與平面所成角為，求的值. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）需證明平面平面，只需證明平面內(nèi)的一條直線垂直于平面ABP即可。 （2）找到過(guò)某一點(diǎn)兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標(biāo)系，然后分別寫(xiě)出所需向量坐標(biāo)便可求出所需結(jié)果。 【詳解】（1）∵平面，平面，平面平面，∴，分別取中點(diǎn)，連接 則，，所以四邊形為平行四邊形. ∴，∵， ∴平面，∴平面 ∵平面，∴平面平面 （2）由（1）可得兩兩垂直， 以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則由已知條件有： 平面的一個(gè)法向量記為，則 ∴ 從而 【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直，證明面面垂直只需證出線面垂直即可： 求線面角需注意線面角的取值范圍是，而兩向量夾角為； 在建立空間之坐標(biāo)系時(shí)需注意的三軸之間兩兩垂直。 19.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，且橢圓與圓的公共弦長(zhǎng)為． （1）求橢圓的方程； （2）過(guò)點(diǎn)P（0，1）作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，試判斷在軸上是否存在點(diǎn)，使得為以為底邊的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6便可直接求出a的大小，然后因?yàn)闄E圓和已知圓均關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，便可得到交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可得到橢圓方程。 （2）設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用即可求得m的表達(dá)式，利用基本不等式性質(zhì)，即可求得m的取值范圍。 【詳解】（1）由題意可得，所以． 由橢圓與圓：的公共弦長(zhǎng)為，恰為圓的直徑， 可得橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得． 所以橢圓的方程為． （2）直線的解析式為，設(shè)，，的中點(diǎn)為．假設(shè)存在點(diǎn) ，使得為以為底邊的等腰三角形，則．由得， 故，所以，． 因?yàn)椋?，即? 所以． 當(dāng)時(shí)，，所以． 綜上所述，在軸上存在滿足題目條件的點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為． 【點(diǎn)睛】關(guān)于圓錐曲線方程求解常見(jiàn)方法：一、直接法；二、定義法；三、待定系數(shù)法；四、代入法。 解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題應(yīng)考慮的五個(gè)方面： 利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等式關(guān)系，從而確定參數(shù)取值范圍； 利用已知參數(shù)的范圍，求解新參數(shù)的范圍，解決這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系； 利用隱含的不等式關(guān)系建立不等式，從而確定參數(shù)取值范圍； 利用一直不等式關(guān)系建立不等式，從而確定參數(shù)取值范圍； 利用函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)取值范圍。 20.隨著生活節(jié)奏的加快以及智能手機(jī)的普及，外賣(mài)點(diǎn)餐逐漸成為越來(lái)越多用戶的餐飲消費(fèi)習(xí)慣，由此催生了一批外賣(mài)點(diǎn)餐平臺(tái)。已知某外賣(mài)平臺(tái)的送餐費(fèi)用與送餐距離有關(guān)（該平臺(tái)只給5千米范圍內(nèi)配送），為調(diào)査送餐員的送餐收入，現(xiàn)從該平臺(tái)隨機(jī)抽取80名點(diǎn)外賣(mài)的用戶進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按送餐距離分類(lèi)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表： 以這80名用戶送餐距離位于各區(qū)間的頻率代替送餐距離位于該區(qū)間的概率。 （1）若某送餐員一天送餐的總距離為120千米，試估計(jì)該送餐員一天的送餐份數(shù)；（四舍五入精確到整數(shù)） （2）若該外賣(mài)平臺(tái)給送餐員的送餐費(fèi)用與送餐距離有關(guān)，規(guī)定2千米內(nèi)為短距離，每份3元，2千米到4千米為中距離，每份5元，超過(guò)4千米為遠(yuǎn)距離，每份10元。 (i)記X為送餐員送一份外賣(mài)的收入（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (ii)若送餐員一天的目標(biāo)收入不低于180元，試估計(jì)一天至少要送多少份外賣(mài)？ 【答案】（1）51；（2）(i)4.7；(ii)39 【解析】 【分析】 （1）直接求出平均送餐距離，然后求出平均送餐分?jǐn)?shù)即可。 （2）(i)確定X的取值，分別求出其概率，然后列出分布列，求出期望值。 (ii)利用期望值，根據(jù)收入不低于180元直接計(jì)算出送出分?jǐn)?shù)即可。 【詳解】(1)估計(jì)每名外賣(mài)用戶的平均送餐距離為： =2.35千米 所以送餐距離為120千米，送餐份數(shù)為：份； （2）（Ⅰ）由題意知X的可能取值為：3，5，10 ，， 所以X的分布列為： X 3 5 10 P 所以E（X）= （3）180份 所以估計(jì)一天至少要送39份外賣(mài)。 【點(diǎn)睛】本題考查期望分布列的求解及其應(yīng)用，只需分別求出其概率便可以得出結(jié)果。 21.已知函數(shù). (1)討論函數(shù)的單調(diào)性； (2)若函數(shù)存在極大值，且極大值為1，證明：. 【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析. 【解析】 【試題分析】(1)當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)或時(shí),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2) 由（Ⅰ）可知若函數(shù)存在極大值，則，且，解得， 由此求得函數(shù)的表達(dá)式.將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證.構(gòu)造函數(shù),利用二階導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值大于或等于零. 【試題解析】 （Ⅰ）由題意， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知若函數(shù)存在極大值，則，且，解得， 故此時(shí)， 要證，只須證，及證即可， 設(shè)，． ，令 ，所以函數(shù)單調(diào)遞增， 又，， 故在上存在唯一零點(diǎn)，即． 所以當(dāng)，， 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增， 故， 所以只須證即可， 由，得， 所以，又，所以只要即可， 當(dāng)時(shí)， 所以 與矛盾， 故，得證． （另證） 當(dāng)時(shí)， 所以 與矛盾； 當(dāng)時(shí)， 所以 與矛盾； 當(dāng)時(shí)， 得，故 成立， 得，所以，即． 【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式. 不等式的恒成立問(wèn)題和有解問(wèn)題、無(wú)解問(wèn)題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點(diǎn)，等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理． 22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非 負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為. （1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程； （2）過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線交于，兩點(diǎn)，求點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之積. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】 （1）直接利用參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的關(guān)系寫(xiě)出曲線C和直線l的方程即可； （2）將直線l的代數(shù)方程代入橢圓C的直角坐標(biāo)方程，整理成一個(gè)關(guān)于t的方程，然后利用韋達(dá)定理找到 的值，因?yàn)榧纯傻玫阶詈蠼Y(jié)果。 【詳解】（1）曲線化為普通方程為：, 由，得， 所以直線的直角坐標(biāo)方程為. （2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）， 代入化簡(jiǎn)得：， 設(shè)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則， ∴. 【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程之間的互化，重點(diǎn)掌握三種方程之間的關(guān)系，從而利用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程來(lái)解決解析幾何的題目。 23.已知函數(shù) （1）解不等式； （2）若方程在區(qū)間有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)，利用分類(lèi)討論便可得到最后解集； （2）根據(jù)方程在區(qū)間有解轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)圖象在區(qū)間上有交點(diǎn)，從而得解。 【詳解】（1）可化為10 或或； 2＜x≤或或； 不等式的解集為； （2）由題意： 故方程在區(qū)間有解函數(shù)和函數(shù)圖象在區(qū)間上有交點(diǎn) 當(dāng)時(shí)， 【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)知不等式的求解和應(yīng)用，主要是利用分類(lèi)討論的方法去掉絕對(duì)值符號(hào)；關(guān)于方程解的問(wèn)題直接用方程思想和數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題便可得解。