2019屆高三數學12月月考試題 文(含解析).doc

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2019屆高三數學12月月考試題 文(含解析) 說明：本試卷分為第Ⅰ、Ⅱ卷兩部分，請將第Ⅰ卷選擇題的答案填在機讀卡上 第Ⅱ卷可在各題后直接作答。全卷共150分，考試時間120分鐘. 一．選擇題(本大題共12題，每小題5分，共60分) 1.設全集為R，函數的定義域為M，則為 （ ） A. (－∞，1) B. (1，＋∞) C. (－∞，1] D. [1，＋∞) 【答案】A 【解析】 【分析】 求出函數f（x）的定義域M，再寫出它的補集即可． 【詳解】全集為R，函數的定義域為 M＝{x|0}＝{x|x1}， 則?RM＝{x|x<1}＝(－∞，1)． 故選：A． 【點睛】本題考查了補集的定義與應用問題，是基礎題目． 2.已知復數 ，則的值為 （ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由z求出，然后直接利用復數代數形式的乘法運算求解． 【詳解】由z＝，得z?（2﹣i）（2+i）＝4﹣i2＝5． 故選：C． 【點睛】本題考查了復數代數形式的乘法運算，是基礎的計算題． 3.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的 （ ） A. 充分必要條件 B. 充分不必要條件 C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 試題分析：若成立，則成立；反之，若成立，則不一定成立，因此“”是“”成立的充分不必要條件； 考點：充分必要條件； 4.已知,則值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：由題意結合誘導公式求得的值，然后求解其平方即可. 詳解：由誘導公式可得：， 則. 本題選擇D選項. 點睛：本題主要考查誘導公式及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力. 5.函數的圖象大致是（ ） 【答案】A 【解析】 試題分析：因為,所以函數為奇函數，圖像關于原點對稱,故排除BC,當時，,故排除D．故A正確． 考點：函數圖像． 6.已知為兩個平面，l為直線，若，則下面結論正確的是（ ） A. 垂直于平面的平面一定平行于平面 B. 垂直于平面的平面一定平行于平面 C. 垂直于平面的平面一定平行于直線 D. 垂直于直線l的平面一定與平面都垂直 【答案】D 【解析】 因為相交不一定垂直，所以垂直于的平面可能與平面相交，A不正確； 垂直于直線的直線可能在平面內，B不正確； 如圖可知，垂直于的平面與垂直，C不正確； 設，而，由面面垂直判定可得，D正確，故選D 7.設不等式組表示的平面區(qū)域為，在區(qū)域內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于1的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：由表示的平面區(qū)域為，為一個邊長為1的正方形，而在內隨機取一個點，則此點到點的距離大于1，可轉而找出到點的距離小于等于1的點為；以為圓心，半徑為1的圓，落在內的面積為，而距離大于1的面積為：，由幾何概型，化為面積比得：． 考點：幾何概型的算法． 8.已知，（），則數列的通項公式是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由，得：， ∴為常數列，即，故 故選：C 9.若函數與在區(qū)間上都是減函數，則的取值范圍 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 略 10.若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)＞0的解集為（ ） A. (0，＋∞) B. (－1，0)∪(2，＋∞) C. (－1，0) D. (2，＋∞) 【答案】C 【解析】 試題分析：函數的定義域為，所以，解得. 考點：導數與不等式. 11.正項等比數列中,，若, 則的最小值等（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由等比數列的性質，結合已知條件可求q，結合通項公式可求m+n，代入所求式子，利用基本不等式即可求． 【詳解】∵正項等比數列{an}中，axx＝axx+2axx， axxq4＝axxq2+2axx， ∵axx＞0， ∴q4＝q2+2， 解可得，q2＝2， ∴， ∵， 4 qm+n﹣2＝4， ∴m+n＝6， 則（）（m+n）， 當且僅當且m+n＝6即m＝n＝3時取等號． 故選：C． 【點睛】本題主要考查了等比數列的 性質及基本不等式的簡單應用，求解最值的關鍵是進行1的代換． 12.已知直線l的傾斜角為，直線與雙曲線 的左、右兩支分別交于M、N兩點，且都垂直于x軸（其中 分別為雙曲線C的左、右焦點），則該雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根據題意設點，，則，又由直線的傾斜角為，得，結合點在雙曲線上，即可求出離心率. 【詳解】直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點，且、都垂直于軸， 根據雙曲線的對稱性，設點，， 則，即，且， 又直線的傾斜角為， 直線過坐標原點，， ，整理得，即，解方程得，（舍） 故選D. 【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質、直線與雙曲線的位置關系及雙曲線離心率的求法，考查化簡整理的運算能力和轉化思想，屬于中檔題. 圓錐曲線離心率的計算，常采用兩種方法： 1、通過已知條件構建關于的齊次方程，解出. 根據題設條件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面幾何相似，直角三角形性質等）借助之間的關系，得到關于的一元方程，從而解得離心率. 2、通過已知條件確定圓錐曲線上某點坐標，代入方程中，解出. 根據題設條件，借助表示曲線某點坐標，代入曲線方程轉化成關于的一元方程，從而解得離心率. 第Ⅱ卷（非選擇題90分） 二．填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分） 13.已知函數f（x）=的圖象在點（1，f（1））處的切線過點（-1,1），則a=_______． 【答案】-5 【解析】 【分析】 求出函數的導數f′（x）=3x2+a，f′（1）=3+a，而f（1）=a+2,根據點斜式得到程，利用切線的方程經過的點求解即可． 【詳解】函數f（x）=x3+ax+1的導數為：f′（x）=3x2+a，f′（1）=3+a，而f（1）=a+2， 切線方程為：y﹣a﹣2=（3+a）（x﹣1），因為切線方程經過（-1，1）， 所以1﹣a﹣2=（3+a）（-1﹣1）， 解得a=-5． 故答案為：-5. 【點睛】這個題目考查了利用導數求函數在某一點處的切線方程；步驟一般為：一，對函數求導，代入已知點得到在這一點處的斜率；二，求出這個點的橫縱坐標；三，利用點斜式寫出直線方程. 14.“斐波那契”數列由十三世紀意大利數學家斐波那契發(fā)現．數列中的一系列數字常被人們稱之為神奇數．具體數列為1，1，2，3，5，8，即從該數列的第三項數字開始，每個數字等于前兩個相鄰數字之和．已知數列為“斐波那契”數列，為數列的前項和，若則__________．(用M表示) 【答案】 【解析】 分析：由“斐波那契”數列定義找與的關系。由定義可得，依次迭代可得 。進而可得?？汕蟮?。 詳解：由“斐波那契”數列可知 。 所以 ， 所以 點睛：有關數列求和問題，若是等差、等比數列，應根據等差、等比數列的前項和公式求解；若不是等差、等比數列，看能否構造等差、等比數列，再用等差、等比數列的前項和公式求解；其它特殊數列，應根據特殊數列的定義求解，如“斐波那契”數列，應根據其定義，依次迭代尋找前項和與的關系，進而求解。 15.學校藝術節(jié)對同一類的四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下: 甲說：“作品獲得一等獎”；乙說：“作品獲得一等獎” 丙說：“兩項作品未獲得一等獎” 丁說：“是或作品獲得一等獎” 若這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是__________． 【答案】C. 【解析】 若獲得一等獎,則甲、丙、丁的話是對的,與已知矛盾;若獲得一等獎,則四人的話是錯誤的,與已知矛盾;若獲得一等獎,則乙、丙的話是對的,滿足題意;所以獲得一等獎的作品是. 16.已知直線交拋物線于E和F兩點，以EF為直徑的圓被x軸截得的弦長為，則k=__________ . 【答案】 【解析】 由消去y整理得， 設， 則， ∴． 由拋物線的定義可得， ∴以為直徑的圓的半徑為，圓心到x軸的距離為． 由題意得， 解得． 答案： 三.解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.已知，為的反函數，不等式的解集為 (I)求集合； (II)當時，求函數的值域. 【答案】（1）；（2） 【解析】 試題分析： （1）由題意得不等式，解不等式即可得到集合M；（2）先求反函數，進而得到的解析式，再求函數的值域。 試題解析： （1）∵ ，即， ∴ 解得。 故。 （2）∵， ∴，即。 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴函數的值域為。 18.中，角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，已知a=3，cosA=,B=A+， (I)求b的值； (II)求的面積. 【答案】（1）（2） 【解析】 試題分析：（1）借助題設條件運用正弦定理及同角三角函數之間的關系求解；（2）借助題設運用誘導公式及三角變換公式求解. 試題解析： （1）因，故……1分 因，故.……3分 由正弦定理，得.……6分 （2）……8分 ……10分 的面積為.……12分 考點：誘導公式、三角變換公式及正弦定理等有關知識的綜合運用. 19.如圖，多面體中，,平面，且. （Ⅰ）為線段中點，求證：平面； （Ⅱ）求多面體的體積. 【答案】(1)見解析；（2） . 【解析】 試題分析：（Ⅰ）通過證明面面平行得到線面平行；（Ⅱ）將多面體分割成三棱錐和四棱錐，再分別算出它們的體積。它們之和即為所求。 試題解析：（Ⅰ）證明：取中點，由平面平面∴平面 （Ⅱ） 20.已知數列前項和為，滿足， (I)求證：存在實數數使得列是等比數列； (II)設，求數列的前項和 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】 試題分析：(1)由得到數列 的遞推關系，利用等比數列的定義加以證明；(2)由（1）問明確數列的通項，進而利用錯位相減法求和. 試題解析： (1）（1）當時，，（2）當時， ， 設，則 是以2為首項，2為公比的等比數列. (2)由(1）得，， 點睛：用錯位相減法求和應注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式；(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解. 21.已知函數f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝2x＋ax3，a為實常數． (I)求g(x)的單調區(qū)間； (II)當a＝－1時，證明：存在x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線互相平行. 【答案】(1)見解析；(2)證明見解析. 【解析】 【分析】 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可； （2）代入a的值，令h（x）＝f′（x）﹣g′（x）＝ex﹣e﹣x﹣2+3x2，根據函數的單調性證明即可． 【詳解】（1）g′(x)＝3ax2+2， 當a≥0時，g′(x)＞0故g(x)的單調增區(qū)間為（﹣∞，+∞）. 當a＜0時，令g′(x)≥0得x，g(x)的單調增區(qū)間為[x]， g（x）的單調減區(qū)間為：（﹣∞，），（，+∞） （2）當a＝﹣1時，f′(x)＝ex﹣e﹣x，g′(x)＝2﹣3x2， x0∈（0，1），使得y＝f(x)和y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線互相平行． 即x0∈（0，1）使得f′（x0）＝g′（x0），且f（x0）≠g（x0）， 令h(x)＝f′(x)﹣g′(x)＝ex﹣e﹣x﹣2+3x2， h（0）＝﹣2＜0，h（1）＝e2+3＞0， ∴x0∈（0，1）使得f′（x0）＝g′（x0）. ∵當x∈（0，）時,g′(x)＞0，當x∈（，1）時g′(x)＜0， ∴所以g(x)在區(qū)間（0，1）的最大值為g（），g（）2. 而f(x)＝ex+e﹣x≥22， ∴x∈（0，1）時f(x)＞g(x)恒成立，∴f（x0）≠g（x0）． 從而當a＝﹣1時，：?x0∈（0，1），使得y＝f(x)和y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線互相平行． 【點睛】本題考查了函數的單調性，最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題． 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分． 22.【選修4-4：坐標系與參數方程】 已知某圓的極坐標方程為：． (I)將極坐標方程化為普通方程，并選擇恰當的參數寫出它的參數方程； (II)若點P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值． 【答案】（1）；（2）最大值為6，最小值為2． 【解析】 試題分析：（1）極坐標與直角坐標之間的關系是，以及，應用此公式可相互轉化；（2）圓的標準方程為，因此可設的坐標為，即則有，最大（小）值即得.這實質是圓的參數方程的應用. 試題解析：（1）； （2）圓的參數方程為所以， 那么x＋y最大值為6，最小值為2． 考點：極坐標方程與直角坐標方程的互化，圓的參數方程，三角函數的最值. 23.【選修4-5：不等式選講】 已知函數，P為不等式f（x）>4的解集． (I)求P； (II)證明：當m，時，． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析;　 【解析】 試題分析：（Ⅰ）利用絕對值的代數意義和零點分段討論法去掉絕對值符號，得到分段函數，再利用函數的單調性得到不等式的解集；（Ⅱ）通過平方、作差、分解因式進行證明即可． 試題解析：（Ⅰ） 由的單調性及得，或．　 所以不等式的解集為. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以，， ， 所以， 從而有．