2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(含解析) (II).doc

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2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(含解析) (II) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1.已知集合，，則等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 A∩B中的元素同時具有A，B的特征，問題等價于|1－2ai|＝2，a∈R，解得a＝.故選A. 2.若復(fù)數(shù)的實部和虛部互為相反數(shù)，那么實數(shù)等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 ， 因為該復(fù)數(shù)的實部和虛部互為相反數(shù)，因此，因此。 故選A. 3.設(shè)等差數(shù)列的前項和為.若，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 又.可得，則 故選D. 4.設(shè)函數(shù)，給出下列四個命題： ①當時，是奇函數(shù)； ②當，時，方程只有一個實數(shù)根； ③函數(shù)可能是上的偶函數(shù)； ④方程最多有兩個實根. 其中正確的命題是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函數(shù)的解析式結(jié)合奇偶性，單調(diào)性的定義逐一考查所給函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果 【詳解】①當時，函數(shù) ，則函數(shù)是奇函數(shù)，故正確 ②當，時，函數(shù)在上是增函數(shù)，且值域為，則方程只有一個實數(shù)根，故正確 ③若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，即，不存在等式在上成立，故錯誤 ④當，時，方程有三個實根：， 因此，方程最多有兩個實根錯誤 綜上所述，正確的命題有①② 故選 【點睛】對于函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用定義法來證明，對于方程解的個數(shù)（或函數(shù)零點個數(shù)）問題，可以利用函數(shù)的值域或者最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，草圖確定其中參數(shù)的范圍。 5. 某企業(yè)有4個分廠，現(xiàn)有新培訓(xùn)的6名技術(shù)人員，將這6名技術(shù)人員分配到各分廠，要求每個分廠至少1人，則不同的分配方案種數(shù)為（ ） A. 1080 B. 480 C. 1560 D. 300 【答案】C 【解析】 試題分析：先把6個人分成4組，每組至少一人 若4個組的人數(shù)按3、1、1、1分配，則不同的分組方案有種， 若4個組的人數(shù)按2、2、1、1分配，則不同的分組方案有種， 所以分組方法共有種 在這4組分給4個廠，不同的分配方法有 故答案選 考點：計數(shù)原理的應(yīng)用． 6.函數(shù)，的大致圖象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意可知：y=，當0≤x≤π時，∵y=x+sinx，∴y′=1+cosx≥0，又y=cosx在[0，π]上為減函數(shù)，所以函數(shù)y=x+sinx在[0，π]上為增函數(shù)且增速越來越?。划?π≤x＜0時，∵y=x-sinx，∴y′=1-cosx≥0，又y=cosx在[-π，0）上為增函數(shù)，所以函數(shù)y=x-sinx在[0，π]上為增函數(shù)且增速越來越?。挥趾瘮?shù)y=x+sin|x|，x∈[-π，π]，恒過（-π，-π）和（π，π）兩點，所以C選項對應(yīng)的圖象符合． 考點：本題考查了函數(shù)的圖象 點評：在解答的過程當中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、導(dǎo)數(shù)的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會和反思． 7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 試題分析：列出循環(huán)過程中S與K的數(shù)值，不滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán)． 解：第1次判斷后S=1，k=1， 第2次判斷后S=2，k=2， 第3次判斷后S=8，k=3， 第4次判斷后3＜3，不滿足判斷框的條件，結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果：8． 故選C． 考點：循環(huán)結(jié)構(gòu)． 8.如圖，在棱長為1的正方體中，點分別是棱，的中點，是側(cè)面內(nèi)一點，若 平面，則線段長度的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：先判斷出點的位置，確定使得取得最大值和最小值時點的位置，然后再通過計算可求得線段長度的取值范圍． 詳解：如下圖所示，分別取棱的中點M、N，連MN，， ∵分別為所在棱的中點，則， ∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF， ∴MN∥平面AEF． ∵， ∴四邊形為平行四邊形， ∴， 又平面AEF，AE?平面AEF， ∴∥平面AEF， 又， ∴平面∥平面AEF． ∵P是側(cè)面內(nèi)一點，且∥平面AEF， ∴點P必在線段MN上． 在中，． 同理，在中，可得， ∴為等腰三角形． 當點P為MN中點O時，，此時最短；點P位于M、N處時，最長． ∵，． ∴線段長度的取值范圍是． 故選B． 點睛：本題難度較大，解題時要借助幾何圖形判斷得出使得取得最值時的點P的位置，然后再根據(jù)勾股定理進行計算． 9.如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，畫出的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（ ） A. 9 B. C. 18 D. 27 【答案】A 【解析】 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個三棱錐A﹣BCD， 三棱錐的外面是長、寬、高為6、3、3的長方體， ∴幾何體的體積V==9， 故選：A． 【點評】本題考查三視圖求幾何體的體積，借助于長方體復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力． 10.若函數(shù)滿足且的最小值為4，則實數(shù)的值為( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 由約束條件作出可行域（如圖），當目標函數(shù)經(jīng)過可行域內(nèi)的點 時， 取得最小值，即 ，解之得 故選C. 11.A是拋物線上的一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，O為坐標原點，當時，,則拋物線的準線方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 過點A作準線的垂線AC，過點F作AC的垂線FB，垂足分別為C，B，如圖．由題意知∠BFA＝∠OFA－90＝30，又因為|AF|＝4，所以|AB|＝2.點A到準線的距離d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，解得p＝2，則拋物線y2＝4x的準線方程是x＝－1. 故選A. 點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義。一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時可以應(yīng)用結(jié)論來處理的；平時練習(xí)時應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用,尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實現(xiàn)點點距和點線距的轉(zhuǎn)化. 12.已知且，若為的最小值，則約束條件所確定的平面區(qū)域內(nèi)整點（橫坐標縱坐標均為整數(shù)的點）的個數(shù)為（ ） A. 29 B. 25 C. 18 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】 先根據(jù)基本不等式求最值得M值，再畫可行域，根據(jù)可行域求整點個數(shù). 【詳解】因為，所以,即作可行域如圖陰影部分，則整點個數(shù)為，選A. 【點睛】本題考查利用基本不等式求最值以及求可行域內(nèi)整點，考查基本分析求解能力，屬中檔題. 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22～23題為選做題，考生根據(jù)要求作答。 二、填空題：本題共4題，每小題5分，共20分。 13.點P從 出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動 弧長到達Q點，則Q點的坐標為_____. 【答案】 【解析】 點從出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達點 ∴ ∴，即 本題答案為 14.已知，且，函數(shù)的圖象恒過點P，若在冪函數(shù)圖像上，則＝__________． 【答案】 【解析】 試題分析：由于無論取何值，的圖象都經(jīng)過定點，在指數(shù)函數(shù)的圖象上，則，則 考點：1.對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)，2.指數(shù)計算 15.若的展開式中含有常數(shù)項，則的最小值等于__________． 【答案】2 【解析】 的展開式中， ， 令 ，展開式中含有常數(shù)項，當時，取最小值為 ； 令 ，展開式中含有常數(shù)項，當時，取最小值為2； 綜上可知：取最小值為2； 16.已知橢圓是橢圓上的兩點，線段的垂直平分線與軸相交于點，則的取值范圍是__________．（用表示） 【答案】 【解析】 設(shè) 的坐標分別為 和．因線段 的垂直平分線與 軸相交，故 不平行于 軸，即 ．又交點為 ，故，即 ………① 在橢圓上， 將上式代入①，得 ……..② ，可得 且 ， 即答案為 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17.如圖，已知是邊上一點. （1）若，且，求的面積； （2）當時，若，且，求的長. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先求CD上高，再根據(jù)面積公式求結(jié)果，（2）先根據(jù)直角三角形求，再根據(jù)余弦定理求的長. 【詳解】(1)過A點作AE于E，則 AE=, 則 （2） 所以 因此由得 【點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理以及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的. 18.已知數(shù)列滿足，. （1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式； （2） 令，求數(shù)列的前項和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由知：，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出； （2）bn=|11﹣2n|，設(shè)數(shù)列{11﹣2n}的前n項和為Tn，則．當n≤5時，Sn=Tn；當n≥6時，Sn=2S5﹣Tn． 【詳解】（1）證明：由知， 所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列. 則，. （2）， 設(shè)數(shù)列前項和為，則， 當時，； 當時，； 所以. 【點睛】本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 19.為普及學(xué)生安全逃生知識與安全防護能力，某學(xué)校高一年級舉辦了安全知識與安全逃生能力競賽，該競賽分為預(yù)賽和決賽兩個階段，預(yù)賽為筆試，決賽為技能比賽，現(xiàn)將所有參賽選手參加筆試的成績（得分均為整數(shù)，滿分為分）進行統(tǒng)計，制成如下頻率分布表. 分數(shù)（分數(shù)段） 頻數(shù)（人數(shù)） 頻率 合計 （1）求表中，，，，的值； （2）按規(guī)定，預(yù)賽成績不低于分的選手參加決賽.已知高一（2）班有甲、乙兩名同學(xué)取得決賽資格，記高一（2）班在決賽中進入前三名的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）見解析；（2）1 【解析】 【分析】 （1）由題意知，參賽選手共有50人，由此能求出表中的x，y，x，s，p的值． （2）由題意隨機變量X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和隨機變量X的數(shù)學(xué)期望． 【詳解】（1）由題意知，參賽選手共有（人）， 所以，，，. （2）由（1）知，參加決賽的選手共人，隨機變量的可能取值為，，， ， ， ， 隨機變量的分布列為： 因為， 所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望為. 【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題. 求解該類問題，首先要正確理解題意，其次要準確無誤的找出隨機變量的所以可能值，計算出相應(yīng)的概率，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差的公式進行計算，也就是要過三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)；（2）概率計算關(guān)；（3）公式應(yīng)用關(guān). 20.已知四邊形 的四個頂點在橢圓：上，對角線所在直線的斜率為，且，. （1）當點為橢圓的上頂點時，求所在直線方程； （2）求四邊形面積的最大值. 【答案】（1） ；（2）. 【解析】 試題分析：（1）由題意，對角線垂直平分線段，所以直線所在直線的斜率為，得中點的坐標為，所以所在直線方程為 ；（2）設(shè)，所在直線方程分別為， ，則，又得，所以當時，四邊形的面積最大，最大面積為. 試題解析： （1）因為，，所以對角線垂直平分線段. 因為直線 的斜率為，則直線所在直線的斜率為 . 又因為 ，則直線所在直線方程為. 由，解得 則中點的坐標為 所以所在直線方程為 ； （2）設(shè)，所在直線方程分別為， ， ， ， 中點 . 由得 令 ，得 ， 則 同理 則 又因為，所以中點 . 由點在直線上，得， 所以 因為，所以 所以當時，四邊形的面積最大，最大面積為. 21.已知(，且為常數(shù)). (1)求的單調(diào)區(qū)間； (2)若在區(qū)間內(nèi)，存在且時，使不等式成立，求的取值范圍. 【答案】 (1) 時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2) 【解析】 【分析】 （1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)正負分類討論單調(diào)區(qū)間，（2）先根據(jù)單調(diào)性化簡不等式，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)導(dǎo)數(shù)小于零有解，再利用變量分離法確定的取值范圍. 【詳解】(1)∵(且為常數(shù))，∴， ∴①若時，當，；當時，，即時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. ②若時，當，；當時，，即時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. (2)由(1)知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，∴不等式可化為，即，令，則在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴有解，即，∴有解，令，則，由得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，∴，故. 【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題. 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時請寫清題號. 22.在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，. （1）求的直角坐標方程； （2）曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求與的公共點的極坐標. 【答案】(1) (2) 【解析】 試題分析：（1）利用公式化簡極坐標方程得到；（2）由題設(shè)可知，是過坐標原點，傾斜角為的直線，將代入，解得：，故公共點的極坐標為. 試題解析： （1）將代入得：. （2）由題設(shè)可知，是過坐標原點，傾斜角為的直線， 因此的極坐標方程為劃， 將代入，解得：， 將代入得，不合題意，故公共點的極坐標為． 考點：坐標系與參數(shù)方程. 23.已知函數(shù). (1)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍； (2)當時，函數(shù)的最小值為,求實數(shù)的值. 【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ) . 【解析】 試題分析：（1）由絕對值不等式可求得實數(shù)的取值范圍.(2)以零點和分三段討論。 試題分析：(Ⅰ)可化為． 解得：或．實數(shù)的取值范圍為 （Ⅱ）函數(shù)的零點為和，當時知 如圖可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， 解得： 【點睛】絕對值函數(shù)的最值問題，一般按n個零點分n+1段討論,也可以結(jié)合圖像分析。