2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識名師講義 第十章 第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系 文

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1、 第二節(jié)　直線與圓的位置關(guān)系 知識梳理 一、與圓有關(guān)的角的概念 1．圓心角：頂點在圓心，兩邊和圓相交的角叫做圓心角(如圖1中的∠AOB)． 2．圓周角：頂點在圓上，兩邊和圓相交的角叫做圓周角(如圖2中的∠BAC)． 3．弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角(如圖3中的∠BAT)． 二、與圓有關(guān)的角的性質(zhì) 1．圓周角定理： 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半． 2．圓心角定理： 圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)． 推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等，在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等． 推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是

2、直角，90的圓周角所對的弦是直徑． 3．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角． 三、圓的切線的判定和性質(zhì) 1．圓的切線的判定：經(jīng)過圓的半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． 2．圓的切線的性質(zhì)： 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑． 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點． 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心． 四、與圓有關(guān)的比例線段 1．相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等． 2．割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等． 3．切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的

3、兩條線段長的比例中項． 4．切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角． 五、 圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì) 1．圓內(nèi)接四邊形的判定：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓． 推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓． 2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)： 圓內(nèi)接四邊形的對角互補． 圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角． 六、直線和圓的位置關(guān)系：相切，相離，相交 設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有 1 / 4 七、圓與圓的位置關(guān)系：相離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含 設(shè)圓O1

4、與圓O2的半徑分別為r1和r2，兩圓的圓心距為d，于是有： 1．d>r1＋r2?兩圓相離． 2．d＝r1＋r2?兩圓外切． 3.

5、D＝6 cm，則BD＝__________. 解析：設(shè)BD＝x，連接AC、BC，由直角三角形中的射影定理得CD2＝ADDB，即36＝(13－x)x，解得x＝4或x＝9. 答案：4或9 3．(2012肇慶二模)如圖所示，AB的延長線上任取一點C，過C作圓的切線CD，切點為D，∠ACD的平分線交AD于點E，則∠CED＝________. 解析：連接BD，BD與EC相交于點F，設(shè)∠1＝∠CED，∠2＝∠DFE，因為∠1＝∠A＋∠ACE，∠2＝∠CDB＋∠ECD，∠CDB＝∠A，∠ECD＝∠ACE，所以∠1＝∠2.而∠ADB＝90，所以∠CED＝45. 答案：45 4．(2

6、012湖北卷)如圖所示，點D在⊙O的弦AB上移動，AB＝4，連接OD，過點D作OD的垂線交⊙O于點C，則CD的最大值為________． 解析：因為CD＝，且OC為⊙O的半徑，是定值，所以當(dāng)OD取最小值時，CD取最大值．顯然當(dāng)OD⊥AB時，OD取最小值，故此時CD＝AB＝2，即為所求的最大值． 答案：2 1．(2013廣東卷)如圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，延長BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝________. 解析：依題意易知△ABC∽△CDE，所以＝， 又BC＝CD，所以BC2＝ABDE＝12，從而

7、BC＝2. 答案：2 2．(2013天津卷)如圖， 在圓內(nèi)接梯形ABCD中，AB∥DC.過點A作圓的切線與CB的延長線交于點E.若AB＝AD＝5，BE＝4，則弦BD的長為________． 解析：因為AB∥DC，所以四邊形ABCD是等腰梯形，所以BC＝AB＝AD，由切割線定理得EBEC＝EA2， 所以4(4＋5)＝EA2，所以EA＝6， 由于AB＝AD＝5，AE為切線， 所以∠DBA＝∠BDA ＝∠BAE 在△ABE中，由余弦定理得， 42＝52＋62－256cos ∠BAE， 所以cos ∠BAE＝＝，而cos ∠BDA＝， 所以BD＝2ABcos ∠BDA＝2

8、5＝. 答案： 1．(2013珠海二模)如圖，圓O內(nèi)的兩條弦AB，CD相交于圓內(nèi)一點P，已知PA＝4，PB＝2,4PC＝PD，則CD的長為____________． 解析：由相交弦定理知PAPB＝PDPC，因為PA＝4，PB＝2,4PC＝PD，所以42＝4PC2，得PC＝，所以PD＝4，CD＝PC＋PD＝5. 答案：5 　　　 第1題圖　　　　　　第2題圖 2．(2012惠州一模)如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90，BC＝4，AC＝3，以AC為直徑作圓O交AB于點D，則CD＝________. 解析：因∠ADC為直徑AC所對的圓周角，則∠ADC＝90，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由等面積法有ABCD＝CACB，故得CD＝. 答案： 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！