4、?UA＝{x|x≤1或x>3}，用區(qū)間可表示為(－∞，1]∪(3，＋∞)．
答案 (－∞，1]∪(3，＋∞)
題型一 函數關系的判定
【例1】 (1)下列圖形中，不能確定y是x的函數的是( )
(2)下列各題的對應關系是否給出了實數集R上的一個函數？為什么？
①f：把x對應到3x＋1；②g：把x對應到|x|＋1；
③h：把x對應到；④r：把x對應到.
(1)解析 任作一條垂直于x軸的直線x＝a，移動直線，根據函數的定義可知，此直線與函數圖象至多有一個交點．結合選項可知D不滿足要求，因此不表示函數關系．
答案 D
(2)解?、偈菍崝导疪上的一個函數．它的對應關系f是：
5、把x乘3再加1，對于任意x∈R,3x＋1都有唯一確定的值與之對應，如當x＝－1時，有3x＋1＝－2與之對應．
同理，②也是實數集R上的一個函數．
③不是實數集R上的函數．因為當x＝0時，的值不存在．
④不是實數集R上的函數．因為當x<0時，的值不存在．
規(guī)律方法 1.根據圖形判斷對應是否為函數的方法
(1)任取一條垂直于x軸的直線l；
(2)在定義域內平行移動直線l；
(3)若l與圖形有且只有一個交點，則是函數；若在定義域內沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數．
2．判斷一個對應是否是函數的方法
【訓練1】 設M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下
6、列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數關系的有( )
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
解析?、馘e，x＝2時，在N中無元素與之對應，不滿足任意性．②對，同時滿足任意性與唯一性．③錯，x＝2時，對應元素y＝3?N，不滿足任意性．④錯，x＝1時，在N中有兩個元素與之對應，不滿足唯一性．
答案 B
題型二 相等函數
【例2】 (1)下列各組函數：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝，g(x)＝x＋3；
④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽車勻速運動時，路程與時間的函數關系f(t)＝80t(0≤t≤5)與
7、一次函數g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示相等函數的是________(填上所有正確的序號)．
(2)試判斷函數y＝與函數y＝是否相等，并說明理由．
(1)解析 ①f(x)與g(x)的定義域不同，不是同一函數；②f(x)與g(x)的解析式不同，不是同一函數；③f(x)＝|x＋3|，與g(x)的解析式不同，不是同一函數；④f(x)與g(x)的定義域不同，不是同一函數；⑤f(x)與g(x)的定義域、值域、對應關系皆相同，故是同一函數．
答案 ⑤
(2)解 不相等．對于函數y＝，由解得x≥1，故定義域為{x|x≥1}，對于函數y＝，由(x＋1)(x－1)≥0解得x≥1或x≤－1，故
8、定義域為{x|x≥1或x≤－1}，顯然兩個函數定義域不同，故不是相等函數．
規(guī)律方法 判斷兩個函數為相等函數應注意的三點
(1)定義域、對應關系兩者中只要有一個不相同就不是相等函數，即使定義域與值域都相同，也不一定是相等函數．
(2)函數是兩個數集之間的對應關系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．
(3)在化簡解析式時，必須是等價變形．
【訓練2】 判斷以下各組函數是否表示同一函數：
(1)f(x)＝()2；g(x)＝.
(2)f(x)＝x2－2x－1；g(t)＝t2－2t－1.
解 (1)由于函數f(x)＝()2的定義域為{x|x≥0}，而g(x)＝的定義域為{x
9、|x∈R}，它們的定義域不同，所以它們不表示同一函數．
(2)兩個函數的定義域和對應關系都相同，所以它們表示同一函數．
題型三 求函數值
【例3】 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值．
解 (1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，
∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.
規(guī)律方法 求函數值的方法及關注點
(1)方法：①已知f(x)的解析式時，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(
10、a))的值應遵循由里往外的原則．
(2)關注點：用來替換解析式中x的數a必須是函數定義域內的值，否則函數無意義．
【訓練3】 已知函數f(x)＝.
(1)求f(2)；(2)求f[f(1)]．
解 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
(2)f(1)＝＝，f[f(1)]＝f＝＝.
考查方向
題型四 求函數的定義域
方向1 已知函數的解析式求函數的定義域
【例4－1】 求下列函數的定義域：
(1)y＝－；(2)y＝.
解 (1)要使函數有意義，自變量x的取值必須滿足
解得x≤1，且x≠－1，
即函數定義域為{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函數有意義，自變量x的
11、取值必須滿足
解得x≤5，且x≠3，
即函數定義域為{x|x≤5，且x≠3}．
規(guī)律方法 求函數定義域的實質及結果要求
(1)求函數的定義域實質是解不等式(組)，即將滿足的條件轉化為解不等式(組)的問題，要求把滿足條件的不等式列全．
(2)結果要求：定義域的表達形式可以是集合形式，也可以是區(qū)間形式．
方向2 求抽象函數的定義域
【例4－2】 (1)設函數f(x)＝，則f(x＋1)等于什么？f(x＋1)的定義域是什么？
(2)若函數y＝f(x)的定義域是[0，＋∞)，那么函數y＝f(x＋1)的定義域是什么？
解 (1)f(x＋1)＝.令x＋1≥0，解得x≥－1，所以f(x＋1)
12、＝的定義域為[－1，＋∞)．
(2)函數y＝f(x)的定義域是[0，＋∞)，所以令x＋1≥0，解得x≥－1，所以函數y＝f(x＋1)的定義域是[－1，＋∞)．
【例4－3】 若函數y＝f(x＋1)的定義域是[1,2]，根據函數定義域的定義，這里的“[1,2]”是指誰的取值范圍？使對應關系f有意義的自變量t＝x＋1的范圍是什么？函數y＝f(x)的定義域是什么？
解 這里的“[1,2]”是自變量x的取值范圍．因為x∈[1,2]，所以x＋1∈[2,3]，所以使對應關系f有意義的自變量t＝x＋1的范圍是[2,3]，所以函數y＝f(x)的定義域是[2,3]．
【例4－4】 (1)已知函數y＝f(
13、x)的定義域為[－2,3]，求函數y＝f(2x－3)的定義域．
(2)已知函數y＝f(2x－3)的定義域是[－2,3]，求函數y＝f(x＋2)的定義域．
解 (1)因為函數y＝f(x)的定義域為[－2,3]，即x∈[－2,3]，函數y＝f(2x－3)中2x－3的范圍與函數y＝f(x)中x的范圍相同，所以－2≤2x－3≤3，解得≤x≤3，
所以函數y＝f(2x－3)的定義域為.
(2)因為x∈[－2,3]，所以2x－3∈[－7,3]，即函數y＝f(x)的定義域為[－7,3]，
令－7≤x＋2≤3，解得－9≤x≤1，所以函數y＝f(x＋2)的定義域為[－9,1]．
規(guī)律方法 兩類抽象函
14、數的定義域的求法
(1)已知f(x)的定義域，求f(g(x))的定義域：若f(x)的定義域為[a，b]，則f(g(x))中a≤g(x)≤b，從中解得x的取值集合即為f(g(x))的定義域．
(2)已知f(g(x))的定義域，求f(x)的定義域：若f(g(x))的定義域為[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范圍，g(x)的值域即為f(x)的定義域．
課堂達標
1．下列圖象中表示函數圖象的是( )
解析 根據函數的定義，對任意的一個x都存在唯一的y與之對應，而A，B，D都是一對多，只有C是多對一．故選C．
答案 C
2．下列各組函數中表示同一函數的是( )
A．
15、f(x)＝x與g(x)＝()2
B．f(x)＝|x|與g(x)＝x(x>0)
C．f(x)＝2x－1與g(x)＝2x＋1(x∈N*)
D．f(x)＝與g(x)＝x＋1(x≠1)
解析 選項A，B，C中兩個函數的定義域均不相同，故選D．
答案 D
3．函數f(x)＝＋的定義域是________．
解析 ∵函數f(x)＝＋，∴解得x≥4，且x≠5.∴函數f(x)的定義域是[4,5)∪(5，＋∞)．
答案 [4,5)∪(5，＋∞)
4．已知函數f(x)的定義域為(0,2)，則f(x－1)的定義域為________．
解析 由題意知0
16、義域為(1,3)．
答案 (1,3)
5．已知函數f(x)＝x2＋x－1.
(1)求f(2)，f；
(2)若f(x)＝5，求x的值．
解 (1)f(2)＝22＋2－1＝5，
f＝＋－1＝.
(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，
∴x＝2或x＝－3.
課堂小結
1．函數的本質：兩個非空數集間的一種確定的對應關系．由于函數的定義域和對應關系一經確定，值域隨之確定，所以判斷兩個函數是否相等只須兩個函數的定義域和對應法則一樣即可．
2．f(x)是函數符號，f表示對應關系，f(x)表示x對應的函數值，絕對不能理解為f與x的乘積．在不同的函數中f的具體含義不同，對應關系可以是解析式、圖象、表格等．函數除了可用符號f(x)表示外，還可用g(x)，F(x)等表示．
高中數學人教版A版必修一學案：第一單元 1.2.1 函數的概念 Word版含答案
