精修版貴州省貴陽市九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座 02第二講 判別式——二次方程根的檢測(cè)器

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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 為了檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，工廠里通常使用各種檢驗(yàn)儀器，為了辨別鈔票的真?zhèn)?，銀行里常常使用驗(yàn)鈔機(jī)，類似地，在解一元二次方程有關(guān)問題時(shí)，最好能知道根的特性：如是否有實(shí)數(shù)根，有幾個(gè)實(shí)數(shù)根，根的符號(hào)特點(diǎn)等．我們形象地說，判別式是一元二次方程根的“檢測(cè)器”，在以下方面有著廣泛的應(yīng)用： 利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性； 運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍； 通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題； 借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定

2、有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最值問題． 【例題求解】 【例1】 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是 ． (廣西中考題) 思路點(diǎn)撥 利用判別式建立關(guān)于的不等式組，注意、的隱含制約． 注：運(yùn)用判別式解題，需要注意的是： (1)解含參數(shù)的二次方程，必須注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0的隱含制約； (2)在解涉及多個(gè)二次方程的問題時(shí)，需在整體方法、降次消元等方法思想的引導(dǎo)下，綜合運(yùn)用方程、不等式的知識(shí)． 【例2】 已知三個(gè)關(guān)于的方程：，和，若其中至少有兩個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的

3、取值范圍是( ) A． B．或 C． D． （山東省競(jìng)賽題） 思路點(diǎn)撥 “至少有兩個(gè)方程有實(shí)根”有多種情形，從分類討論人手，解關(guān)于的不等式組，綜合判斷選擇． 【例3】 已知關(guān)于的方程， (1)求證：無論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根； (2)若等腰三角形△ABC的一邊長(zhǎng)＝1，另兩邊長(zhǎng)、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)． (湖北省荊門市中考題) 思路點(diǎn)撥 對(duì)于(1)只需證明△≥0；對(duì)于(2)由于未指明底與腰，須分或、中有一個(gè)與c相等兩種情況討論，運(yùn)用判別式、根的定義求出、的值

4、． 注：（1）涉及等腰三角形的考題，需要分類求解，這是命題設(shè)計(jì)的一個(gè)熱點(diǎn)，但不一定每個(gè)這類題均有多解，還須結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理予以取舍． （2）運(yùn)用根的判別式討論方程根的個(gè)數(shù)為人所熟悉，而組合多個(gè)判別式討論方程多個(gè)根(三個(gè)以上)是近年中考，競(jìng)賽依托判別式的創(chuàng)新題型，解這類問題常用到換元、分類討論等思想方法． 【例4】 設(shè)方程，只有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值和相應(yīng)的3個(gè)根． (重慶市競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 去掉絕對(duì)值符號(hào)，原方程可化為兩個(gè)一元二次方程．原方程只有3個(gè)不相等的

5、實(shí)數(shù)根，則其中一個(gè)判別式大于零，另一個(gè)判別式等于零． 【例5】已知：如圖，矩形ABCD中，AD＝，DC＝，在 AB上找一點(diǎn)E，使E點(diǎn)與C、D的連線將此矩形分成的三個(gè)三角形相似，設(shè)AE＝，問：這樣的點(diǎn)E是否存在?若存在， 這樣的點(diǎn)E有幾個(gè)?請(qǐng)說明理由． (云南省中考題) 思路點(diǎn)撥 要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，點(diǎn)E必須滿足∠AED+∠BEC＝90，為此，可設(shè)在AE上存在滿足條件的點(diǎn)E使得Rt△ADE∽R(shí)t△BEC，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，通過判別式討論點(diǎn)E的存在與否及存在的個(gè)數(shù)．

6、 注：有些與一元二次方程表面無關(guān)的問題，可通過構(gòu)造方程為判別式的運(yùn)用鋪平道路，常見的構(gòu)造方法有： (1)利用根的定義構(gòu)造； (2)利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造； (3)確定主元構(gòu)造． 學(xué)力訓(xùn)練 1．已知，若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則= ． 2．若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 ． (遼寧省中考題) 3．已知關(guān)于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，化簡(jiǎn)= ． 4．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是( ) A． B． C．且 D．且 (山西省中考題) 5．已知一直角三角形的三邊

7、為、、，∠B＝90，那么關(guān)于的方程的根的情況為( ) A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．無法確定 (河南省中考題) 6．如果關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，那么方程的根的情況是( ) A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

8、 (2003年河南省中考題) 7．在等腰三角形ABC中，∠ A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為、、，已知，和是 關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長(zhǎng)． (濟(jì)南市中考題) 8．已知關(guān)于的方程 (1)求證：無論m取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根； (2)如果方程的兩實(shí)根分別為、，滿足=3，求實(shí)數(shù)的值． (鹽城市中考題) 9．、為實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根． (1)求證：； (2)若該方程的三個(gè)不等實(shí)根，恰為一個(gè)三角形三內(nèi)角

9、的度數(shù)，求證該三角形必有一個(gè)內(nèi)角是60； (3)若該方程的三個(gè)不等實(shí)根恰為一直角三角形的三條邊，求和的值． (江蘇省蘇州市中考題) 10．關(guān)于的兩個(gè)方程，中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則m的取值范圍是 ． (2002年四川省競(jìng)賽題) 11．當(dāng)= ，= 時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根． (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) 12．若方程有且只有相異二實(shí)根，則的取值范圍是 ． 13．如果關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，那么關(guān)于的方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)( )

10、 A．2 B．1 C．0 D．不能確定 14．已知一元二次方程，且、可在1、2、3、4、5中取值，則在這些方程中有實(shí)數(shù)根的方程共有( ) A12個(gè) B．10個(gè) C． 7個(gè) D．5個(gè) (河南省中考題) 15．已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足方程，則方程根的情況是( ) A．有兩相等實(shí)根 B．有兩相異實(shí)根 C．無實(shí)根 D．不能確定 (河北省競(jìng)賽

11、題) 16．若a、b、c、d>0，證明：在方程①；②；③；④中，至少有兩個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． (湖北省黃岡市競(jìng)賽題) 17．已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足，abc＝1，求證：a、b、c中至少有一個(gè)大于 18．關(guān)于的方程有有理根，求整數(shù)是的值． (山東省競(jìng)賽題) 19．考慮方程① (1)若=24，求一個(gè)實(shí)數(shù)，使得恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足①式． (2)若≥25，是否存在實(shí)數(shù)，使得恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足①式?說明你的結(jié)論． (國家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題) 20．如圖，已知邊長(zhǎng)為的正方形ABCD內(nèi)接于邊長(zhǎng)為的正方形EFGH，試求的取值范圍． 參考答案 最新精品資料