《2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.2.2 第1課時 橢圓的幾何性質(zhì)學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.2.2 第1課時 橢圓的幾何性質(zhì)學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第1課時 橢圓的幾何性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形.2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)、圖形.
知識點(diǎn)一 橢圓的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
圖形
性質(zhì)
焦點(diǎn)
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
F1F2＝2c
(c＝)
F1F2＝2c
(c＝)
范圍
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
對稱性
關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱
頂點(diǎn)
(a,0)，(0，b)
(0，a)，(b,0)
軸
長軸長2a，短軸長2b
知識點(diǎn)二 橢圓的離心率
思考 觀察不同的橢圓可見它們的扁平程度不一樣，哪些量影響其扁平程度？怎樣刻畫？
答案 如圖所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，記e＝，則0
b>0)的短軸長等于b.( )
類型一 由橢圓方程研究其幾何性質(zhì)
例1 求橢圓＋y2＝1的長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并利用對稱性畫出這個橢圓.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)
解 由方程知a＝4，b＝1，所以長軸長2a＝8，短軸長2b＝2，c＝＝.
∴離心率e＝＝，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)，(，0).
頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，(0，1).
畫圖：先作出直線x＝4，y＝1圍成的矩形框，然后在第一象限描點(diǎn)，，.
畫出第一象限部分的圖象，最后利用對稱性作出二、三、四象限的圖象.
反思與感悟 解決此類問題的方法是將所給方程先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量.
跟蹤訓(xùn)練1 求橢圓9x2＋16y2＝144的長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)
解 將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，
于是a＝4，b＝3，c＝＝.
∴橢圓的長軸長和短軸長分別是2a＝8和2b＝6，
離心率e＝＝.又知焦點(diǎn)在x軸上，
∴兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(－，0)和F2(，0)，
四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3).
類型二 求橢圓的離心率
例2 橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求橢圓離心率
答案?。?
解析 方法一 如圖，
∵△DF1F2為正三角形，
N為DF2的中點(diǎn)，
∴F1N⊥F2N.∵NF2＝c，
∴NF1＝
＝＝c，
則由橢圓的定義可知，NF1＋NF2＝2a，
∴c＋c＝2a，
∴e＝＝＝－1.
方法二 注意到在焦點(diǎn)三角形NF1F2中，∠NF1F2＝30，
∠NF2F1＝60，∠F1NF2＝90.
則由離心率的公式和正弦定理，得
e＝＝＝
＝＝
＝－1.
反思與感悟 涉及到焦點(diǎn)三角形注意利用橢圓的定義找到a與c的關(guān)系或利用e＝求解.
跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x＝上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30的等腰三角形，則橢圓E的離心率為________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求橢圓離心率
答案
解析 如圖，設(shè)直線x＝交x軸于D點(diǎn).
因為△F2PF1是底角為30的等腰三角形，則有F1F2＝F2P.
因為∠PF1F2＝30，
所以∠PF2D＝60，∠DPF2＝30.
所以DF2＝F2P＝F1F2，
即－c＝2c?＝2c，即＝，
所以橢圓的離心率為e＝.
例3 (1)設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率為________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求橢圓離心率
答案
解析 直線AB：x＝c，代入＋＝1，得y＝，
∴A，B.
∴＝＝＝－.
∴直線BF1：y－0＝－(x＋c)，
令x＝0，則y＝－，∴D.
∴kAD＝＝.
由于AD⊥BF1，∴－＝－1，∴3b4＝4a2c2，
∴b2＝2ac，即(a2－c2)＝2ac，
∴e2＋2e－＝0，
∴e＝＝，
∵e>0，∴e＝＝＝.
(2)若橢圓＋＝1(a>b>0)上存在一點(diǎn)M，使得∠F1MF2＝90(F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點(diǎn))，則橢圓的離心率e的取值范圍為________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求離心率的范圍
答案
解析 橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，－b≤y≤b.
由題意知，以F1F2為直徑的圓至少與橢圓有一個公共點(diǎn)，則c≥b，即c2≥b2，
所以c2≥a2－c2，
所以e2≥1－e2，即e2≥.
又0b>0)，
由橢圓的對稱性知，B1F＝B2F.
又B1F⊥B2F，
∴△B1FB2為等腰直角三角形，
∴OB2＝OF，即b＝c.
又FA＝－，
即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，
將上面三式聯(lián)立，得
解得
∴所求橢圓方程為＋＝1.
反思與感悟 此類問題應(yīng)由所給的幾何性質(zhì)充分找出a，b，c所應(yīng)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而求出a，b.在求解時，需注意當(dāng)焦點(diǎn)所在位置不確定時，應(yīng)分類討論.
跟蹤訓(xùn)練4 根據(jù)下列條件，求中心在原點(diǎn)，對稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓方程.
(1)長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)(2，－6)；
(2)焦點(diǎn)在x軸上，一個焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)連線互相垂直，且半焦距為6.
考點(diǎn) 橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用
題點(diǎn) 由橢圓的幾何特征求方程
解 (1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0).
由題意得解得
∴橢圓方程為＋＝1.
同理可得當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，
橢圓方程為＋＝1.
故所求橢圓方程為＋＝1或＋＝1.
(2)依題意有∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求橢圓方程為＋＝1.
1.橢圓＋＝1的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)之間的距離為________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)
答案
解析 上頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5)，右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，故它們的距離為.
2.若橢圓的長軸長是短軸長的2倍，且焦距為2，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________________.
考點(diǎn) 橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用
題點(diǎn) 由橢圓的幾何特征求方程
答案?。?或＋＝1
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)
解析 由題意可知a＝2b，c＝1，所以1＋b2＝4b2，故b2＝，a2＝，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1.
3.已知橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，一個頂點(diǎn)是(0,13)，另一個頂點(diǎn)是(－10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)
答案 (0，)
解析 由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且a＝13，b＝10，則c＝＝，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，).
4.已知點(diǎn)(m，n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，則2m＋4的取值范圍為________________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 橢圓范圍的簡單應(yīng)用
答案 [4－2，4＋2]
解析 因為點(diǎn)(m，n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，即在橢圓＋＝1上，所以點(diǎn)(m，n)滿足橢圓的取值范圍|x|≤，|y|≤2，因此|m|≤，即－≤m≤，所以2m＋4∈[4－2，4＋2].
5.過橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝60，則橢圓的離心率為________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求橢圓離心率
答案
解析 ∵PF1＋PF2＝2a，又∠F1PF2＝60，
∴PF1＝PF2，
∴PF2＝2a?PF2＝a，PF1＝a.
在Rt△PF1F2中，PF＋F1F＝PF，
∴2＋(2c)2＝2，解得e＝＝.
1.已知橢圓的方程討論性質(zhì)時，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式，應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)形式.
2.根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可以求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系數(shù)法.在橢圓的基本量中，能確定類型的量有焦點(diǎn)、頂點(diǎn)，而不能確定類型的量有長軸長、短軸長、離心率e、焦距.
3.求橢圓的離心率要注意函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
一、填空題
1.橢圓25x2＋9y2＝225的短軸長是________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)
答案 6
解析 橢圓25x2＋9y2＝225，即為＋＝1.
則橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且b＝3，所以橢圓的短軸長為2b＝6.
2.已知橢圓E的短軸長為6，焦點(diǎn)F到長軸的一個端點(diǎn)的距離等于9，則橢圓E的離心率為________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求橢圓離心率
答案
解析 根據(jù)題意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9(舍去)，
所以a＝5，c＝4，故e＝＝.
3.已知橢圓的短半軸長為1，離心率0b>0)的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，若∠ABC＝90，則該橢圓的離心率為________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求橢圓的離心率
答案
解析 ∵∠ABC＝90，∴BC2＋AB2＝AC2，
∴c2＋b2＋a2＋b2＝(a＋c)2.
又b2＝a2－c2，∴e2＋e－1＝0.
∵00)，則BC＝x，
∴AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcosB
＝x2＋x2－2x2＝x2，
∴AC＝x.
由條件知，AC＋BC＝2a，AB＝2c，
∴x＋x＝2a，x＝2c，
∴e＝＝＝＝.
8.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 橢圓范圍的簡單應(yīng)用
答案 6
解析 由橢圓方程，得F(－1,0).設(shè)P(x0，y0)，
則＝(x0，y0)(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.
∵P為橢圓上一點(diǎn)，∴＋＝1.
∴＝x＋x0＋3＝＋x0＋3
＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2，
∴當(dāng)x0＝2時，取得最大值6.
9.若橢圓＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)作圓x2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓的方程為____________.
考點(diǎn) 橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用
題點(diǎn) 由橢圓的幾何特征求方程
答案?。?
解析 ∵x＝1是圓x2＋y2＝1的一條切線.
∴橢圓的右焦點(diǎn)為(1,0)，即c＝1.
設(shè)P，則kOP＝，
∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，
則直線AB的方程為y＝－2(x－1)，
它與y軸的交點(diǎn)為(0,2).
∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，
故橢圓的方程為＋＝1.
10.從橢圓＋＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率為________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求橢圓離心率
答案
解析 左焦點(diǎn)為F1(－c,0)，PF1⊥x軸，
當(dāng)x＝－c時，＋＝1，即y＝b2＝，解得yP＝(負(fù)值不合題意，已舍去)，點(diǎn)P，由斜率公式得kAB＝－，kOP＝－.
∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，得b＝c.
∵a2＝b2＋c2＝2c2，∴＝，解得e＝＝.
二、解答題
11.已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的離心率e＝，求實數(shù)m的值及橢圓的長軸長和短軸長，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo).
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)
解 將橢圓方程化為＋＝1，
由m－＝>0，可知m>.
所以a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得＝，解得m＝1.
于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1，
則a＝1，b＝，c＝.
所以橢圓的長軸長為2，短軸長為1；
兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；
四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－1,0)，(1,0)，，.
12.如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，A，B是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1⊥x軸，PF2∥AB，求此橢圓的離心率.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求橢圓離心率
解 設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0).
如題圖所示，則有F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，A(0，b)，B(a,0).
直線PF1的方程為x＝－c，
代入方程＋＝1，得y＝，
∴P.又PF2∥AB，∴△PF1F2∽△AOB.
∴＝，∴＝，∴b＝2c.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，即＝，∴e2＝，
即e＝，∴橢圓的離心率為.
13.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.
(1)若∠F1AB＝90，求橢圓的離心率；
(2)若橢圓的焦距為2，且AF2＝2F2B，求橢圓的方程.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求橢圓離心率
解 (1)若∠F1AB＝90，則△AOF2為等腰直角三角形，
所以有OA＝OF2，即b＝c，
所以a＝c，e＝＝.
(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)2(1,0).設(shè)B(x，y)，
由AF2＝2F2B，得＝2，
即(1，－b)＝2(x－1，y)，
解得x＝，y＝－.
代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，
解得a2＝3，所以b2＝2，
故橢圓的方程為＋＝1.
三、探究與拓展
14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以橢圓＋＝1(a>b>0)上的一點(diǎn)A為圓心的圓與x軸相切于橢圓的一個焦點(diǎn)，與y軸相交于B，C兩點(diǎn)，若△ABC是銳角三角形，則該橢圓的率心率的取值范圍為________.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求離心率的范圍
答案
解析 由題意得，圓半徑r＝，因為△ABC是銳角三角形，所以cos0>cos＝>cos，即<<1，所以<<1，即<<1，解得e∈.
15.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，兩個焦點(diǎn)分別為A(－1,0)，B(1,0)，一個頂點(diǎn)為H(2,0).
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)對于x軸上的點(diǎn)P(t,0)，橢圓E上存在點(diǎn)M，使得MP⊥MH，求實數(shù)t的取值范圍.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求橢圓方程、橢圓范圍的簡單應(yīng)用
解 (1)由題意可得c＝1，a＝2，
∴b＝.
∴所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)設(shè)M(x0，y0)(x0≠2)，則＋＝1.①
＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②
由①②消去y0，
整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝x0－.
∵－2＜x0＜2，∴－2＜t＜－1.
∴實數(shù)t的取值范圍為(－2，－1).
2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.2.2 第1課時 橢圓的幾何性質(zhì)學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx
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