江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前回扣8 推理與證明、復(fù)數(shù)、算法學(xué)案.doc

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8.推理與證明、復(fù)數(shù)、算法 1．歸納推理和類比推理 共同點(diǎn)：兩種推理的結(jié)論都有待于證明． 不同點(diǎn)：歸納推理是由特殊到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理． [問題1]　(1)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)，記f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測出f(n)＝________. (2)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，bn＝，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列．類比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為__________________． 答案　(1)　(2)dn＝ 2．證明方法：綜合法由因?qū)Ч?，分析法?zhí)果索因．反證法是常用的間接證明方法，利用反證法證明問題時(shí)一定要理解結(jié)論的含義，正確進(jìn)行反設(shè)． [問題2]　用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60”時(shí)，應(yīng)假設(shè)_______________________． 答案　三角形三個(gè)內(nèi)角都大于60 3．復(fù)數(shù)的概念 對(duì)于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，a叫做實(shí)部，b叫做虛部；當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時(shí)，復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)a＋bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)a＋bi叫做純虛數(shù)． [問題3]　若復(fù)數(shù)z＝lg(m2－m－2)＋ilg(m2＋3m＋3)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為________． 答案　－2 4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)運(yùn)算法則相同，主要是除法法則的運(yùn)用，另外復(fù)數(shù)中的幾個(gè)常用結(jié)論應(yīng)記熟： (1)(1i)2＝2i； (2)＝i；＝－i； (3)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0； (4)設(shè)ω＝－i，則ω0＝1；ω2＝；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0. [問題4]　已知復(fù)數(shù)z＝，是z的共軛復(fù)數(shù)，則||＝________. 答案　1 5．(1)循環(huán)結(jié)構(gòu)中幾個(gè)常用變量 ①計(jì)數(shù)變量：用來記錄某個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)，如i＝i＋1. ②累加變量：用來計(jì)算數(shù)據(jù)之和，如s＝s＋i. ③累乘變量：用來計(jì)算數(shù)據(jù)之積，如p＝pi. (2)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的框圖問題，關(guān)鍵是認(rèn)清終止循環(huán)結(jié)構(gòu)的條件及循環(huán)次數(shù)． [問題5]　執(zhí)行如圖的流程圖，則輸出S的值為________． 答案　2 解析　由算法知，記第k次計(jì)算結(jié)果為Sk，則有S1＝＝－1，S2＝＝，S3＝＝2，S4＝＝－1＝S1， 因此{(lán)Sk}是周期數(shù)列，周期為3，輸出結(jié)果為S2 016＝S3＝2. 易錯(cuò)點(diǎn)1　復(fù)數(shù)概念不清 例1　設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1－i，z2＝a＋2i，若的虛部是實(shí)部的2倍，則實(shí)數(shù)a的值為________． 易錯(cuò)分析　本題易出現(xiàn)的問題有兩個(gè)方面，一是混淆復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部；二是計(jì)算時(shí)，錯(cuò)用運(yùn)算法則導(dǎo)致失誤． 解析?。剑剑?， 故該復(fù)數(shù)的實(shí)部是，虛部是. 由題意，知＝2， 解得a＝6. 答案　6 易錯(cuò)點(diǎn)2　循環(huán)結(jié)束條件判斷不準(zhǔn) 例2　如圖所示是一算法的流程圖，若此程序的運(yùn)行結(jié)果為S＝720，則在判斷框中應(yīng)填入關(guān)于k的判斷條件是______________． 易錯(cuò)分析　本題可以按照開始的輸入值、程序執(zhí)行的規(guī)律和輸出結(jié)果進(jìn)行綜合解決．容易出錯(cuò)的就是不清楚這個(gè)判斷條件是什么，本題是當(dāng)不滿足判斷框中的條件時(shí)結(jié)束循環(huán)，當(dāng)判斷框中的條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)，故應(yīng)該從k＝10開始按照遞減的方式逐步進(jìn)行，直到S的輸出結(jié)果為720. 解析　第一次運(yùn)行結(jié)果為S＝10，k＝9， 第二次運(yùn)行結(jié)果為S＝109＝90，k＝8； 第三次運(yùn)行結(jié)果為S＝720，k＝7. 這個(gè)程序滿足判斷框的條件時(shí)執(zhí)行循環(huán)， 故判斷條件是k≥8或k>7. 答案　k≥8或k>7 易錯(cuò)點(diǎn)3　類比不當(dāng) 例3　已知圓的面積S(R)＝πR2，顯然S′(R)＝2πR表示的是圓的周長：C＝2πR.把該結(jié)論類比到空間，寫出球中的類似結(jié)論：_________________________________________________. 易錯(cuò)分析　該題易出現(xiàn)的問題是從平面圓類比到空間球的結(jié)論時(shí)缺乏對(duì)應(yīng)特點(diǎn)的分析，誤以為是球的表面積的導(dǎo)數(shù)問題，而無法得到正確的結(jié)論． 解析　平面圖形的面積應(yīng)該和空間幾何體的體積問題類比；平面圖形的周長應(yīng)和空間幾何體的表面積類比． 所以半徑為R的球的體積為V(R)＝πR3， 其導(dǎo)函數(shù)V′(R)＝3πR2＝4πR2，顯然表示的是球的表面積． 所以結(jié)論是：半徑為R的球的體積為V(R)＝πR3， 其導(dǎo)函數(shù)表示的是球的表面積：S＝4πR2. 答案　半徑為R的球的體積為V(R)＝πR3，其導(dǎo)函數(shù)表示的是球的表面積：S＝4πR2 易錯(cuò)點(diǎn)4　循環(huán)次數(shù)把握不準(zhǔn) 例4　執(zhí)行下面的流程圖，若P＝0.8，則輸出的n＝________. 易錯(cuò)分析　容易陷入循環(huán)運(yùn)算的“黑洞”，出現(xiàn)運(yùn)算次數(shù)的偏差而致錯(cuò)． 解析　順著框圖箭頭的走向列舉出有關(guān)的輸出數(shù)據(jù)，有 S：0＋＝，＋＝，＋＝＝0.875. n：2,3,4. “0.875<0.8”判斷為“N”，輸出n＝4. 答案　4 1．(2018江蘇姜堰中學(xué)等三校聯(lián)考)若復(fù)數(shù)z1＝3－2i，z2＝1＋ai(a∈R)，z1z2為實(shí)數(shù)，則a＝________. 答案　 解析　因?yàn)閦1z2＝3＋2a＋(3a－2)i為實(shí)數(shù)， 所以a＝. 2．已知復(fù)數(shù)z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i為虛數(shù)單位)．在復(fù)平面內(nèi)，z1－z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第____象限． 答案　二 解析　z1－z2＝(1－3)＋(3－1)i＝－2＋2i， 從而z1－z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限． 3．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6(a，b均為實(shí)數(shù))．請推測a＝________，b＝________. 答案　6　35 解析　由前面三個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系：整數(shù)和這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子相同，而分母是這個(gè)分子的平方減1，由此推測 中，a＝6，b＝62－1＝35. 4.如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)⊥時(shí)，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e＝________. 答案　 解析　設(shè)B(0，b)，F(xiàn)(－c,0)，A(a,0)， 在“黃金雙曲線”中， ∵⊥，∴＝0，∴b2＝ac， 而雙曲線中b2＝c2－a2，∴ac＝c2－a2， 等號(hào)兩端同除以a2，得e＝. 5．已知P(x0，y0)是拋物線y2＝2px(p>0)上的一點(diǎn)，過P點(diǎn)的切線方程的斜率可通過如下方式求得：在y2＝2px兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得2yy′＝2p，則y′＝，所以過P的切線的斜率k＝.類比上述方法求出雙曲線x2－＝1在P(，)處的切線方程為________． 答案　2x－y－＝0 解析　將雙曲線方程化為y2＝2(x2－1)，類比上述方法兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得2yy′＝4x， 則y′＝，即過P的切線的斜率k＝， 由于P(，)，故切線斜率k＝＝2， 因此切線方程為y－＝2(x－)， 整理得2x－y－＝0. 6．如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出k的值是________． 答案　5 解析　當(dāng)k＝1，S＝1時(shí)，經(jīng)過第一次循環(huán)得S＝2＋1＝3<80，k＝2；經(jīng)過第二次循環(huán)得S＝23＋2＝8<80，k＝3；經(jīng)過第三次循環(huán)得S＝28＋3＝19<80，k＝4，經(jīng)過第四次循環(huán)得S＝219＋4＝42<80，k＝5；經(jīng)過第五次循環(huán)得S＝242＋5＝89>80，退出循環(huán)，此時(shí)k＝5. 7．如圖是一個(gè)算法的偽代碼，則輸出的i值為________． S←9 i←1 While　S≥0 　S←S－i 　i←i＋1 End While Print　i 答案　5 解析　由算法語句知，算法的功能是求滿足S＝9－(1＋2＋3＋…＋i)<0的最小正整數(shù)i＋1的值， ∵S＝9－(1＋2＋3)＝3>0，S＝9－(1＋2＋3＋4)＝－1<0，∴輸出的i值為5. 8．執(zhí)行如圖所示的流程圖，輸出的結(jié)果為________． 答案　 解析　該流程圖的輸出結(jié)果為式子S＝sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin ＋sin 的值， 由于sin ＝，sin ＝，sin ＝0，sin ＝－，sin ＝－，sin ＝0， 所以sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＝0， 因此S＝sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin ＋sin ＝0335＋＋＝. 9．若數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，則a10＝________. 答案　1 000 解析　前9項(xiàng)共使用了1＋2＋3＋…＋9＝45個(gè)奇數(shù)，a10由第46個(gè)到第55個(gè)，共10個(gè)奇數(shù)的和組成，即a10＝(246－1)＋(247－1)＋…＋(255－1)＝＝1 000. 10．某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個(gè)球；第2,3,4堆最底層(第一層)分別按如圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f(n)＝________.(答案用n表示) 答案　 解析　由圖形觀察可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20，….故下一堆的個(gè)數(shù)是上一堆個(gè)數(shù)加上其第一層的個(gè)數(shù)，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋. 將以上n－1個(gè)式子相加，可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋ ＝[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)] ＝＝.