大連理工大學(xué)考研數(shù)學(xué)分析筆記

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1、 全國(guó)考研專業(yè)課高分資料 大連理工大學(xué) 《數(shù)學(xué)分析》 筆記 筆 記：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)本科生筆記或者輔導(dǎo)班筆記 講 義：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)本科教學(xué)課件 期末題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)本科期末測(cè)試題2-3套 模擬題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)考研專業(yè)課模擬測(cè)試題2套 復(fù)習(xí)題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)考研專業(yè)課導(dǎo)師復(fù)習(xí)題 真 題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)歷年考試真題，本項(xiàng)為贈(zèng)送項(xiàng)，未公布的不送！ 目錄 第二模塊 筆記 3 第

2、一部分 實(shí)數(shù)集與函數(shù) 3 第二部分 數(shù)列極限 8 第三部分 函數(shù)極限 10 第四部分 函數(shù)連續(xù)性 15 第五部分 導(dǎo)數(shù)與微分 32 第六部分微分中值定理及其應(yīng)用 38 第八部分 不定積分 53 第九部分 定積分 56 第十部分定積分的應(yīng)用 62 第十一部分 反常積分 70 第十二部分 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 74 第十三部分 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 92 第十四部分 冪級(jí)數(shù) 103 第十五部分 傅里葉級(jí)數(shù) 118 第十六部分 多元函數(shù)的極限與連續(xù) 133 第十七部分 多元函數(shù)微分學(xué) 138 第十八部分 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用 150 第十九部分 含參量積分 154 第二十部分 曲

3、線積分 165 第二十一部分 重積分 168 第二十二部分 曲面積分 177 第二模塊 筆記 第一部分 實(shí)數(shù)集與函數(shù) 1 實(shí) 數(shù) 數(shù)學(xué)分析研究的對(duì)象是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，因此先敘述一下實(shí)數(shù)的有關(guān)概念 一． 實(shí)數(shù)及其性質(zhì)： 回顧中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義. 有理數(shù)： 若規(guī)定： 則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無(wú)限循環(huán)小數(shù)。 例如： 記為 ；0 記為 ； 記為 實(shí)數(shù)大小的比較 定義1 給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) 其中 為非負(fù)整數(shù)，。若由 1） 則稱 與 相等，記為 2） 若存在非負(fù)整數(shù) ，使得 ，而，則稱 大于 （或 小于 ），分別記為 （或

4、）。 規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù)；對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)，若按定義1有 ，則稱 實(shí)數(shù)的有理數(shù)近似表示 定義2 設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù) 為實(shí)數(shù)的位不足近似值，而有理數(shù) 稱為的位過(guò)剩近似值。 對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù) 的位不足近似值規(guī)定為：； 的位過(guò)剩近似值規(guī)定為： 比如 ，則 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 稱為 的不足近似值； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 稱為 的過(guò)剩近似值。 命題 設(shè) 為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則 實(shí)數(shù)的一些主要性質(zhì) 1 四則運(yùn)算封閉性: 2 三歧性( 即有序性 ): 3 實(shí)數(shù)大小由傳遞性，即 4 Achime

5、des性: 5 稠密性: 有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的稠密性. 6 實(shí)數(shù)集的幾何表示 ─── 數(shù)軸: 例 二. 絕對(duì)值與不等式 絕對(duì)值定義： 從數(shù)軸上看的絕對(duì)值就是到原點(diǎn)的距離： 絕對(duì)值的一些主要性質(zhì) 性質(zhì)4（三角不等式）的證明： 三. 幾個(gè)重要不等式: ⑴ ⑵ 對(duì) 記 (算術(shù)平均值) (幾何平均值) (調(diào)和平均值) 有均值不等式: 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立. ⑶ Bernoulli 不等式: (在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)) 對(duì) 由二項(xiàng)展開(kāi)式 有: 上式右端任何一項(xiàng). 2 數(shù)集。確界

6、2 二 數(shù)集 . 確界原理: 一 區(qū)間與鄰域: 鄰域 二 有界數(shù)集 . 確界原理: 1. 有界數(shù)集: 定義(上、下有界, 有界) 閉區(qū)間、為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 也是有界數(shù)集. 無(wú)界數(shù)集: 對(duì)任意，存在 ，則稱S為無(wú)界集。 等都是無(wú)界數(shù)集, 例 證明集合 是無(wú)界數(shù)集. 證明：對(duì)任意, 存在 由無(wú)界集定義，E為無(wú)界集。 確界 先給出確界的直觀定義：若數(shù)集S有上界，則顯然它有無(wú)窮多個(gè)上界，其中最小的一個(gè)上界我們稱 它為數(shù)集S的上確界；同樣，有下界數(shù)集的最大下界，稱為該數(shù)集的下確界。 精確定義 定義2 設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，

7、若數(shù) 滿足一下兩條： （1） 對(duì)一切 有 ，即 是數(shù)集S 的上界； （2） 對(duì)任何 存在 使得（即是S的最小上界） 則稱數(shù)為數(shù)集S的上確界。記作 定義3 設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù) 滿足一下兩條： （3） 對(duì)一切 有 ，即 是數(shù)集S 的下界； （4） 對(duì)任何 存在 使得（即是S的最大下界） 則稱數(shù)為數(shù)集S的下確界。記作 3 函數(shù)概念 函數(shù)是整個(gè)高等數(shù)學(xué)中最基本的研究對(duì)象, 可以說(shuō)數(shù)學(xué)分析就是研究函數(shù)的. 因此我們對(duì)函數(shù)的概念以及常見(jiàn)的一些函數(shù)應(yīng)有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí). 一 函數(shù)的定義 1. 函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明. 函數(shù)的兩要素: 定義域和對(duì)應(yīng)法則 約定: 定義域是自變

8、量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值. 函數(shù)的表示法: 解析法, 列表法, 圖像法. 分段函數(shù) 狄里克雷函數(shù) 黎曼函數(shù) 三 函數(shù)的四則運(yùn)算（見(jiàn)課本） 四. 函數(shù)的復(fù)合: 六 初等函數(shù): 基本初等函數(shù): 1 常函數(shù) 2 冪函數(shù) 冪函數(shù) 4 具有某些特性的函數(shù) 1.有界函數(shù) 若函數(shù)在定義域上既有上界又有下界，則稱為上的有界函數(shù)。這個(gè)定義顯然等價(jià)于，對(duì)一切，恒有 請(qǐng)同學(xué)們利用有界函數(shù)的定義給出無(wú)界函數(shù)的定義。 例 是無(wú)界函數(shù)。 證明 對(duì)任意的 ，存在 ，取，則 2. 單調(diào)函數(shù) 奇函數(shù)與偶函數(shù)

9、 （1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 周期函數(shù) 1) 通常我們所說(shuō)的周期總是指函數(shù)的最小周期 2) 有的周期函數(shù)不一定有最小周期 ，例如常函數(shù)是周期函數(shù)， 狄里克雷函數(shù)，它們顯然沒(méi)有最小周期 第二部分 數(shù)列極限 1 數(shù)列極限概念 對(duì)于數(shù)列 ，設(shè) A 是一個(gè)常數(shù)，若任給 ，都存在相應(yīng)的自 然數(shù) 時(shí)， ，則稱 A為數(shù)列的極限。 下面我們通過(guò)圖示，對(duì)數(shù)列定義作幾點(diǎn)說(shuō)明： （1）的任意性 （2）的相應(yīng)性 三、用極限定義證明 的例題 2. 數(shù)列極限的等價(jià)定義: 對(duì) 對(duì)任正整數(shù) 2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 1. 極限唯一性：（ 證 ） 2. 收斂數(shù)列有界

10、性 —— 收斂的必要條件：（ 證 ） 3. 收斂數(shù)列保號(hào)性： 定理2.4 設(shè) 或. 則對(duì)(或(或 例1 設(shè) 證明：若 則（ 證 ） 定理2.5 設(shè)若， （注意“ = ” ；并注意和 的情況 ）. 推論 若 則對(duì) 4. 定理（ 迫斂性 ） ( 證 ) 5. 絕對(duì)值收斂性: ( 注意反之不確 ). ( 證 ) 推論 設(shè)數(shù)列{}和{}收斂, 則 6.四則運(yùn)算性質(zhì): 7. 子列收斂性: 子列概念. 定理 ( 數(shù)列收斂充要條件 ) {}收斂 {}的任何子列收斂于同一極限. 定理 ( 數(shù)列收斂充要條件 ) {}收斂 子列{}和{}收斂于同一極限. 定理 ( 數(shù)

11、列收斂充要條件 ) {}收斂 子列{}、{}和{都收斂. ( 簡(jiǎn)證 ) 一、利用數(shù)列極限性質(zhì)求極限: 兩個(gè)基本極限： 1. 利用四則運(yùn)算性質(zhì)求極限： 數(shù)列的單調(diào)遞增是顯然的, 有界很容易用歸納法證明, 而且 利用單調(diào)有界定理, 設(shè) 其極限為 , 則有 , A=2 定理 2.10 數(shù)列{收斂， （ 或數(shù)列{收斂， } 第三部分 函 數(shù) 極 限 1 函數(shù)極限概念 一 趨于時(shí)函數(shù)的極限 設(shè)函數(shù)定義在上，類似于數(shù)列情形，我們研究當(dāng)自變量趨于時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否無(wú)限地接近于某個(gè)定數(shù)。例如，對(duì)于函數(shù) 從圖象上可見(jiàn)，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)值無(wú)限地接近于0； 而對(duì)于

12、函數(shù)，則當(dāng)趨于時(shí)函數(shù)值無(wú)限地接近于。我們稱這兩個(gè)函數(shù)當(dāng)時(shí)有極限。 一般地，當(dāng)趨于時(shí)函數(shù)極限的精確定義如下： 定義1 設(shè)定義在上的函數(shù)，為定數(shù)。若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí), 有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作 或 。 說(shuō)明:(1)、在定義1中正數(shù)的作用與數(shù)列極限定義中的相類似，表明充分大的程度；但這里所考慮的是比大的所有實(shí)數(shù)，而不僅僅是正整數(shù)。因此，當(dāng)趨于時(shí)函數(shù)以為極限意味著：的任意小鄰域內(nèi)必含有在的某鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值。 (2)、定義1的幾何意義如下圖所示， 　　 對(duì)任給的，在坐標(biāo)平面上平行于軸的兩條直線 與，圍成以直線為中心線、寬為的帶形區(qū)域；定義

13、中的“當(dāng)時(shí)有”表示：在直線的右方，曲線全部落在這個(gè)帶形區(qū)域之內(nèi)。如果正數(shù)給的小一點(diǎn)，即當(dāng)帶形區(qū)域更窄一點(diǎn)，那么直線一般要往右平移；但無(wú)論帶形區(qū)域如何窄，總存在這樣的正數(shù)，使得曲線在直線的右邊部分全部落在這更窄的帶形區(qū)域內(nèi)。 定義1的否定敘述: 定義1’ 設(shè)定義在上的函數(shù)，為定數(shù)。若存在某個(gè)，對(duì)任意充分大的正數(shù)，總存在某個(gè),使得:，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)不以為極限. (3)、現(xiàn)設(shè)為定義在或上的函數(shù)，當(dāng)或時(shí)，若函數(shù)值能無(wú)限地接近某定數(shù)，則稱當(dāng)或時(shí)以為極限，分別記作: 或 ; 或 這兩種函數(shù)極限的精確定義與定義1相仿，只須把定義1中的“”分別改為“”或 “”即可。 問(wèn)題: (4)

14、、顯然,若為定義在上的函數(shù)，則 （1）(返回) 二 趨于時(shí)函數(shù)的極限 設(shè)為定義在某個(gè)空心鄰域內(nèi)的函數(shù)?，F(xiàn)在討論當(dāng)趨于時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否趨 于某個(gè)定數(shù)。這類函數(shù)極限的精確定義如下： 定義2（函數(shù)極限的定義）設(shè)函數(shù)在某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)。若對(duì)任給 的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為 極限，記作或 。 下面我們舉例說(shuō)明如何應(yīng)用定義來(lái)驗(yàn)證這種類型的函數(shù)極限。請(qǐng)讀者特別注意以下各例中的值是 怎樣確定的。 通過(guò)以上各個(gè)例子，讀者對(duì)函數(shù)極限的定義應(yīng)能體會(huì)到下面幾點(diǎn)： 1.定義2中的正數(shù)，相當(dāng)于數(shù)列極限定義中的，它依賴于， 但也不是由所唯一確定，一般來(lái)說(shuō)，愈小，也

15、相應(yīng)地要小一些，而且把取得更小些也無(wú)妨。如在例3 中可取或等等。 2.定義中只要求函數(shù)在某一空心鄰域內(nèi)有定義，而一般不考慮在點(diǎn)處的函數(shù)值是否有定義， 或者取什么值。這是因?yàn)?，?duì)于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)趨于過(guò)程中函數(shù)值的變化趨勢(shì)。如在 定理3.9設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某空心右鄰域 有定義。的充要條件是：對(duì)任何以 為極限的遞減數(shù)列，有。 這個(gè)定理的證明可仿照定理3.8進(jìn)行，但在運(yùn)用反證法證明充分性時(shí)，對(duì)的取法要作適當(dāng)?shù)男薷模? 以保證所找到的數(shù)列能遞減地趨于。證明的細(xì)節(jié)留給讀者作為練習(xí)。 相應(yīng)于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理，關(guān)于上述四類單側(cè)極限也有相應(yīng)的定理?，F(xiàn)以這種類型為例敘述如下： 定理3.

16、10設(shè)是定義在上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限存在。 證 不妨設(shè)在上遞增。因在上有界，由確界原理，存在，記為。 下證 。 事實(shí)上，任給，按下確界定義，存在，使得。取 ，則由 的遞增性，對(duì)一切=，有 另一方面，由，更有。從而對(duì)一切有 這就證得 。 最后，我們敘述并證明關(guān)于函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則。 定理3.11（柯西準(zhǔn)則）設(shè)在 內(nèi)有定義。存在的充要條件是：任給，存在 正數(shù)，使得對(duì)任何，，有 ． 證 必要性 設(shè)，則對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得對(duì)任何有 。于是對(duì)任何 ，有。 充分性 設(shè)數(shù)列 且 。按假設(shè)，對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得 對(duì)任何，有。由于（），對(duì)上述的，存在， 使得當(dāng)

17、時(shí)有 ，, 從而有 . 于是,按數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則,數(shù)列的極限存在,記為,即. 設(shè)另一數(shù)列且, 則如上所證, 存在, 記為. 現(xiàn)證. 為此,考慮數(shù)列:,,,,．．．,,,．．．易見(jiàn)且 故仍如上所證, 也收斂. 于是，作為的兩個(gè)子列，與必有相同的極限。所以由歸結(jié)原則推得 按照函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則，我們能寫(xiě)出極限 不存在的充要條件：存在 ，對(duì)任何 （無(wú)論多么小），總可找到，，使得 ． 如在例１中我們可取，對(duì)任何設(shè)正整數(shù) ，令 ，，則有 ， ，而 于是，按柯西準(zhǔn)則極限 不存在． 解 當(dāng)時(shí)有 。 故所求極限等于 。 第四部分 函數(shù)連續(xù)性 1 連續(xù)性的概念

18、 一 函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)的定義 設(shè)函數(shù)在的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有 ，則稱 在 時(shí)，以 為極限。 這里可以有三種情況： 1） 無(wú)定義，比如上部分講過(guò)的特殊極限 2），比如 ， 2）的情形 1）的情形 3） 3）的情形 對(duì)1）、2）兩種情況，曲線在 處都出現(xiàn)了間斷; 第3）種情況與前兩種情況不同，曲線在處連綿不斷 ，我們稱這種情況即：時(shí)， 在 處連續(xù)。為此給出函數(shù)在點(diǎn) 連續(xù)的定義 定義1 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，若： 則稱函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)。 2、函數(shù)在一

19、點(diǎn)的左、右連續(xù)的定義 相應(yīng)于在的左、右極限的概念，我們給出左右連續(xù)的定義如下： 定義2 設(shè)函數(shù) 在 的某左（右）鄰域內(nèi)有定義，若：（ ） 則稱 在 點(diǎn)左（右）連續(xù)。 由極限與單側(cè)極限的關(guān)系不難得出： 3、函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)與函數(shù)在該點(diǎn)左、右連續(xù)的關(guān)系： 定理4.1 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件為： 在 點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)。（事實(shí)上： ） 定理4.1的等價(jià)的否定敘述： 函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)的充分必要條件為： 在 點(diǎn)或不左連續(xù)或不右連續(xù)。 前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)在一點(diǎn)上連續(xù)的有關(guān)定義，下面我們來(lái)學(xué)習(xí) 二 函數(shù)的間斷點(diǎn)（不連續(xù)點(diǎn)）及其分類 1、函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)的定義 定義3 設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義

20、，若在點(diǎn)無(wú)定義，或在點(diǎn)有定義但不連續(xù)，則稱點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。 由連續(xù)的定義知，函數(shù) 在 點(diǎn)不連續(xù)必出現(xiàn)如下3種情形: 1） ，而在點(diǎn)無(wú)定義，或有定義但 2） 左、右極限都存在，但不相等, 稱： 為跳躍度或躍度。 3） 左、右極限至少一個(gè)不存在 據(jù)此，函數(shù)的間斷點(diǎn)可作如下分類： 2、間斷點(diǎn)及其分類 1）、可去間斷點(diǎn) 對(duì)于情況1），即若：（存在），而在點(diǎn)無(wú)定義，或有定義但，則稱： 為可去間斷點(diǎn)（或可去不連續(xù)點(diǎn)）； 三 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 定義 若函數(shù)在區(qū)間I上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱為I上的連續(xù)函數(shù),對(duì)于區(qū)間端點(diǎn)上的連續(xù)性 則按左、右連續(xù)來(lái)確定。 定義 如果 在區(qū)間 上僅

21、有有限個(gè)第一類不連續(xù)點(diǎn)，則稱函數(shù)在區(qū)間 上按段連續(xù)。 例如 是按段連續(xù)函數(shù)。 小結(jié)：1）函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的三個(gè)等價(jià)定義； 2）函數(shù)的左右連續(xù)性； 3）不連續(xù)的分類：可去不連續(xù)點(diǎn)；跳躍不連續(xù)；第二類不連續(xù)點(diǎn)； 4）區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的定義。 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 內(nèi)容：1 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 2 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 3 反函數(shù)的連續(xù)性 4 一致連續(xù)性 重點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)性質(zhì)；區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 難點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性；一致連續(xù)性. 一 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 根據(jù)函數(shù)的在點(diǎn)連續(xù)性，即可推斷出函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)的性態(tài)。 定理4.2（局部連續(xù)性

22、）若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有界。 定理4.3 （局部保號(hào)性） 若函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)，且 ，則對(duì)任意 存在 某鄰域 時(shí)， 定理4.4（四則運(yùn)算性質(zhì)）若函數(shù)則在區(qū)間I上有定義，且都在連續(xù)，則 （）在 點(diǎn)連續(xù)。 例 因連續(xù)，可推出多項(xiàng)式函數(shù) 和有理函數(shù)為多項(xiàng)式）在定義域的每一點(diǎn)連續(xù)。 同樣,由上的連續(xù)性，可推出與在定義域的每一點(diǎn)連續(xù)。 定理4.5（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)連續(xù)，，則復(fù)合函數(shù)在 點(diǎn)連續(xù)。 證明 由于在 連續(xù)，對(duì)任給的，存在 ，使 時(shí)有 （1） 又由及在連續(xù)，故對(duì)上述，存在，使得當(dāng)時(shí)，有. 聯(lián)系（1）得: 對(duì)任給的，存在 ，當(dāng) 時(shí)有. 這

23、就證明了 在點(diǎn) 連續(xù). 注：根據(jù)連續(xù)性的定義，上述定理的結(jié)論可表示為 (2) 二 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 前面我們研究了函數(shù)的局部性質(zhì)，下面通過(guò)局部性質(zhì)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的整體性質(zhì)。 定義1 設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若存在，使得對(duì)一切有 ， 則稱f在D上有最大（最小值）值，并稱為f在D上的最大（最小值）值. 例如 在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定義域D上不一定有最大值或最小值（即 使f在D上有界）。如在上既無(wú)最大值又無(wú)最小值，又如 (4)在閉區(qū)間上也無(wú)最大、最小值。 定理4.6 (最大最小值定理) 若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，則 在閉區(qū)間 上有最 大

24、值與最小值。 該定理及以后的定理4.7 和定理4.9將在第七部分2給出證明. 推論：（有界性）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上有界。 定理4.7(介值性定理) 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，若為介于之間的任何實(shí)數(shù)（ 或 ）,則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得: 　 推論（根的存在定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)使得 .即 在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根. 應(yīng)用介值性定理，還容易推得連續(xù)函數(shù)的下述性質(zhì)：若在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且不是常量函數(shù),則值 域 也是一個(gè)區(qū)間；特別若為區(qū)間 [a,b], 在 [a,b]上的最大值為,最小值為，則 ；又若 為

25、[a,b]上的增（減）連續(xù)函數(shù)且不為常數(shù)，則 例3 證明：若為正整數(shù)，則存在唯一正數(shù)，使得. 證明 先證存在性。由于當(dāng) 時(shí)有 ，故存在正數(shù) ，使得 .因在上連續(xù)，并有，故有介值性定理，至少存在一點(diǎn)使得. 再證唯一性。設(shè)正數(shù) 使得 由于第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)為正所以只能 ，即 . 例4 設(shè) 在 [a,b] 連續(xù)，滿足 （5） 證明：存在，使得 （6） 證 條件（5）意味著：對(duì)任何有，特別有以及 . 若或，則取，從而（6）式成立?，F(xiàn)設(shè)與。。 令 ，則 ，. 由根的存在性定理，存在，使得 即 . 三 反函數(shù)的連續(xù)性 定理4.8（反函數(shù)的連續(xù)性）若函數(shù)在閉區(qū)間嚴(yán)格遞增

26、（遞減）且連續(xù)，則其反函數(shù) 在相應(yīng)的定義域 （）上遞增（遞減）且連續(xù)。 證明 （只證明f(x)嚴(yán)格遞增情況）由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性，反函數(shù)存在，而且其定義域?yàn)? 。 設(shè) ，且 則 ，對(duì)任給的可在的兩側(cè)各取異于的兩點(diǎn)（），使它們與的距離小于（參見(jiàn)上圖）. 設(shè)，由函數(shù)的嚴(yán)格遞增性， 必分別落在的兩側(cè)，即當(dāng) 時(shí)，令 ，則當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的 的值必落在之間，從而 . 應(yīng)用單側(cè)極限的定義，同樣可證在區(qū)間端點(diǎn)也是連續(xù)的。 四 一致連續(xù)性 前面介紹的函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性，是指它在區(qū)間的每一點(diǎn)都連續(xù)。這只反映函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，就是說(shuō)連續(xù)定義中的 不僅與 有關(guān)，而且與有

27、關(guān)。下面介紹的一致連續(xù)性，則是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，其定義中的只與有關(guān)，而與無(wú)關(guān)。 定義2（一致連續(xù)性）設(shè)函數(shù) 在區(qū)間I上有定義，若 只要 ，，都有 ，則稱 在區(qū)間I上一致連續(xù)。 這里要特別注意逐點(diǎn)連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別。直觀的說(shuō) 在區(qū)間I一致連續(xù)意味著：不論兩點(diǎn)在I中處于什么位置只要它們的距離小于，就可使 . 顯然I必然在I上每一點(diǎn)連續(xù)，反之，結(jié)論不一定成立（參見(jiàn)例9）。 定理4.9 （一致連續(xù)性）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。 3 初等函數(shù)連續(xù)性 從前面兩節(jié)知道基本初等函數(shù)中：常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)，以及有理指數(shù)冪函數(shù)，都是定義 域上的連續(xù)函數(shù).本節(jié)將討論指數(shù)函數(shù)

28、、對(duì)數(shù)函數(shù)與實(shí)指數(shù)冪函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性，以及初等函數(shù)在 其定義域內(nèi)的連續(xù)性。 一 指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性 在第一部分中，我們已定義了實(shí)指數(shù)的乘冪，并證明了指數(shù)函數(shù) 在上是嚴(yán)格單調(diào) 的.下面先把關(guān)于有理指數(shù)冪的一個(gè)重要性質(zhì)推廣到一般指數(shù)冪,然后證明指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性。 定理4.10 設(shè) 為任意實(shí)數(shù),則有 . 證明 不妨設(shè)，則由第一部分3（6）式所定義，即 . 任給，設(shè)為兩個(gè)有理數(shù)，且，使得 . 由 的嚴(yán)格增遞性，得 . 又有 ，故得 . 由任意性推出 . 為證相反的不等式, 設(shè) 為有理數(shù)，且 ，使得 . 再取有理數(shù) 使 , 則有 故得到 . 由任意性推出,所

29、以有. (后一等式的證明留給讀者.) 定理4.11 指數(shù)函數(shù)在R上是連續(xù)的. 證明 先設(shè).有第三部分2例4知 這表明在連續(xù).現(xiàn)任取.由定理4.10得 . 令則當(dāng)時(shí)有,從而有 . 這證明了在任一點(diǎn)處連續(xù). 當(dāng)時(shí),令,則有,而可看作函數(shù)與的復(fù)合，所以此時(shí)亦在 上連續(xù)。利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，以及第三部分5例4中已證明的 可知的值域?yàn)椋ǎ? 時(shí)也是如此).于是 的反函數(shù)—對(duì)數(shù)函數(shù) 在其定義域 () 內(nèi)也連續(xù). . 二 初等函數(shù)的連續(xù)性 由于冪函數(shù)（為實(shí)數(shù)）可表為，它是函數(shù)與的復(fù)合，故有指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函 數(shù)的連續(xù)性以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，推得冪函數(shù)在其定義域（）上

30、連續(xù)。 前面已經(jīng)指出，常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)都是定義域上的連續(xù)函數(shù).因此我們有下述定理： 定理 4.12 一切基本初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù). 由于任何初等函數(shù)都是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到,所以有： 定理4.13 任何初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù). 第五部分 導(dǎo)數(shù)與微分 1 導(dǎo)數(shù)概念 速度和切線的例子雖然各有其特殊內(nèi)容，但如果撇開(kāi)它們具體的物理意義，單從數(shù)量關(guān)系上看它 們有共同的本質(zhì)，兩者都表示函數(shù)因變量隨自變量變化的快慢程度，即都反映了函數(shù)的變化率 （3） 定義1、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若極限 存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)

31、可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)， 等. 若上述極限不存在，則稱在點(diǎn)不可導(dǎo)。 注：令，，則（3）式可改寫(xiě)為 （4） 所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量△y與自變量增量△x之比的極限，這個(gè)增量比稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率（又稱差商），而導(dǎo)數(shù) 則為 在χ0處關(guān)于的變化率，它能夠近似描繪函數(shù) 在點(diǎn)附近的變化性態(tài)。 注：此公式對(duì)△χ= 0仍舊成立。利用有限增量公式，可得下面結(jié)論： 定理1 若函數(shù) 在 處可導(dǎo)，則函數(shù) 在 處連續(xù)。但是可導(dǎo)僅是連續(xù)的充分條件，而不是必要條件，比如：函數(shù) 在 處連續(xù)，但不可導(dǎo)。 （二）函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)導(dǎo)數(shù) 類似于函數(shù)在一點(diǎn)有左、右極限, 對(duì)于定義在某

32、個(gè)閉區(qū)間或半開(kāi)區(qū)間上的函數(shù)，如果要討論改函數(shù)在端點(diǎn)處的變化率時(shí)，就要對(duì)導(dǎo)數(shù)概念加以補(bǔ)充，引出單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念。 定義2 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)的某右鄰域 上有定義，若右極限 (0＜＜ 或 ( 存在，則稱該極限值為 在點(diǎn) 0 的右導(dǎo)數(shù)，記作，類似地，可定義左導(dǎo)數(shù) 右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。 如同左、右極限與極限之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是： 定理5.2 若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，則存在的充分必要條件是：都存在，且 = 。 說(shuō)明：分段函數(shù)在分界點(diǎn)處討論導(dǎo)數(shù)便是依據(jù)這一結(jié)論，通過(guò)左、右導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷該點(diǎn)是否存在導(dǎo)數(shù)及若存在應(yīng)等于什么。 由定理2， 連續(xù)

33、函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例 函數(shù) ，　處是焦點(diǎn)，不可導(dǎo)。 在 處振蕩，左右導(dǎo)數(shù)都不存在。 （三）導(dǎo)函數(shù) 若函數(shù)在區(qū)間I上每一點(diǎn)都可導(dǎo)（對(duì)區(qū)間端點(diǎn)，僅考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)），則稱為I上的可導(dǎo)函數(shù)。此時(shí)對(duì)每一個(gè)χ∈I，都有的一個(gè)導(dǎo)數(shù)（或單側(cè)導(dǎo)數(shù)）與之對(duì)應(yīng)，這樣就定義了一個(gè)在I上的函數(shù)，稱為在I上的導(dǎo)函數(shù)，也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)，記作等. 即 . 說(shuō)明：1區(qū)間上的可導(dǎo)概念與連續(xù)一樣，也是逐點(diǎn)定義的局部概念。 2在物理學(xué)中導(dǎo)數(shù)yˊ也常用牛頓記號(hào)y` 表示，而記號(hào) 是萊布尼茨 首先引用的。目前我們把 看作為一個(gè)整體，也可把它理解為 施加于y的求導(dǎo)運(yùn)算，待到學(xué)過(guò)“微分”之后，

34、將說(shuō)明這個(gè)記號(hào)實(shí)際上是一個(gè)“商”，相應(yīng)于上述各種表示導(dǎo)數(shù)的形式， 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 我們已經(jīng)知道 由導(dǎo)數(shù)的定義，，所以曲線 在點(diǎn)的切線方程是 （7） 這就是說(shuō)：函數(shù)在點(diǎn)x0 的導(dǎo)數(shù) 是曲線 在點(diǎn) （x0，y0）處的切線斜率，若α 表示這條切線與x 軸正向的夾角，則 =tanα 從而＞0 意味著切線與x 軸正向的夾角為銳角；= 0表示切線與x 軸平行。 四、小結(jié)（可以師生共同總結(jié)，或教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，然后教師再條理一下） 本節(jié)課重點(diǎn)在于“導(dǎo)數(shù)”的定義，而函數(shù) 在一點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù) = 是一個(gè)構(gòu)造性的定義，是利用繼用極限為工具，研究函數(shù)連續(xù)性以后，又一次用極限

35、為工具研究函數(shù)性質(zhì)的典型范例，為此 1．深刻理解導(dǎo)數(shù)，左（右）導(dǎo)數(shù)的概念（三個(gè)階段） 取差 對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)作分割（第一次否定） 求平均 以“勻代不勻”； 再回到時(shí)刻（第二次否定） 2．明確導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相互聯(lián)系與區(qū)別。 3．能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 4．能利用導(dǎo)數(shù)概念解決一些涉及函數(shù)變化率的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。 導(dǎo)數(shù)概念的建立是高等數(shù)學(xué)常用的方法，下面我們總結(jié)一下這個(gè)過(guò)程，這對(duì)我們認(rèn)識(shí)、掌握高等數(shù)學(xué)的思維方法，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)是很有幫助的。為了考察運(yùn)動(dòng)物體在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，我們不能只停留在這個(gè)時(shí)刻，因?yàn)槟菢游覀兂酥牢矬w的位置外，就什

36、么也得不到。我們必須用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看待這個(gè)問(wèn)題，使 t 動(dòng)起來(lái)，讓 t 變到 ，產(chǎn)生對(duì)位置的第一次否定，得到差和。這就把一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和周圍的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)聯(lián)系了起來(lái)，就能在運(yùn)動(dòng)中把握運(yùn)動(dòng)；取差其實(shí)就是對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)作了分割，一分割就使勻”和“不勻”這對(duì)矛盾的兩個(gè)方面發(fā)生了轉(zhuǎn)化：整體上的“不勻”，轉(zhuǎn)化為局部的“勻”，然后“以勻代替不勻”求出平均速度。為得到瞬時(shí)速度，就必須使 再回到，即令，對(duì)狀態(tài)第一次否定的否定。當(dāng) 回到 時(shí)，和都消失了，結(jié)果變成，仿佛什么也的不到，其實(shí)不然，因?yàn)榈南б蕾囉诘南Вm然兩個(gè)相互制約的差都消失了，但他們的“比”卻保持著，這個(gè)比就是瞬時(shí)速度，或?qū)?dǎo)數(shù)，它反映了兩個(gè)量之間的“質(zhì)

37、”的聯(lián)系。正是這第二次否定，我們又回到了整體上的“不勻”。求瞬時(shí)速度或函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)歷了一個(gè)否定之否定的過(guò)程，但第二次否定我們不是又回到出發(fā)點(diǎn)，而是解決了初等數(shù)學(xué)解決不了的課題。 4 高階導(dǎo)數(shù) 高階導(dǎo)數(shù)的概念： 加速度 高階導(dǎo)數(shù) 定義: 注意區(qū)分符號(hào) 和 以函數(shù) 為例介紹高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法. 高階導(dǎo)數(shù)的記法: 函數(shù)在 處的 階導(dǎo)數(shù)記為 相應(yīng)的階導(dǎo)數(shù)記為 二. 幾個(gè)特殊函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù): 1. 多項(xiàng)式: 多項(xiàng)式的高階導(dǎo)數(shù). 例1 求 和 . 2. 正弦和余弦函數(shù): 計(jì)算 、、、的公式. 3． 和的高階導(dǎo)數(shù)： 4． 的高階導(dǎo)數(shù)： 5． 的高階導(dǎo)數(shù)：

38、 6． 分段函數(shù)在分段點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)： 以函數(shù) 為例，求 . 三. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì): 設(shè)函數(shù) 和 均 階可導(dǎo). 則 1． 2． 3． 乘積高階導(dǎo)數(shù)的Leibniz公式： 第六部分微分中值定理及其應(yīng)用 1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性 一．極值概念： 1． 回憶極值的概念和可微極值點(diǎn)的必要條件: 定理 ( Fermat ) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)可導(dǎo)，若點(diǎn)為的極值點(diǎn)， 則必有 1、羅爾中值定理：若函數(shù)滿足如下條件： （i）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)； （ii）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)； （iii）， 則在（a，b）內(nèi)至少存

39、在一點(diǎn)ξ，使得 （ξ）=0 （分析）由條件（i）知在[a，b]上 有最大值和最小值，再由條件（ii）及（iii），應(yīng)用費(fèi)馬定理便可得到結(jié)論。 證明：因?yàn)樵冢踑,b］上連續(xù)，所以有最大值與最小值，分別用M與m表示，現(xiàn)分兩種情況討論： (i)若M = m , 則 在［a,b］上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立。 (ii)若m ＜ M，則因 (a)=(b)，使得最大值M與最小值m至少有一個(gè)在(a,b)內(nèi)某點(diǎn)ξ處取得，從 而ξ是的極值點(diǎn)，由條件(ii) 在點(diǎn)ξ處可導(dǎo)，故由費(fèi)馬定理推知 =0. 注1：羅爾定理的幾何意義：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點(diǎn)高度相等，則至少 存在一

40、條水平切線。 注2：習(xí)慣上把結(jié)論中的ξ稱為中值，羅爾定理的三個(gè)條件是充分而非必要的，但缺少其中任何一個(gè)條 件，定理的結(jié)論將不一定成立，見(jiàn)下圖： 中值定理：?（a）=?(b)時(shí)的特殊情況，應(yīng)用羅爾定理證明此定理要構(gòu)造輔助函數(shù) ，使得 滿足羅爾定理的條件 （i）-(iii) 且 ， 從而推得 證明：作輔助函數(shù) 顯然，F(xiàn)（a）=F(b)（=0），且F在[a，b]上滿足羅爾定理的另兩個(gè)條件，故存在點(diǎn) ξ(a，b)，使得 即 注1羅爾定理是拉格朗日中值定理時(shí)的特例 注2幾何意義：在滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn)，該曲線在 該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的

41、連線AB，我們?cè)谧C明中引入的輔助函數(shù)，正是曲線 與 直線AB 之差，事實(shí)上，這個(gè)輔助函數(shù)的引入相當(dāng)于坐標(biāo)系統(tǒng)原點(diǎn)在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，使在新坐標(biāo)系下，線段AB平 行于新х軸（F（a）=F（b））。 注3此定理的證明提供了一個(gè)用構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)學(xué)命題的精彩典范；同時(shí)通過(guò)巧妙地?cái)?shù)學(xué)變換，將 一般化為特殊，將復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的論證思想，也是數(shù)學(xué)分析的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。 注4拉格朗日中值定理的結(jié)論常稱為拉格朗日公式，它有幾種常用的等價(jià)形式，可根據(jù)不同問(wèn)題的特 點(diǎn)，在不同場(chǎng)合靈活采用： 注5拉格朗日中值定理的兩個(gè)條件彼此有關(guān)，并不彼此獨(dú)立，因?yàn)椋涸冢╝,b）可導(dǎo)

42、可以推出?在 （a，b）連續(xù)，但反之不成立。把這兩個(gè)條件的“重疊”部分去掉，改成“函數(shù)在（a，b）可導(dǎo)且 在a右連續(xù)在b左連續(xù)”這樣，兩個(gè)條件互相獨(dú)立，但文字累贅且不便記憶，因此一般不這樣敘述。 中值定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用: ( 講1時(shí) ) 3、拉格朗日中值定理的幾個(gè)重要推論 推論1 函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)且為I上的常值函數(shù). 證明： 任取兩點(diǎn) （設(shè)），在區(qū)間 [] 上應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在 ξ（）I，使得 推論2 函數(shù)和在區(qū)間I上可導(dǎo)且 推論3（導(dǎo)數(shù)極限定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域U（）內(nèi)連續(xù)，在U（）內(nèi)可導(dǎo)，且極限 存在，則在點(diǎn)可導(dǎo)，且 證明：分別按左右導(dǎo)數(shù)來(lái)證明

43、上式成立 （1） 任取，在[]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，則存在 ξ，使得 由于＜ξ＜，因此當(dāng)時(shí)隨之有ξ→，對(duì)上式兩邊取極限，使得 （2）同理可得 因?yàn)?存在，所以==，從而即 注1由推論3可知：在區(qū)間I上的導(dǎo)函數(shù)在I上的每一點(diǎn)，要么是連續(xù)點(diǎn)，要么是第二類 間斷點(diǎn)，不可能出現(xiàn)第一類間斷點(diǎn)。 注2導(dǎo)數(shù)極限定理適合于用來(lái)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 推論4 ( 導(dǎo)函數(shù)的介值性 ) 若函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo), 且 ( 證 ) 定理( Darboux ) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)且. 若為介于 與之間的任一實(shí)數(shù), 則 這就證得在區(qū)間I上任何兩點(diǎn)之值相等。 可微函數(shù)單調(diào)性判別法

44、： 1．單調(diào)性判法： 定理 1設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 則在內(nèi)↗(或↘) 在內(nèi)( 或). 證明：必要性 充分性 在I 上遞增。 定理2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 則在內(nèi)嚴(yán)格↗( 或嚴(yán)格↘) ?。?對(duì)有( 或; ⅱ） 在內(nèi)任子區(qū)間上 例 證明不等式 證明： 設(shè) 時(shí) 2柯西中值定理和不等式極限 一 柯西中值定理 定理(6.5) 設(shè) 、滿足 (i) 在區(qū)間 上連續(xù)， (ii) 在 內(nèi)可導(dǎo) (iii) 不同時(shí)為零; (iv) 則至少存在一點(diǎn) 使得 柯西中值定理的幾何意義 曲線 由參數(shù)方程 給出，除端點(diǎn)外處處有不垂直于 軸的切

45、線， 則 上存在一點(diǎn) P處的切線平行于割線 .。 注意曲線 AB在點(diǎn) 處的切線的斜率為 ， 而弦 的斜率為 . 受此啟發(fā)，可以得出柯西中值定理的證明如下： 由于， 類似于拉格朗日中值定理的證明，作一輔助函數(shù) 容易驗(yàn)證 滿足羅爾定理的條件且 根據(jù)羅爾定理，至少有一點(diǎn) 使得 ，即 由此得 注2：在柯西中值定理中，取 ，則公式（3）可寫(xiě)成 這正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令 ，則 . 這恰恰是羅爾定理. 注3:設(shè) 在區(qū)間 I上連續(xù)，則 在區(qū)間 I上為常數(shù) ， . 三、利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的某些

46、特性 1、利用其幾何意義 要點(diǎn)：由拉格朗日中值定理知：滿足定理?xiàng)l件的曲線上任意兩點(diǎn)的弦，必與兩點(diǎn)間某點(diǎn)的切線平行。 可以用這種幾何解釋進(jìn)行思考解題： 3、作為函數(shù)的變形 要點(diǎn)：若在[a，b]上連續(xù)，（a，b）內(nèi)可微，則在[a，b]上 （介于與之間） 此可視為函數(shù)的一種變形，它給出了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的一種關(guān)系，我們可以用它來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)。 例3 設(shè)在上可導(dǎo)，，并設(shè)有實(shí)數(shù)A＞0，使得≤在上 成立，試證 證明 ：在[0，]上連續(xù)，故存在] 使得 ==M 于是M=≤A≤≤。 故 M=0，在[0，] 上恒為0。用數(shù)學(xué)歸納法，可證在一切[]（ i=1,2,…）上恒有 =0

47、, 所以=0, 。 利用柯西中值定理研究函數(shù)的某些特性 1. 證明中值點(diǎn)的存在性: 例 1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 則 , 使得 . 證 在Cauchy中值定理中取 . . 2.證明恒等式: 四 、小結(jié) 本節(jié)課重點(diǎn)是拉格朗日中值定理及利用它研究函數(shù)的某些特性；難點(diǎn)是用輔助函數(shù)解決問(wèn)題的方法。 1 拉格朗日中值定理的內(nèi)容及證明方法要熟練掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它 的特例是羅爾定理，它的推廣是接下來(lái)我們要學(xué)習(xí)的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是溝通 函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的橋梁，是數(shù)學(xué)分析的重要定理之一。 2 構(gòu)造輔助函數(shù)法是應(yīng)用微

48、分中值定理的基本方法。實(shí)際上，輔助函數(shù)法是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的一種重要手 段，通過(guò)巧妙地?cái)?shù)學(xué)變換，將一般問(wèn)題化為特殊問(wèn)題，將復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，這種論證思想也是數(shù) 學(xué)分析的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。關(guān)于如何恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造和選用輔助函數(shù)問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合第三 部分的題目仔細(xì)體會(huì)總結(jié)。 二 不定式的極限 一. 型: 定理 6.6 (Hospital法則 ) 若函數(shù) 和滿足： (i) (ii) 在點(diǎn) 的某空心鄰域內(nèi)而這可導(dǎo)，且； (iii) 可為實(shí)數(shù)，也可為 ） 則 ( 證 ) 注意: 若將定理中的x 換成 ，只要相應(yīng)地求證條件(ii)中的 鄰域，也可以得到同樣的結(jié)論。

49、 二.型不定式 極限: 定理 6.7 (Hospital法則 ) 若函數(shù) 和滿足： (i) (ii) 在點(diǎn)的某右鄰域內(nèi)二這可導(dǎo)，且； (iii) 可為實(shí)數(shù)，也可為 ） 則 注意1 不存在，并不能說(shuō)明 不存在（為什么？） 注意2 不能對(duì)任何比式極限都按洛必達(dá)法則來(lái)求，首先要注意它是不是不定式極限，其次是否滿 足洛必達(dá)法則條件 例 求極限 . ( Hospital法則失效的例 ) 三. 其他待定型: .前四個(gè)是冪指型的. 3 泰勒公式 一. 問(wèn)題和任務(wù): 泰勒定理的引入和基本思想 容易驗(yàn)證多項(xiàng)式函數(shù) 一般函數(shù)上面的結(jié)果能否成立或近似成立呢？若一個(gè)

50、函數(shù)能用多項(xiàng)式近似，對(duì)函數(shù)的計(jì)算、性質(zhì)的 研究就會(huì)大大簡(jiǎn)化。 用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的可能性; 對(duì)已知的函數(shù), 希望找一個(gè)多項(xiàng)式逼近到要求的精度. 三 Taylor( 1685—1731 )多項(xiàng)式: 分析前述任務(wù)，引出用來(lái)逼近的多項(xiàng)式應(yīng)具有的形式 定義 Taylor 多項(xiàng)式 及Maclaurin多項(xiàng)式 四 Taylor公式和誤差估計(jì): 稱 為余項(xiàng). 稱給出 的定量或定性描述的式 為函數(shù) 的Taylor公式. 1. 誤差的定量刻畫(huà)( 整體性質(zhì) ) —— Taylor中值定理: 定理 6.9 設(shè)函數(shù) 滿足條件: ⅰ) 在閉區(qū)間上有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù); ⅱ) 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù). 則

51、對(duì) 使 . 證 稱這種形式的余項(xiàng)為L(zhǎng)agrange型余項(xiàng). 并稱帶有這種形式余項(xiàng)的Taylor公式為具 Lagrange 型余項(xiàng)的Taylor公式. Lagrange 型余項(xiàng)還可寫(xiě)為 . 時(shí), 稱上述Taylor公式為 Maclaurin 公式, 此時(shí)余項(xiàng)常寫(xiě)為 . 關(guān)于Taylor公式中Lagrange型余項(xiàng)的進(jìn)一步討論可參閱: Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange remeinder of the Taylor formula. Amer. Math. Monthly, 89(1982). 2. 誤差的定性描述(

52、 局部性質(zhì) ) —— Peano型余項(xiàng): 定理2 若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù), 且存在, 則 證 設(shè) , . 應(yīng)用Hospital法則 次, 并注意到 存在, 就有 . 稱 為Taylor公式的Peano型余項(xiàng), 相應(yīng)的Maclaurin公式的Peano型余項(xiàng)為 . 并稱帶有這種形式余項(xiàng)的Taylor公式為具Peano型余項(xiàng)的Taylor公式 ( 或Maclaurin公式 ). 四. 函數(shù)的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展開(kāi): 例 驗(yàn)證下列函數(shù)的Maclaurin公式 4 函數(shù)的極值與最大(小)值 一 可微極值點(diǎn)判別法: 極值問(wèn)題:

53、極值點(diǎn), 極大值還是極小值, 極值是多少. 1.可微極值點(diǎn)的必要條件: Fermat定理. 函數(shù)的駐點(diǎn)和(連續(xù)但)不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為穩(wěn)定點(diǎn), 穩(wěn)定點(diǎn)的求法. 2.極值點(diǎn)的充分條件: 對(duì)每個(gè)穩(wěn)定點(diǎn), 用以下充分條件進(jìn)一步鑒別是否為極值點(diǎn). 定理 4 (充分條件Ⅰ) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 連續(xù), 在鄰域 和 內(nèi)可導(dǎo). 則 ?。?在 內(nèi) 在 內(nèi) 時(shí), 為 的一個(gè)極小值點(diǎn); ⅱ） 在內(nèi) 在內(nèi)時(shí), 為 的一個(gè)極大值點(diǎn); ⅲ） 若在上述兩個(gè)區(qū)間內(nèi)同號(hào), 則 不是極值點(diǎn). 定理 5 (充分條件Ⅱ) 設(shè)點(diǎn) 為函數(shù) 的駐點(diǎn)且存在，則 ?。?當(dāng)時(shí), 為的一個(gè)極大值點(diǎn); ⅱ） 當(dāng)時(shí), 為的一個(gè)極

54、小值點(diǎn). 證法一 當(dāng) 時(shí), 在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)與 異號(hào),…… 證法二 用Taylor公式展開(kāi)到二階, 帶Peano型余項(xiàng). 二 最大值最小值 先看三個(gè)函數(shù)的圖象 (c61) 由上面圖像看出，函數(shù)的最大最小值可能發(fā)生在穩(wěn)定點(diǎn)處，不可導(dǎo)點(diǎn)處， 也可能發(fā)生在區(qū)間的端點(diǎn)。 因此, 函數(shù)的最大最小值點(diǎn)應(yīng)從：穩(wěn)定點(diǎn), 不可導(dǎo)點(diǎn), 端點(diǎn) 中去尋找， 這三種點(diǎn)中，函數(shù)取最大者為函 數(shù)的最大點(diǎn)，取最小者為函數(shù)的最小值點(diǎn)，因此求解最大最小點(diǎn)的步驟應(yīng)為: 第一步 求出穩(wěn)定點(diǎn), 不可導(dǎo)點(diǎn)和端點(diǎn) 第二步 算出這些點(diǎn)處的函數(shù)值, 其中最大者就是最大值, 最小者就是最小值

55、 5函數(shù)的凸性與拐點(diǎn) 一． 凸性的定義及判定： 1． 凸性的定義：由直觀引入. 強(qiáng)調(diào)曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別. 定義1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù). 若對(duì)I 和恒有 則稱曲線 在區(qū)間I的凸函數(shù), 反之, 如果總有 則稱曲線 在區(qū)間I的凹函數(shù). 若在上式中, 當(dāng) 時(shí), 有嚴(yán)格不等號(hào)成立, 則稱曲線在區(qū)間上是嚴(yán)格凸 (或嚴(yán)格凹)的. 凸性的幾何意義: 倘有切線，考慮 與切線的位置關(guān)系; 與弦的位置關(guān)系; 曲線的彎曲方向. 引理 為區(qū)間I上的凸函數(shù)的充要條件是:對(duì)I上任意三點(diǎn): , 總有 證明: 必要性 充分性 定理6.13 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上可

56、導(dǎo), 則下面條件等價(jià): (i) 為I上凸函數(shù) (ii)為I上的增函數(shù) (iii)對(duì)I上的任意兩點(diǎn)有 證明 2． 利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凸向: 定理 6.14 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù), 則在 內(nèi) ⑴在 內(nèi)嚴(yán)格上凸; ⑵在 內(nèi)嚴(yán)格下凸. 證法一 ( 用Taylor公式 ) 對(duì)設(shè), 把在點(diǎn)展開(kāi)成具Lagrange 型余項(xiàng)的Taylor公式, 有 . 其中 和 在 與 之間. 注意到 , 就有 , 于是, 若有上式中, 即 嚴(yán)格上凸. 若有上式中, 即 嚴(yán)格下凸. 證法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若則有↗↗. 不妨設(shè) ,

57、并設(shè) , 分別在區(qū)間和上應(yīng)用Lagrange中值定理, 有 . 有 又由 ， <, ， 即 ， 嚴(yán)格下凸. 可類證 的情況. 3． 凸區(qū)間的分離: 的正、負(fù)值區(qū)間分別對(duì)應(yīng)函數(shù)的下凸和上凸區(qū)間. 二. 曲線的拐點(diǎn): 拐點(diǎn)的定義. 6 函數(shù)圖象的討論 我們要認(rèn)識(shí)一個(gè)函數(shù)，搞清它的性質(zhì)，往往要從研究它的圖象入手，借助對(duì)函數(shù)圖象的觀察、分析， 發(fā)現(xiàn)其隱含的規(guī)律性東西。比如我們?cè)诘诙糠盅芯刻厥鈽O限 時(shí)，首先用中學(xué)時(shí)講過(guò)的 從中學(xué)求點(diǎn)描跡作圖知道，作圖象的一般步驟應(yīng)是 1確定函數(shù)定義域 ，以安排合適大小的坐標(biāo)系； 2確定函數(shù)的奇偶性、周期性，以減少作圖工作量 ；

58、 3給出反映函數(shù)特性的某些關(guān)鍵點(diǎn)，比如與軸的交點(diǎn)； 4函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，凸凹性、拐點(diǎn)。 例 1 作函數(shù) 圖象 1 函數(shù)定義域 2 該函數(shù)不是奇偶函數(shù)，也不是周期函數(shù) 3 與軸的交點(diǎn) 與 4 單調(diào)區(qū)間和極值 y=1/4*(x-3)^2/(x-1); y1=diff(y); dydx=simplify(y1) dydx = 1/4*(x-3)*(x+1)/(x-1)^2 時(shí)，導(dǎo)數(shù)不存在，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)由決定： 時(shí), 函數(shù)嚴(yán)格遞增, 時(shí), 遞減， 為極大點(diǎn)， 為極小點(diǎn)。 x －1 3 y 極大 極小 凸凹性

59、 d2ydx2=simplify(diff(y1)) d2ydx2 = 2/(x-1)^3 x<1 上凸, x>1下凸 x<-1 x =-1 13 增 極大 減 減 極小 增 漸近線 垂直漸近線:顯然 x=1為垂直漸近線 斜漸近線: = k 再計(jì)算 s=1/4*x;s1=symsub(y,s); simplify(s1) ans = -1/4*(5*x-9)/(x-1) 有斜漸近線 我們把找到的特殊點(diǎn), 漸近線先畫(huà)出來(lái) 第八部分 不定積分 1不定積分概念

60、與基本積分公式 一 原函數(shù)與不定積分 前面我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)與微分，由已知函數(shù)利用基本求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則可以求出它的導(dǎo)數(shù)，那自然會(huì) 想到：求導(dǎo)運(yùn)算能否和數(shù)的四則運(yùn)算那樣，知道了導(dǎo)數(shù)反過(guò)來(lái)就能求出，比如知道了物體的運(yùn) 動(dòng)速度，求路程，知道了加速度求速度？ 定義（原函數(shù)）如果在區(qū)間 I 上 ，則稱 為 在區(qū)間I上的原函數(shù)。 例如例1中的是 的原函數(shù)；是 的原函數(shù)，等等 因?yàn)槌?shù)導(dǎo)數(shù)為零，所以如果的原函數(shù)存在，則對(duì)任意常數(shù)C，都是的原函數(shù)。 這就是說(shuō)，原函數(shù)存在的話，它有無(wú)限多個(gè)。而且容易證明，的任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)。 換句話說(shuō)>的原函數(shù)的全體為 ，C為任意常數(shù)。 定義（不定積分）>在區(qū)間I上原函數(shù)的全體稱為 在I上的不定積分。記作 。 其中為積分號(hào)， 為積分函數(shù)， 為積分變量。 不定積分的幾何意義 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)盡管有無(wú)限多個(gè), 但它們的幾何圖形是一模一樣的, 最多是在坐標(biāo)系中的高低位 置不一樣, 相差一個(gè)上下平移關(guān)系。 二 基本積分公式 怎樣求不定積分呢？我們先按照不定積分的定義給出一些常見(jiàn)函數(shù)的不定積分：