勒貝格積分與黎曼積分的比較

《勒貝格積分與黎曼積分的比較》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《勒貝格積分與黎曼積分的比較（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、真誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正。 Lebesgue積分與Riemann積分的比較 20141000449 陳佳龍 20141003908 王玨 20141000194 杜騰飛 摘要 我們知道，當(dāng)涉及到某種物理量“累積”的時(shí)候，我們會(huì)立刻想到Riemann積分。它處理的模型有著“基本”連續(xù)的特點(diǎn)，事實(shí)上，連續(xù)我們已做了推廣.即限制在集合上連續(xù)的概念.如Delet函數(shù)是間斷的，但限制在無(wú)理點(diǎn)集或有理點(diǎn)集合是連續(xù)的.在經(jīng)典物理學(xué)中，我們要處理的問(wèn)題數(shù)學(xué)化后大多為連續(xù)或者間斷點(diǎn)不太多的情形。隨著量子物理的發(fā)展，所遇到的問(wèn)題顯然以不能夠用R積分解決，在此背景下Leb

2、esgue積分得以迅速發(fā)展，儼然已發(fā)展為當(dāng)代分析的主流。建立在勒貝格測(cè)度，及勒貝格可測(cè)函數(shù)上的勒貝格積分的出現(xiàn)晚黎曼積分近半個(gè)世紀(jì)，其理論體系在當(dāng)代得以完善。其優(yōu)越性高于黎曼積分，應(yīng)用更加廣泛。本文就黎曼積分與勒貝格積分在定義，性質(zhì)方面做一些簡(jiǎn)單比較，就連續(xù)函數(shù)，可測(cè)函數(shù)，黎曼可積函數(shù)，勒貝格可積函數(shù)，之間的關(guān)系以及黎曼可積函數(shù)類與勒貝格可積函數(shù)類的勢(shì)及包含關(guān)系進(jìn)行比較. 關(guān)鍵詞： 黎曼積分，勒貝格可測(cè)函數(shù)，勒貝格積分，示性函數(shù)，連續(xù)函數(shù)，測(cè)度論，幾乎處處，零測(cè)集. 11 / 11 正文 一：黎曼積分與勒

3、貝格積分定義比較 R積分創(chuàng)立于19世紀(jì)中葉，近半個(gè)世紀(jì)之后的1902年法國(guó)數(shù)學(xué)家勒貝格創(chuàng)立了勒貝格積分。其初衷是試圖尋找解決諸如量子物理中的物理量與一般隨機(jī)量的數(shù)學(xué)期望值等課題。事實(shí)上運(yùn)用L積分可以解決包括古典物理問(wèn)題之外的更一般的問(wèn)題?；诶肇惛駵y(cè)度論定義的勒貝格積分對(duì)函數(shù)的限制更加寬泛，已經(jīng)跳出了定義于R上有界函數(shù)的范疇而上升到了廣義可測(cè)實(shí)函數(shù)，因而其研究范圍也由R上有界閉區(qū)間延伸到了整個(gè)的有界可測(cè)集E，進(jìn)而借助示性函數(shù)我們可以將L積分定義在整個(gè)空間。這種優(yōu)越性是基于測(cè)度論與可測(cè)函數(shù)相關(guān)理論而在其定義上便已顯現(xiàn)出來(lái)了。為更好地說(shuō)明L積分與R積分的異同，我們有必要將R積分的

4、定義在此描述。R積分是這樣定義的： 定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，用分點(diǎn) 將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間。令表示一切小區(qū)間長(zhǎng)度中的最大者，即。在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，并且作和. 如果當(dāng)時(shí)，和數(shù)不管分割如何取法，也不管如何取法，都有共同的極限，即 則稱此極限為函數(shù)從到的黎曼積分，記作 ， 關(guān)于勒貝格積分有多種等價(jià)表述形式，為了更好的的說(shuō)明問(wèn)題，我們選取了兩種定義模式，當(dāng)然還有其它的定義方式，如張喜堂老師編的《實(shí)變函數(shù)論的典型問(wèn)題與法方》中，對(duì)L積分的定義是先從有界函數(shù)的L積分著手，即定義有限可測(cè)集E的一個(gè)分劃D，進(jìn)而定義于D相關(guān)的小和數(shù)與大和數(shù)。最后定義有界函

5、數(shù)的上下勒貝格積分。若上下積分相等，則稱函數(shù)勒貝格可積。就本文所列舉的的兩種定義而言，其中第一種定義模式仿照了黎曼積分的定義，而第二種以測(cè)度為基礎(chǔ)，先定義簡(jiǎn)單函數(shù)的積分，進(jìn)而定義一般函數(shù)的積分，此種方式也適用于一般測(cè)度空間上的積分。在后面的相關(guān)論述中我們將主要選取第二種方式。 定義1：設(shè)勒貝格可測(cè)集E的勒貝格測(cè)度有限().設(shè)是E上有界可測(cè)函數(shù)()。任取分點(diǎn)令 任取若當(dāng)時(shí)，和存在極限A，則稱A是在E上的勒貝格積分，簡(jiǎn)稱L積分，記為 由此可以看出與黎曼積分不同勒貝格積分是劃分值域而不是劃分定義域來(lái)求和的。顯然與黎曼函數(shù)不同，由于黎曼積分要求小區(qū)間的長(zhǎng)度而勒貝格積分要求定義域的測(cè)度

6、，故對(duì)定義在定義在多維有界可測(cè)集上的廣義實(shí)函數(shù)這樣定義其積分就顯得自然流暢,而黎曼積分只能對(duì)“ 標(biāo)準(zhǔn)”的實(shí)函數(shù)定義積分。 第二種定義方式是基于勒貝格測(cè)度論與勒貝格函數(shù)論，先定義有界可測(cè)集上簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分，進(jìn)而定義一般可測(cè)函數(shù)的L積分，最后定義無(wú)限可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分。此種定義，借助測(cè)度的性質(zhì)及勒貝格可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)勒貝格積分性質(zhì)的討論自然流暢。 定義2.1 有界可測(cè)集E上簡(jiǎn)單函數(shù)L積分定義為，設(shè)E上簡(jiǎn)單函數(shù)有表示 其中等為互不相交的可測(cè)集，稱和為簡(jiǎn)單函數(shù)在E上的積分，并記為 有時(shí)可以簡(jiǎn)寫(xiě)成。 對(duì)于以上定義，我們可以把記號(hào)中

7、的換成是允許的，從以上簡(jiǎn)單函數(shù)L積分的定義可以看出當(dāng)為一個(gè)常數(shù)c時(shí)，其積分值為c倍的可測(cè)集E的測(cè)度。而當(dāng)c為1時(shí)，該積分值為可測(cè)集E的測(cè)度。另外還應(yīng)注意，簡(jiǎn)單函數(shù)積分同函數(shù)表示式無(wú)關(guān)，即 在敘述一般函數(shù)L積分定義之前，有必要先對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)L積分的一些性質(zhì)進(jìn)行描述。 （i）如果簡(jiǎn)單函數(shù)的正部與負(fù)部分別為與，則有 簡(jiǎn)單函數(shù)的L積分具有線性可加性（ii）設(shè)，是E上簡(jiǎn)單函數(shù)，，是常數(shù)，則有 （iii）設(shè)是E上簡(jiǎn)單函數(shù)，，，為互不相交的可測(cè)集，則 對(duì)于以上簡(jiǎn)單函數(shù)L積分的性質(zhì)我們可以類比定義在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的黎曼積分的線性性質(zhì)。 我們

8、知道，勒貝格可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)均可由E上的簡(jiǎn)單函數(shù)列逼近，那么，自然會(huì)問(wèn)，E上的可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分與簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分是何種關(guān)系。事實(shí)上，我們可以通過(guò)簡(jiǎn)單函數(shù)的L積分來(lái)定義有界可測(cè)集合E上的可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分 定義2.2：設(shè)是有界可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)，對(duì)于的情形，取簡(jiǎn)單函數(shù)滿足，令變動(dòng)，定義在E上的L積分為 此式右邊非負(fù)數(shù)或.如果此量為有限，則稱在E上L可積。否則只說(shuō)在E上的積分為（即此時(shí)稱函數(shù)在可測(cè)集E上不可積）.對(duì)于更一般的可測(cè)函數(shù)，當(dāng)與不同時(shí)為時(shí)，定義在E上的積分為 . 當(dāng)此右式兩項(xiàng)均有限時(shí)，也只有在此時(shí)積分是有限的，我們稱在E上可積，記作或簡(jiǎn)記為.當(dāng)右邊兩項(xiàng)均不

9、可積時(shí)，原積分無(wú)意義.即，積分不存在.當(dāng)右邊兩項(xiàng)有一項(xiàng)不可積分時(shí)，我們稱函數(shù)不可積. 以上便是可測(cè)函數(shù)在有界可測(cè)集E上的勒貝格積分的定義的第二種處理方式。我們有必要強(qiáng)調(diào)，我們只考慮對(duì)定義在可測(cè)集E上的勒貝格可測(cè)函數(shù)定義勒貝格積分。事實(shí)上，在上面的所有論述中，我們都是假定可測(cè)集E是有界的。事實(shí)上，對(duì)于無(wú)界可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)亦是可以定義其勒貝格積分的.其處理方式是將定義在有界可測(cè)集上的簡(jiǎn)單函數(shù)推廣到無(wú)界。對(duì)比黎曼積分，我們可以將有界區(qū)間推廣為無(wú)界，即無(wú)窮積分 。最后關(guān)于L積分的定義，我們可以借助可測(cè)集E的示性函數(shù)將L積分的定義推廣到整個(gè)空間。我們還應(yīng)指出，對(duì)于非負(fù)函數(shù)的L積分表現(xiàn)為n+1維

10、測(cè)度。這與非負(fù)函數(shù)的黎曼積分表下表為面積是相近的。其實(shí)上，對(duì)于一維非負(fù)函數(shù)的L積分也表現(xiàn)為“面積” 對(duì)比定義在閉區(qū)間上函數(shù)黎曼積分的定義，其方式上是不同.當(dāng)然，最根本的不同是其處理的問(wèn)題不同且 L積分的定義更加廣泛。我們知道，可測(cè)集E上的連續(xù)函數(shù)都是可測(cè)的，且黎曼積分處理的均為一維區(qū)間上的函數(shù)，即定義在Borel集的一個(gè)子集類上的函數(shù)，由于Borel集是可測(cè)的，所以對(duì)于黎曼積分的問(wèn)題我們都可以試圖用勒貝格積分去考慮 。 二，勒貝格可積函數(shù)類與黎曼可積函數(shù)類 對(duì)于黎曼可積函數(shù)的判定，我們有上和，下和，的概念。并且有振幅的概念，即函數(shù)黎曼可積的充要條件是.我們

11、知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是黎曼可積的.這樣就確定了一大類黎曼可積函數(shù)。并且我們還有閉區(qū)間上的單調(diào)有界函數(shù)是黎曼可積的，閉區(qū)間上間斷點(diǎn)不多的函數(shù)是黎曼可積的。以及黎曼可積函數(shù)的必要條件即函數(shù)必須是有界的，這樣又排除了一類黎曼不可積函數(shù)。我們知道，可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)是可測(cè)的，并且?guī)缀跆幪幱邢薜目蓽y(cè)函數(shù)基本上是連續(xù)函數(shù)。那么我們自然會(huì)問(wèn)，定義在可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)是否是L可積的？是不是R可積了就一定L可積，如果不是，那么L可基函數(shù)與R可積函數(shù)類之間有何關(guān)系呢？是否某一類函數(shù)一定是L可積的，或者那一類函數(shù)一定是L不可積的呢？最后既然勒貝格可測(cè)函數(shù)可用連續(xù)函數(shù)逼近，那么勒貝格可積函數(shù)是不是能用連續(xù)函數(shù)逼近呢

12、？對(duì)與上述問(wèn)題的回答，將在該部分該部分做出論述。 1） 有界可測(cè)函數(shù)必勒貝格可積. 2） 勒貝格可積函數(shù)必幾乎處處有限. 注釋：上述可測(cè)函數(shù)定義在有界可測(cè)集E上。 3）定理1 設(shè)是上的 勒貝格可積函數(shù)，則對(duì)任何正數(shù)，有上的連續(xù)函數(shù)，使 4）定理2 定義在有限區(qū)間上的函數(shù)若為R可積，則必L可積分，且積分相等. 注釋:上述四條回答了最初的提問(wèn)，即勒貝格可積函數(shù)與黎曼可積函數(shù)之間的關(guān)系，其中就“4）”，可以做補(bǔ)充，即“函數(shù)在上R可積的充要條件是函數(shù)在上地不連續(xù)點(diǎn)所成之集測(cè)度為0”.可以看出，若不考慮反常積分，則黎曼可積的函數(shù)是勒貝格可積的。并且可以看出，定義在 區(qū)

13、間上的勒貝格可積函數(shù)是可以用連續(xù)函數(shù)來(lái)平均逼近的。對(duì)比幾乎處處有限的函數(shù)可用連續(xù)函數(shù)逼近，此處的條件明顯加強(qiáng)了 。事實(shí)上勒貝格可積函數(shù)必是幾乎處處有限的，則在區(qū)間上的L可積函數(shù)必是幾乎處處有限的，那么此處將可測(cè) 函數(shù)限制在了閉區(qū)間上，而不是多維閉區(qū)間或者是有界 可測(cè)集E上，雖不太完美，但也很漂亮。 5）若，則E上的任何函數(shù)都是L可積的，并且積分等于0 注釋：我們知道，定義在零側(cè)集上的函數(shù)均可測(cè)，而上述定理告訴我們零側(cè)集上勒貝格積分的性質(zhì)，兩者統(tǒng)一來(lái)看，是非常漂亮的結(jié)論，此結(jié)論也告訴我們一個(gè)重要事實(shí):在一個(gè)測(cè)度為零的集合上改變函數(shù)的值，既不影響函數(shù)的可積性，也不敢變其積分值. 三

14、：勒貝格積分與黎曼積分性質(zhì)的比較。 比較完勒貝格積分與黎曼積分的定義與函數(shù)類之后，最后我們對(duì)勒貝格積分與黎曼積分的性質(zhì)進(jìn)行比較.該部分的論述將分兩部分進(jìn)行，其中第一部分就函數(shù)而言，第二部分就函數(shù)列而言.其中對(duì)可測(cè)函數(shù)列的勒貝格積分的討論中，我們會(huì)與一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行比較.事實(shí)上對(duì)積分性質(zhì)的比較，應(yīng)該就特殊函數(shù)與特殊可測(cè)集進(jìn)行更加細(xì)致的討論，如有關(guān)可測(cè)集示性函數(shù)的L積分的相關(guān)性質(zhì)及Cantor集上可測(cè)函數(shù)勒貝格積分的性質(zhì)進(jìn)行論述。然而由于時(shí)間原因，此部分內(nèi)容無(wú)法進(jìn)行細(xì)致學(xué)習(xí)與論述，實(shí)感遺憾。 ?about function 1. 勒貝格積分的線性性質(zhì)： 定

15、理3 設(shè)在E上勒貝格可積，則對(duì)任何實(shí)數(shù)c,c也可積，且. 定理4 設(shè)，在E上均L可積，則也可積，且 注釋：上述定理中可測(cè)集E并不限定在有限，也可無(wú)限.對(duì)比黎曼積分，也有與之等價(jià)的性質(zhì). 2.與幾乎處處有關(guān)的性質(zhì): 定理5 設(shè)，在有界可測(cè)集E上均勒貝格可積，且，則 定理6 若于有界可測(cè)集E，在E上可積，則也在E上可積.且， . 注釋：上述定理中E可以為無(wú)限可測(cè)集.對(duì)于黎曼積分，也有與之等價(jià)的性質(zhì).事實(shí)上，上述定理中的條件均可以減弱.即“若 于E，則”“若于E上，在E上可積，則也在E上可積.且，”.關(guān)于定理5,有一推論

16、 推論1 設(shè)是有界可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)，,則 注釋：由于有界可測(cè)函數(shù)是勒貝格可積的，再對(duì)比定理5，該推論顯然是成立的。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，.當(dāng) =0時(shí)，. （錯(cuò)誤推斷）設(shè)，都是E上的可測(cè)函數(shù)，（E也可取無(wú)界），可積,且 于E,一定可積. 注釋：對(duì)于上述錯(cuò)誤推斷，加強(qiáng)條件，則可得到如下性質(zhì). 定理8 若在E上可測(cè)，在E上勒貝格可積分，且，,則在E上可積. 3. 有些性質(zhì)是勒貝格積分特有的，有些黎曼積分的性質(zhì)，勒貝格積分卻不一定有. 定理9 （勒貝格積分的絕對(duì)可積性）在有界可測(cè)集E上勒貝格可

17、積的充要條件是在E上可積 注釋：事實(shí)上，E可以是無(wú)界的，并且我們還有以下性質(zhì) 對(duì)比黎曼積分，此性質(zhì)是不成立的.我們可以說(shuō)，黎曼可積則黎曼可積，但是黎曼可積推不出黎曼可積.如 此函數(shù)顯然黎曼不可積，而 ，顯然是黎曼可積的. 定理10 為E上的勒貝格可積函數(shù)，則在E上不一定L可積分. 注釋：對(duì)比黎曼積分，黎曼可積，則可推出是黎曼可積的. 我們構(gòu)造下列函數(shù) 該函數(shù)是L可積的，然而L不可積. 4 勒貝格積分的其他性質(zhì) 定理11（唯一性定理）設(shè)在有限可測(cè)集E上勒貝格可積，則的充要條件是在E上幾乎處處為零

18、. 注釋：該定理中E可以為無(wú)限，該定理有下列推論 推論2 若，則于E. 定理12（有限可加性）設(shè)是有界可測(cè)集E上的勒貝格可積函數(shù)，等均可測(cè)且兩兩互不相交，則有 注釋：此定理可以中E可以為無(wú)限.此性質(zhì)可以對(duì)比黎曼積分的如下性質(zhì)，即“在區(qū)間上黎曼可積的函數(shù)，有 其中任意c,d,...n屬于.事實(shí)上對(duì)于一維無(wú)界區(qū)間而言黎曼積分的該性質(zhì)亦是成立的. 定理13，（/完全可加性）設(shè)是有界可測(cè)集E上的勒貝格可積函數(shù)，等均可測(cè)且兩兩互不相交，則有 注釋：該定理中E可為無(wú)界可測(cè)集， 定理14（絕對(duì)連續(xù)性）設(shè)在有界可測(cè)集E上L可積，則對(duì)任意，有，使當(dāng)時(shí)就有 注釋：此定理中E可以是無(wú)

19、界.此定理若將積分看成更高階維空間的測(cè)度，則即n維空間任意小的空間都對(duì)應(yīng)與n+1維任意小的空間.若將積分看成原函數(shù)，則原函數(shù)是絕對(duì)連續(xù)的，對(duì)應(yīng)黎曼積分有性質(zhì)“設(shè)在上黎曼可積，則對(duì)任意，是的連續(xù)函數(shù)”. ? about function column 定理 15 設(shè)是有界可測(cè)集E上的非負(fù)的勒貝格可積函數(shù)，是滿足條件 ； 的簡(jiǎn)單函數(shù)列，則 注釋：此定理中E可以是無(wú)界，且若勒貝格積分存在，此定理也是成立的，收斂與L可積函數(shù)的簡(jiǎn)單漸升函數(shù)列積分符與極限符號(hào)是可交換的.即 對(duì)比黎曼積分的性質(zhì)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂，則部分和函數(shù)的極限號(hào)與積分

20、號(hào)方可交換，可見(jiàn)，勒貝格積分要方便很多. 定理 16 （勒維定理）設(shè)可測(cè)集E上可測(cè)函數(shù)列滿足下面條件： ； 則的積分序列收斂于的積分： 注釋：顯然該定理更具樸實(shí)意義，即收斂的可測(cè)函數(shù)列的積分符與極限符號(hào)可交換.該定理是勒貝格積分的重要極限定理之一，也是勒貝格積分論的核心定理之一，其應(yīng)用非常廣泛.與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)定理對(duì)比，可看出勒貝格積分在對(duì)收斂的要求上明顯寬松很多，這也便是勒貝格積分教黎曼積分更加優(yōu)越的原因之一了. 定理（法杜定理）設(shè)是可測(cè)集E上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，則 注釋：該定理便是勒貝格積分的又一重要極限定理，也稱法圖定理，較勒維定理，該定理有明顯放松了，即不要求函數(shù)列收斂，只要求其可測(cè). 參考文獻(xiàn)：《實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要》第四版 鄭維行 王聲望 高等教育出版社 《實(shí)變函數(shù)論》第二版 周民強(qiáng) 北京大學(xué)出版社 《實(shí)變函數(shù)論的典型問(wèn)題與方法》 張喜堂 華中師范大學(xué)出版社 《數(shù)學(xué)分析》 北大數(shù)學(xué)系編 高等教育出版社 《數(shù)學(xué)分析》 復(fù)旦數(shù)學(xué)系 編 高等教育出版社 《中華百科全書(shū)，數(shù)學(xué)》