2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練《直線方程》

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1、2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練《直線方程》 【題型一】:直線的傾斜角與斜率 型二】 :兩直線的位置關(guān)系 11 【題型三】:直線的方程 【題型四】:對稱問題 型五】 :綜合應(yīng)用 C. 【思路點(diǎn)撥】已知條件中直線XCO八 ,3y 2=0中的角〉并不是這條直線的傾斜角 【題型一】:直線的傾斜角與斜率 【例1】.直線XC0S1 ?、、3y *2=0的傾斜角的范圍是 5■: 5■: 【答案】B 【解析】由直線xcoslr,3y ? 2 = 0 , 所以直線的斜率為

2、k二 C0S- cos: 設(shè)直線的傾斜角為 又因?yàn)?汽v,即一『…寸, 所以阮PA#") 【總結(jié)升華】本題要求正確理解直線傾斜角的概念以及傾斜角與斜率的關(guān)系 【變式訓(xùn)練】 1 【變式】已知?jiǎng)又本€y=kx - 2k - 1與直線I : y=,x - 2的交點(diǎn)在第一象限,求k的取 2 值范圍。 【答案】:由題意可知,動(dòng)直線I過定點(diǎn)C(—2,1), 直線I與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A (4,0), B(0,2), 由圖可知kAc ::: k ::: kBc時(shí)5動(dòng)直線與直線I交點(diǎn)在第一象限, ,0-1 1 2—1 1 Kac ,

3、Kbc - ac 4-(-2) 6 bc 0-(-2) 2 1 1 ―k為所求. 6 2 【題型二】:兩直線的位置關(guān)系 [例 2] ?四邊形 ABCD 的頂點(diǎn)為 A(2,2 2 2),B(-2,2),C(0,2-2 遼),D(4,2),試判 斷四邊形ABCD的形狀. 【思路點(diǎn)撥】證明一個(gè)四邊形為矩形,我們往往先證明這個(gè)四邊形為平行四邊形,然后再證 明平行四邊形的一個(gè)角為直角? 【解析】AB邊所在直線的斜率kAB CD邊所在直線的斜率CD二孑, BC邊所在直線的斜率kBc =7?, DA邊所在直線的斜率kD八--.2 . T kAB二心。,kBc=kDA,二 AB /

4、/ CD , BC // DA,即四邊形 ABCD 為平行四邊形. 又 kABLkBc - (-.2)=-1,二 AB_BC,即四邊形 ABCD 為矩形. 2 【總結(jié)升華】證明不重和的的兩直線平行,只需要他們的斜率相等,證明垂直,只需要 他們斜率的乘積為?1? 【變式訓(xùn)練】 【變式1】直線h:ax+(1-a)y=3與直線12: (a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,求a的值。 【答案】方法一:當(dāng)a=1時(shí),h:x=3, 12: y=2,.,*JL12 5 當(dāng)a =?3時(shí),卜y x ? 6/2 : A二顯然兩直線不垂直 5 5 當(dāng) aAl 且 a—3 時(shí),li

5、: 2 2a+3 y =-x 12: y 2 a—1 a—1 2a+ 3 ki = —a, k 2 ,由 ki k2=-1 得 a 1 ,解得 a=-3 2a+3 2a+3 ? ??當(dāng) a=1 或 a=-3 時(shí),li _L I2。 方法二:???a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0 解得 a=1 或 a=-3 ? ??當(dāng) a=1 或 a=-3 時(shí) h iho 【題型三】:直線的方程 【例3】.過點(diǎn)P(2, 1)作直線I與x軸、y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn),求△ AOB面積的最 小值及此時(shí)直線I的方程? 【思路點(diǎn)撥】因直線I已經(jīng)過定點(diǎn)P(2, 1),只缺斜率,可先設(shè)出直

6、線I的點(diǎn)斜式方程,且易 知kvO,再用k表示A、B點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合函數(shù)及不等式知識求解. 【解析】解法一:設(shè)直線I的方程為:y-1=k(x.2), 令 y=o,得:x= 2k—1 ; k 令 x=0 , 得 y=1-2k, V I與X軸、y軸的交點(diǎn)均在正半軸上, 坐二〉。且 1 -2K>0 K 故 k

7、法二:設(shè)直線方程為x =1 , a b …A(a, 0), B(0, b),且 a>0, b>0, ,舄得ab.8,當(dāng)且僅當(dāng) 2 1 2 1 ? ??點(diǎn)P(2, 1)在直線I上,故一=1 ,由均值不等式:仁一 a b a b 3 即,=4, b=2時(shí)取等號,且$=恒4,此時(shí)1方程為vr〔,即沖一同 解法三:如圖,過P(2, 1)作x軸與y軸的垂線PM、PN, 垂足分別為M、N,設(shè)二=Z PAM= / BPN,貝AOB面積 S=S 矩形 ompn+Sapam+Sabpn c J1 coA 2 ta n& 2 1 =2 — 1 cot 二 2ta n 二 _ 2 2 1 1

8、=4,當(dāng)且僅當(dāng)一cot71 - 2ta n =,即 tan 71 -1 時(shí),Saaob 2 2 有最小值4,故此時(shí)直線I的方程為y-1-1 (x-2),即:x+2y-4=0. 2 【總結(jié)升華】解法一與解法二選取了直線方程的不同形式,解法三考慮到圖形的直觀性, 利用了形數(shù)結(jié)合的思想,體現(xiàn)了解題的靈活性” ?已知直線過一點(diǎn)時(shí),常設(shè)其點(diǎn)斜式方程,但 需注意斜率不存在的直線不能用點(diǎn)斜式表示,從而使用點(diǎn)斜式或斜截式方程時(shí),要考慮斜率 不存在的情況,以免丟解?而直線在坐標(biāo)軸上的截距,可正、可負(fù),也可以為零,不能與距 離 混為一談,注意如何由直線方程求其在坐標(biāo)軸上的截距 ? 【變式訓(xùn)練】 【變式

9、1】求通過點(diǎn)(1,-2),且與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形是等腰直角三角形的直線; 【答案】由題設(shè),設(shè)所求直線方程為x?y=1,由已知條件得:a-b.1 a b |a|=|b| a = -1 a = 3 解之得: 或 , [b = -1 \b = -3 故所求直線方程為:x+y+1=0或x-y-3=0. 【變式2]直線I過點(diǎn)P (-1,4),且在兩軸上的截距之和為零,求I的方程。 【答案】(1)若直線?過原點(diǎn),設(shè)直線? : y=kx, 因?yàn)橹本€I過點(diǎn)P(-1,4),代人上式得住,解得k=4 所以直線I的方程為;y=_4x. (2)若直線I在兩軸上截距不為零,設(shè)I的方程為:- =1

10、 a —a 將P (-1,4)代入上式得:一一=1,解得a =-5, a -a y_1,即 x_y5Z10, -5 5 由(1 )、( 2)知:直線I的方程為y = -4x或x-y ? 5 = 0. 【題型四】:對稱問題 【例4】?求直線a:2x ? y-4 =0關(guān)于直線上3x 4y -A0對稱的直線b的方程。 【思路點(diǎn)撥】1 ,曲線的對稱通常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的中心對稱或軸對稱 (這里既可選特殊點(diǎn),也可 選任意點(diǎn)實(shí)施轉(zhuǎn)化)。 2?由平面幾何知識可知,若a與b關(guān)于I對稱,則應(yīng)具有下列幾何性質(zhì): (1)若點(diǎn)A在直線a上,則A點(diǎn)關(guān)于I的對稱點(diǎn)B 一定在直線b上,即I為線段AB的垂

11、直平分線(AB _ I,AB的中點(diǎn)在I上); (2)設(shè)P(x,y)是所求直線b上一點(diǎn),貝U P關(guān)于I的對稱點(diǎn)P (x ,y )的坐標(biāo)適合直線a的方 程; (3)若a與b相交,則I過a與b交點(diǎn),只需求出交點(diǎn)和一個(gè)對稱點(diǎn),利用兩點(diǎn)式就可以求出 答案;若a//l,則b//l//a,三條直線的斜率相等,只需再求出一個(gè)對稱點(diǎn),利用點(diǎn)斜式可以求出答 案。 【解析】方法一:在直線a:2x T-4=0上取一點(diǎn)A (2.0),設(shè)A點(diǎn)于I的對稱點(diǎn)B(Xo,y。), X。2 4 y。0 |3 ——十 2 則《2 解得B(R) jy0 -0 =4 5 5 J Xo - 2- 3 gx川二y.d =。

12、由丫,解得交點(diǎn)D (3,-2)。 3x 4y -1 =0 由兩點(diǎn)式可求得直線b的方程:2x, 11yT6=0。 方法二:設(shè)P(x,y)是所求直線b上任一點(diǎn);設(shè)P關(guān)于I的對稱點(diǎn)P (x ,y), 0 X、7 A 4A 則有: ,解得 9R y y1 4 —2a4(x-7y 8 x—x 3 25 V P (x ,y )在直線 a:2x y - 4 =0 上, …2抉乎,整理得2x11y16=0,故所求直線b的方程:2x11y?16 =0。 25 25 【總結(jié)升華】1 .對稱問題是高考的熱點(diǎn)之一,一般包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱,直線關(guān)于點(diǎn)對稱,點(diǎn) 關(guān)于直線對稱,直線關(guān)于直線對稱,要掌握通

13、解通法和記憶一些常用結(jié)論。 2.求一條直線關(guān)于已知直線的對稱直線,基本方法之一在直線上任取兩點(diǎn)求其對稱點(diǎn),方法之 二是利用相關(guān)點(diǎn)一一伴隨曲線方法解決,其中方法2還可以推廣,如改變直線a為二次曲線C, 仍可用此方法解決。 【變式訓(xùn)練】 【變式】由點(diǎn)P(2, 3)發(fā)出的光線射到直線x?y—1上,反射后過點(diǎn)Q( 1,1),則反射光線 所在直線的一般方程為. 【答案】:4x-5y仁。 【解析】:設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線x-y--1的對稱點(diǎn)P(xo, y。),則P (xo, y。)滿足條件 X/也3 22 心二1, xo.2 解得P(-4, 3)…由直線方程的兩點(diǎn)式可求得反射光線所在直線方程為

14、 _3.1 , y-1 = (x-1),即 4x-5y 1=o . -4—1 【題型五】:綜合應(yīng)用 12 16 〔例5】,已知點(diǎn)A(1,1),B (2, 2),C (4, o),D, ,點(diǎn)P在線段CD垂直 5 5 平分線上,求: (1)線段CD垂直平分線方程; (2) IPAf+IPBf取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo). 12 16 【解析】⑴由C (4,o),D (一,—) 得線段CD的中點(diǎn)M( i6, 8), —-0 5 5 -5__ 12 .4 5 1 ? ? ?線段CD的垂直平分線的斜率為二 ? ? ?線段CD垂直平分線方程為:,即x?2y=0; 5 2 5

15、 (2)設(shè) P(2t, t), 則)|PAf+|PBf=(2t. 1) 2+ (t- 1) 2+ (2t-2) 2+ (t- 2) 2=10t2- 18t+10. 當(dāng)t=-時(shí),|PAf+|PBf取得最小值,即P ( 9 ,.) 10 5 10 【變式訓(xùn)練】 【變式】已知三角形的頂點(diǎn)是A (- 5, 0)、B(3,? 3)、C(0, 2), (1)求直線AB的方程; (2)求A ABC的面積; (3)若過點(diǎn)C直線I與線段AB相交,求直線I的斜率k的范圍. 【解析】(1)依題意,作圖如下: 由兩點(diǎn)式得直線AB方程為 上紅耳 整理得:3x+8y+15=0, -3-0 3—(—5) (2)v 直線 AB 方程為 3x+8y+15=0, 2 ??? de-AB= 31 又 |AB|= .. 73 , V73 1 i _ 3i 3 —Saabc= |AB|?dcab= X 73 X 2 2 v73 2 2 (3) . kAe= , kBe=一 5 要使過點(diǎn)e直線I與線段AB相交,則k〉2或kv- 5 . 5 3 1

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