具切換效應的單種群動力學行為研究數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)

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1、 具切換效應的單種群動力學行為研究 摘要：本文構建了一種基于單種群的動力學模型，同時包含了瞬時與非瞬時脈沖出生兩種狀況。為了獲得系統(tǒng)種群滅絕和系統(tǒng)維持存活的控制值而采用了離散動力系統(tǒng)頻閃映射理論。得到結論為瞬時脈沖出生量與非瞬時脈沖出生區(qū)間決定了系統(tǒng)種群的持續(xù)生存能力?？梢宰鳛閷ι锏谋O(jiān)管與保護的理論基礎。 關鍵詞：瞬時脈沖出生；非瞬時脈沖出生；控制閾值；滅絕；持久 Study on single population dynamic behavior with switching effect Abstract:Establishing a single popul

2、ation dynamics model with instantaneous and non instantaneous pulse birth,the theory of strobe mapping in discrete dynamical systems,the control threshold of system population extinction and system persistence is obtained.The results show that the instantaneous pulse birth rate and the non instantan

3、eous birth interval play an important role in the persistence of the system population,Thus, it provides reliable strategic basis for realistic biological resource management and biodiversity conservation. Key word:Instantaneous pulse birth;non instantaneous pulse birth;control threshold;extermin

4、ation;lasting 目 錄 1 引 言 3 2 模型的建立 3 3 模型的動力學分析 5 4 討論 7 參考文獻 8 II 1 引 言 種群一搬用來描述某一種生物的密度。在自然環(huán)境里，真正單一生存的種群是非常少的，每個種群生活在生物圈的某一個層次里，他們不僅受到同層次本省其它種群的影響，也有來自其它生物圈層次種群的影響以及自然環(huán)境的影響。通過建立有關的單種群動力學模型，從瞬時脈沖與非瞬時脈沖出生出發(fā)，利用

5、離散動力學等理論分析和討論，結果顯示瞬時脈沖出生量與非瞬時出生區(qū)間對于系統(tǒng)種群持久起著 2 模型的建立 根據(jù)文獻得知可以構建通過脈沖微分方程來對種群的脈沖出生、收獲。以及對算法的改進問題進行研究，可以作為生物監(jiān)管的理論基礎。 瞬時脈沖出生的單種群動力學模型 (2.1) 公式里面代表刻的種群密度，則是種群的出生系數(shù)；是種群內部競爭程度數(shù)值；則是種群脈沖出生周期。 根據(jù)焦建軍等的探索，可以得出具脈沖出生與脈沖收獲階段結構單種群動力學模型：

6、 (2.2) 式子里我們用和來代表種群中的的幼成體的密度；和則是分別代表種群里面的幼體的出生與死亡的數(shù)據(jù)，是幼體長成的概率數(shù)值；則是成年個體的死亡數(shù)；時計算種群里面成年個體的數(shù)量；的時候計算群脈沖出生；則是成年個體的獲得數(shù)據(jù)，且;是種群脈沖出生周期，同時也是成年個體收獲周期，由于現(xiàn)實中生物在幼年的死亡率通過高于整體死亡率。因此可以假定。 現(xiàn)實中的生物種群的動力模型應該同時包括瞬時與非瞬時脈沖。出生很少有人研究刻畫種群具瞬時脈沖出生與非瞬時脈沖出生的種群動力

7、學模型行為?？紤]種群是脈沖出生且種群的脈沖出生將在接下來的某個短的時間段上持續(xù)，構建一種同時兼具瞬時與非瞬時脈沖出生的生物群動力學模型。 (2.3) 是時種群密集程度，表示了時候的死亡量，則是時種群的出生量，種群在非瞬時脈沖區(qū)間上是logistic增長（其中1-0，且是種群瞬時脈沖出生后在接下來的時間段上連續(xù)出生的某個短的時間段），a0表示種群在非瞬時脈沖出生區(qū)間上的內稟增長率，表示種群在非瞬時脈沖出生區(qū)間上的種內競爭系數(shù)。表示種群在時刻的收獲系數(shù)，是種群的非脈沖出生區(qū)間長度，是種群非瞬時脈沖出生區(qū)間長度（），表示種群脈

8、沖出生周期。 考慮到種群的非瞬間脈沖出生，我們一直假設且。 3 模型的動力學分析 如果(2.3)的結果為，這是一個沒有間斷點的分段函數(shù),在范圍與上函數(shù)無斷點，同時 與 是可得到的，可以發(fā)現(xiàn)（2.3）的解具有唯一性并且確定存在。 通過系統(tǒng)（2.3）中的一三式，我們可以求出系統(tǒng)（2.3）在不同點中的解析解為： (3.1) 由系統(tǒng)（2.3）的第二個與第四個方程，得到系統(tǒng)（3.1）的頻閃映射為： . (3.2) 計算（3.2），得到系統(tǒng)（3.2）的兩個不動點和,而 (3.3) 定理

9、3.1 當時，系統(tǒng)（3.2）的唯一不動點是全局漸近穩(wěn)定的。 當時，系統(tǒng)（3.2）的不動點是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)（3.2）的正不動點是全局漸近穩(wěn)定的，其中如（3.2） 證明.為了方便，引入記號，那么差分方程（3.2）可以寫成 . （3.4） 其中，，。 當時，系統(tǒng)（3.4）有唯一不動點,于是 (3.5) 所以系統(tǒng)（3.4）

10、的唯一不動點是局部漸近穩(wěn)定的，進而是全局漸近穩(wěn)定的。 當時，對于系統(tǒng)（3.4）的不動點，于是 所以系統(tǒng)（3.4）的不動點是不穩(wěn)定的。 當時，對于系統(tǒng)（3.4）的不動點，于是 . 因此系統(tǒng)（3.4）的不動點在部分區(qū)域趨向平穩(wěn)，而后在全局中也趨向平穩(wěn)。 通過定理3.1，可以發(fā)現(xiàn) 定理3.2 當時，系統(tǒng)（2.3）的平凡周期是全局漸近穩(wěn)定的。 當時，系統(tǒng)（2.3

11、）的正周期解是全局漸近穩(wěn)定的，其中 （3.6） 其中且如（3.3）所定義。 4 討論 本文基于現(xiàn)實中對生物資源的監(jiān)管，對單種群中兼具了瞬時與非瞬時脈沖出生的方案進行了探究，并以此獲得了對生物資源監(jiān)控的控制值。通過3.2式子我們可以發(fā)現(xiàn)種群獲取的閾值。的情況下，2.3所展示的種群則會消失，的情況下，2.3所展示的種群則會存活下來，所以我們可以得出結論：瞬時脈沖出生量決定了種群是否能夠存活下來。此外，也發(fā)現(xiàn)了非瞬時脈沖出生區(qū)間的系數(shù)的取值為。的情況下，種群則會消失。的情況下，種群則會存活下來。所以我們也可以發(fā)現(xiàn)：非瞬時脈沖出生區(qū)間的大小也可以決定了種群是否能夠存

12、活下來。因此，通過以上的研究發(fā)現(xiàn)，我們可以在實際中通過提高瞬時脈沖出生量抑或是對非瞬時脈沖出生區(qū)間進行人為的加長，來避免某些生物種群的滅亡。為現(xiàn)實的生物監(jiān)管和保護打下了良好的理論基礎。 參考文獻 Lakshmikantham V, Bainov D D, Simeonov P. Theory of Implussive Differential Equations . Singapor: World Scientific, 1989. 焦建軍，鮑磊，陳蘭蓀。具脈沖出生與脈沖收獲階段結構單種群動力學模型研究。吉林大學學報（理學版），49（2011）：6—10. JIAO

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14、 Growth on the Dynamics of a Chemostat Model with Implusive Input . CHaos, Solitons and fractals, 42 (2009) :502—513. JIAO Jian—jun, et al . A Delayed Stage—Structured Predator—Prey Model with Implusive Stocking on Prey and Continuous Harvesting on Predator , Applied Mathematics and Computation, 19

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