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1、2.10函數(shù)的綜合應(yīng)用
典例精析
題型一 抽象函數(shù)的計算或證明
【例1】已知函數(shù) f (x)對于任何實數(shù)x，y都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.
求證： f(x)是偶函數(shù).
【證明】因為對于任何實數(shù)x、y都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，
令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，所以2f(0)＝2f(0)f(0)，
因為f(0)≠0，所以f(0)＝1，
令x＝0，y＝x，則f(0＋x)＋f(0－x)＝2f(0)f(x)，
所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)，所以f(－x)＝f(x)，
故f(x)是偶
2、函數(shù).
【點撥】對于判斷抽象函數(shù)的奇偶性問題常常采用“賦值法”探索求解途徑；判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性單調(diào)性時，既要扣緊函數(shù)奇偶性單調(diào)性的定義，又要靈活多變，以創(chuàng)造條件滿足定義的要求.
【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)對任意的x，y有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(x)的定義域為R，請判定f(x)的奇偶性.
【解析】取x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0.
取y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).
題型二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
【例2】已知函數(shù)f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.
(1)若函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為4，求實數(shù)a的值；
(2)若函
3、數(shù)g(x)＝f′(x)在區(qū)間(－1,1)上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】由題意得g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a.
(1)f′(1)＝3＋4－a＝4，所以a＝3.
(2)方法一：①當(dāng)g(－1)＝－a－1＝0，即a＝－1時，g(x)＝f′(x)的零點x＝－∈(－1,1)；
②當(dāng)g(1)＝7－a＝0，即a＝7時，
f′(x)的零點x＝－?(－1,1)，不合題意；
③當(dāng)g(1)g(－1)＜0時，－1＜a＜7；
當(dāng)時，－≤a＜－1.綜上所述，a∈[－，7).
方法二：g(x)＝f′(x)在區(qū)間(－1,1)上存在零點，等價于3x2＋4x＝a在區(qū)間(－1,1)上有解，也等價
4、于直線y＝a與曲線y＝3x2＋4x，x∈(－1,1)有公共點，作圖可得a∈[－，7).
方法三：等價于當(dāng)x∈(－1,1)時，求值域：a＝3x2＋4x＝3(x＋)2－∈[－，7).
【變式訓(xùn)練2】二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與坐標(biāo)軸交于(－1,0)和(0，－1)，且其頂點在第四象限，則a＋b＋c的取值范圍為 .
【解析】由已知c＝－1，a－b＋c＝0，所以a＋b＋c＝2a－2.
又?0＜a＜1，所以a＋b＋c∈(－2,0).
題型三 化歸求函數(shù)的最大值和最小值問題
【例3】某個體經(jīng)營者把開始6個月試銷售A、B兩種商品的逐月投資與所獲得的純利潤列成下表：
投資A
5、商品
(萬元)
1
2
3
4
5
6
獲純利
(萬元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投資B商品
(萬元)
1
2
3
4
5
6
獲純利
(萬元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
該經(jīng)營者下月投入12萬元經(jīng)營這兩種商品，但不知投入A、B兩種商品各多少才能獲得最大的利潤，請你幫助制定一個資金投入方案，使該經(jīng)營者能獲得最大利潤，并根據(jù)你的方案求出經(jīng)營者下個月可能獲得的最大利潤(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字).
【解析】以投資金額為橫坐標(biāo)，純利潤為縱坐標(biāo)，可以在直角坐標(biāo)系中畫出圖象.
據(jù)此可
6、以考慮用下列函數(shù)描述上述兩組數(shù)據(jù)之間的對應(yīng)關(guān)系
y＝－a(x－4)2＋2 (a＞0)，①
y＝bx，②
把x＝1，y＝0.65代入①得a＝0.15，故前6個月所獲得的純利潤關(guān)于投資A商品的金額函數(shù)關(guān)系式可近似的用y＝－0.15(x－4)2＋2表示，
再把x＝4，y＝1代入②可得b＝0.25，故前6個月所獲得的純利潤關(guān)于投資B商品的金額函數(shù)關(guān)系式可近似的用y＝0.25x表示，
設(shè)下個月投資A商品x萬元，則投資B商品(12－x)萬元，則可獲得純利潤為
y＝－0.15(x－4)2＋2＋0.25(12－x)＝－0.15x2＋0.95x＋2.6，
可得當(dāng)x≈3.2時，y取最大值4.1萬元.
7、
故下個月分別投資A、B兩種商品3.2萬元和8.8萬元可獲得最大利潤4.1萬元.
【點撥】本題可以用兩個函數(shù)近似地表示兩種投資方案，是估計思想的體現(xiàn).根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)，把近似函數(shù)的解析式求出來，由此求得最大利潤.解決此類問題的關(guān)鍵在于根據(jù)列出的散點圖來選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，然后求出待定系數(shù)便可求得函數(shù)解析式，再由解析式求最優(yōu)解.
【變式訓(xùn)練3】求函數(shù)y＝的值域.
【解析】x＝0時，y＝0；
x＞0時，y＝，所以0＜y＜1；
x＜0時，y＝，所以－≤y＜0.
綜上，－≤y＜1.
總結(jié)提高
1.函數(shù)把數(shù)學(xué)各個分支緊緊地連在一起，函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、幾何、三角函數(shù)彼此滲透、互相
8、融合，構(gòu)成了函數(shù)應(yīng)用的廣泛性、解法的多樣性、思維的創(chuàng)造性.解這類綜合問題應(yīng)注意如下幾點：
(1)在解題時有些函數(shù)的性質(zhì)并不明顯，深入挖掘這些隱含條件，將獲得簡捷解法；
(2)應(yīng)堅持“定義域優(yōu)先”的原則，先弄清自變量的取值范圍；
(3)函數(shù)思想處處存在，要重視對函數(shù)思想的研究和應(yīng)用，在解題時，要有意識地引進(jìn)變量，建立相關(guān)函數(shù)關(guān)系，利用有關(guān)函數(shù)知識解決問題.
2.解函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟：
(1)閱讀理解，審清題意.讀題要逐字逐句，讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所表達(dá)的實際背景，在此基礎(chǔ)上分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；
(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型.一般地，設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，必要時引進(jìn)其他相關(guān)輔助變量，并用x、y和輔助變量表示各相關(guān)量，然后再根據(jù)問題已知條件，運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識和其他相關(guān)知識建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，實現(xiàn)問題數(shù)學(xué)化，即建立數(shù)學(xué)模型；
(3)利用數(shù)學(xué)方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題予以解答，求出結(jié)果；
(4)將所得結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答.
內(nèi)容總結(jié)
（1）(4)將所得結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答.
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案210 函數(shù)的綜合應(yīng)用
