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1、第三章 直線與方程
3．1 直線的傾斜角與斜率
3．1.1 傾斜角與斜率
1．已知點A(1，－3)，B(－1,3)，則直線AB的斜率是( )
A. B．－ C．3 D．－3
2．經(jīng)過A(－2,0)，B(－5,3)兩點的直線的傾斜角是( )
A．45° B．135° C．90° D．60°
3．過點P(－2，m)和Q(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為( )
A．1 B．4
2、 C．1或3 D．1或4
4．已知直線l的傾斜角為α－15°，則下列結論正確的是( )
A．0°≤α＜180° B．15°＜α＜180° C．15°≤α＜195° D．15°≤α＜180°
5．下列說法錯誤的是( )
A．在平面坐標系中每一條直線都有傾斜角
B．沒有斜率的直線是存在的
C．每一條不垂直于x軸的直線的斜率都存在
D．斜率為tanθ的直線的傾斜角一定是θ
6．若直線y＝x的傾斜角為α，則α＝( )
A．0° B．45° C．90° D．不存在
7．在圖K
3、3-1-1中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則( )
圖K3-1-1
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
8．已知直線的斜率k＝2，點A(3,5)，B(x,7)，C(－1，y)是這條直線上的三個點，x＝______，y＝______.
9．已知直線l經(jīng)過點A(－m,6)，B(1,3m)，當實數(shù)m為何值時，
(1)直線l的斜率為2；
(2)直線l的傾斜角為135°.
10．已知點M(2,2)和N(5，－2)，點P在x軸
4、上，且∠MPN為直角，求點P的坐標．
3．1.2 兩條直線平行與垂直的判定
1．直線l1過點A(2,1)和點B(－1,2)，直線l2過點C(3,2)和點D(2，－1)，則直線l1與l2的位置關系是( )
A．重合 B．平行 C．垂直 D．無法確定
2．若經(jīng)過點P(－3，m－2)和Q(m－1,2)的直線l與x軸平行，則m＝( )
A．4 B．0 C．1或3 D．0或4
3．直線l1的傾斜角為30°，l2經(jīng)過點M(1，)，N(2，0)，則l1與l2的位置關系為(
5、 )
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不確定
4．若經(jīng)過點P(1，m－2)和Q(m－1,1)的直線l與x軸垂直，則m＝( )
A．1 B．2 C．－1 D．0
5．已知直線l1經(jīng)過兩點(－1,2)，(－1,4)，直線l2經(jīng)過兩點(0,1)，(x－2,6)，且l1∥l2，則x＝( )
A．2 B．－2 C．4 D．1
6．已知四點A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2，12)，則下面四個結論中：
①AB∥CD；②AB⊥CD；
6、③AC∥BD；④AC⊥BD.
正確結論的個數(shù)是( )
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
7．已知直線l1過(m,2)，(3,1)兩點，直線l2過(1，m2)，(2,9)兩點，且l1⊥l2，則m＝________.
8．已知直線l1過點A(1,0)，B(3，a－1)，直線l2過點M(1,2)，N(a＋2,4)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
9．已知點A(1,1)，B(2,2)，C(3，－3)，求點D的坐標使得直線CD⊥AB，且BC∥AD.
7、
10．△ABC的頂點A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC為直角三角形，求m的值．
3.2 直線的方程
3．2.1 直線的點斜式方程
1．已知直線l的方程為y＝－x＋1，則該直線l的傾斜角為( )
A．30° B．45° C．60° D．135°
2．過點(4，－2)，傾斜角為120°的直線方程是( )
A.x＋y＋2－4 ＝0 B.x＋3y＋6＋4 ＝0
C．x＋y－2 －4＝0
8、 D．x＋y＋2 －4＝0
3．已知直線的方程是y＋2＝－x－1，則( )．
A．直線經(jīng)過點(2，－1)，斜率為－1 B．直線經(jīng)過點(－2，－1)，斜率為1
C．直線經(jīng)過點(－1，－2)，斜率為－1 D．直線經(jīng)過點(1，－2)，斜率為－1
4．直線l過點(1，－2)且與直線2x－3y－1＝0垂直，則l的方程是( )
A．3x＋2y＋1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
5．直線kx－y＋1－3k＝0，當k變化時，所有直線恒過定點( )．
A．(0,0) B．(3,1)
9、 C．(1,3) D．(－1，－3)
6．如果直線l沿x軸負方向平移3個單位長度，再沿y軸正方向平移1個單位長度后，又回到原來的位置，則直線l的斜率是________．
7．已知直線經(jīng)過點A(3，－2)，斜率為－，求該直線方程．
8．已知直線l：mx＋ny＋1＝0平行于直線m：4x＋3y＋5＝0，且l在y軸上的截距為，則m，n的值分別為( )
A．4,3 B．－4,3
C．－4，－3 D．4，－3
9．已知△ABC的頂點坐標分別為A(1,3)，B(5,7)，C(10,12)，求BC邊上的高所在的直線的方程．
10、
10．已知直線l在y軸上的截距為－3且它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為6，求直線l的方程．
3.2.2 直線的兩點式方程
1．在x軸上的截距是－2，在y軸的截距是2的直線的方程是( )
A．x－y＝2 B．x－y＝－2 C．x＋y＝2 D．x＋y＝－2
2．直線3x－2y＝4的截距式方程為( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.＋＝1
3．過兩點，的直線方程為( )
A．x＝ B．x＝2 C．x＋y＝2
11、 D．y＝0
4．過點A(3,2)且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是( )
A．x＋y＝5 B．x－y＝1 C．x＋y＝5或2x－3y＝0 D．x－y＝1或2x＋3y＝0
5．點P(1，－2)關于點M(3,0)的對稱點Q的坐標是( )
A．(3，－1) B．(1,2) C．(5,2) D．(2，－1)
6．若三點A，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值為________．
7．過點P(－1，－1)的直線l與x軸和y軸分別交于A，B兩點，若P恰為線段AB的中點，求直線l的斜率和傾斜角．
12、
8．如果直線l過(－1，－1)，(2,5)兩點，點(1006，b)在l上，那么b的值為( )
A．2011 B．2012
C．2013 D．2014
9．已知直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，且過定點P(6，－2)，求直線l的方程．
10．已知直線l：＋＝1.
(1)若直線l的斜率是2，求m的值；
(2)當直線l與兩坐標軸的正半軸圍成三角形的面積最大時，求此直線的方程．
3．2.3 直線的一般式方程
1．若mx＋ny＋15＝0在x軸和y軸上的截距
13、分別是－3和5，則m，n的值分別是( )
A．5,3 B．－5,3 C．5，－3 D．－5，－3
2．直線3x＋y＋1＝0的傾斜角大小是( )
A．30° B．60° C．120° D．135°
3．(2014年陜西寶雞一模)已知過點A(－2，m)和點B(0，－4)的直線與直線2x＋y－1＝0平行，則實數(shù)m的值為( )
A．－8 B．0 C．2 D．10
4．若直線ax＋by＋c＝0在第一、二、三象限，則( )
A．a(chǎn)b＞0，bc＞0 B．a(chǎn)b＞0，bc＜0 C．a(chǎn)b＜0，bc＞0
14、 D．a(chǎn)b＜0，bc＜0
5．斜率為－2，在x軸上截距為2的直線的一般式方程是( )
A．2x＋y＋4＝0 B．2x－y＋2＝0 C．2x＋y－4＝0 D．2x－y－2＝0
6．方程y－ax－＝0表示的直線可能是圖中的( )
A B C D
7．直線的截距式＋＝1化為斜截式為y＝－2x＋b，化為一般式為bx＋ay－8＝0，求a，b的值．
8．過點(1,3)作直線l，若l經(jīng)過點(a,0)，(0，b)，且a，b∈N*，則可作出這樣的直線l的條數(shù)為(
15、 )
A．1條 B．2條C．3條 D．多于3條
9．設直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0，根據(jù)下列條件求m的值．
(1)直線l的斜率為1；
(2)直線l經(jīng)過定點P(－1，－1)．
10．已知直線(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x軸上的截距為3，求直線在y軸上的截距．
3．3 直線的交點坐標與距離公式
3．3.1 兩條直線的交點坐標
1．直線2x－3y＋10＝0與2x＋3y－2＝0的交點是( )
A．(－2,1) B．(－2
16、,2) C．(2，－1) D．(2，－2)
2．已知集合M＝{(x，y)|4x＋y＝6}，P＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，則M∩P＝( )
A．(1,2) B．{1}∪{2} C．{1,2} D．{(1,2)}
3．直線l1：x＋ay＋4＝0和直線l2：(a－2)x＋3y＋a＝0互相平行，則a的值為( )
A．－1或3 B．－3或1 C．－1 D．－3
4．若直線5x＋4y＝2m＋1與直線2x＋3y＝m的交點在第四象限，則m的取值范圍是( )
A．m＜2 B．m＞ C
17、．m＜－ D．－＜m＜2
5．三條直線ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝7,2x－y＝1相交于一點，則a的值是( )
A．－2 B．－10 C．10 D．2
6．過兩直線3x＋y－1＝0與x＋2y－7＝0的交點，并且與第一條直線垂直的直線方程是( )
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0 C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0
7．直線ax＋by＋16＝0與x－2y＝0平行，且過直線4x＋3y－10＝0和2x－y－10＝0的交點，則a＝________，b＝________.
8．已知直線方程為
18、(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0.
求證：不論λ取何實數(shù)值，此直線必過定點．
9．已知三條直線l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0，當m為何值時，三條直線不能圍成三角形．
3.3.2 兩點間的距離
1．兩點A(1,4)，B(4,6)之間的距離為( )
A．2 B. C. D．3
2．以點A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)為頂點的三角形
19、是( )
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．以上都不是
3．點P在x軸上，點Q在y軸上，線段PQ的中點R的坐標是(3,4)，則|PQ|的長為( )
A．5 B．10 C．17 D．25
4．已知A，B的坐標分別為(1,1)，(4,3)，點P在x軸上，則|PA|＋|PB|的最小值為( )
A．20 B．12 C．5 D．4
5．已知A(1,5)，B(5，－2)，在x軸上存在一點M，使|MA|＝|MB|，則點M的坐標為( )
A. B. C.
20、 D.
6．點P在直角坐標系第一、三象限的角平分線上，它到原點的距離等于它到點Q(4 ，0)的距離，則點P的坐標是__________．
7．已知點A(3,6)，在x軸上的點P與點A的距離等于10，求點P的坐標．
8．在坐標軸上，與兩點A(1,5)，B(2,4)等距離的點的坐標是________________．
9．在直線2x－y＝0上求一點P，使它到點M(5,8)的距離為5.
10．已知點M(1,0)，N(－1,0)，點P為直線2x－y－1＝0上的動點．求PM2＋PN
21、2的最小值及取最小值時點P的坐標．
3．3.3 點到直線的距離、兩條平行直線間的距離
1．原點到直線3x＋4y－10＝0的距離為( )
A．1 B. C．2 D.
2．點P(－3,2)到y(tǒng)軸的距離是( )
A．3 B. C．2 D．1
3．點P在直線3x＋y－5＝0上，且到直線x－y－1＝0的距離等于，則點P的坐標為( )
A．(1,2) B．(2,1) C．(1,2)或(2，－1)
22、D．(2,1)或(－1,2)
4．在以A(2,1)，B(4,2)，C(8,5)為頂點的三角形中，BC邊上的高等于( )
A. B. C. D．2
5．傾斜角是45°，并且與原點的距離是5 的直線的方程為( )
A．x－y－10＝0 B．x－y－10＝0或x－y＋10＝0
C．x－y＋5 ＝0 D．x－y＋5 ＝0或x－y－5 ＝0
6．動點P在直線x＋y－4＝0上，O為原點，則|OP|的最小值為( )
A. B．2 C. D．2
23、
7．兩平行線3x＋4y＋5＝0與6x＋ay＋30＝0間的距離為d，則a＋d＝________.
8．已知x＋y＋1＝0，那么的最小值為__________．
9．(2014年四川成都模擬)已知圓C的方程為x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，當圓心C到直線kx＋y＋4＝0的距離最大時，求k的值．
10．在△ABC中，已知頂點A(1,1)，B(3,6)且△ABC的面積等于3，求頂點C的軌跡方程．
第三章 直線與方程
3．1 直線的傾斜角與斜率
3．1.1 傾斜角與斜率
1．D
24、 2.B 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D
8．4 －3
9．解：(1)直線l的斜率為2，
即k＝＝2，解得m＝8.
(2)直線l的傾斜角為135°，
即k＝tan135°＝＝－1，解得m＝.
10．解：設點P(x,0)，因為∠MPN為直角，
所以MP⊥NP，kMP＝，kNP＝，
因為MP⊥NP，所以kMP·kNP＝－1，解得x＝1或x＝6.
所以點P的坐標為(1,0)或(6,0)．
3．1.2 兩條直線平行與垂直的判定
1．C 2.A
3．B 解析：＝，＝＝－，·＝－1.
4．B 5.A
6．C 解析：只有①④是正確的．
7．3或－2 解析：若直線l1
25、和直線l2斜率都存在，此時m≠3，故k1·k2＝－1，∴·＝－1，∴m＝－2；若直線l1和直線l2有一條斜率不存在，則另一條直線斜率為0，此時m＝3.
8．解：(1)∵k1＝＝，
∴k2存在，且k2＝，
由于l1∥l2，∴k1＝k2，即＝，解得a＝±，
又當a＝±時，kAM≠kBM，即點A，B，M不共線．
∴a＝±符合題意．
(2)當直線l2斜率不存在時，即a＝－1時顯然不符合題意，
∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，
即·＝－1，解得a＝0.
9．解：設D(x，y)，則kCD·kAB＝－1，kBC＝kAD.
∴解得
∴D.
10．解：若∠A為直角，則AC⊥AB，
于
26、是有kAC·kAB＝－1，即·＝－1，解得m＝－7；
若∠B為直角，則AB⊥BC，于是有kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，解得m＝3；
若∠C為直角，則AC⊥BC，于是有kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，解得m＝±2.
∴m＝－7或m＝3或m＝±2.
3．2 直線的方程
3．2.1 直線的點斜式方程
1．D
2．A 解析：k＝tan120°，故直線的點斜式方程為y＋2＝－(x－4)，化簡得x＋y＋2－4 ＝0.
3．C 4.A 5.B
6．－ 解析：設直線l的方程為y＝kx＋b，由題意，得y＝k(x＋3)＋b＋1與y＝kx＋b相同，∴3k＋1＝0，k＝－.
7．解：
27、經(jīng)過點A(3，－2)，并且斜率為－的直線方程的點斜式是y＋2＝－(x－3)，即4x＋3y－6＝0.
8．C 解析：直線mx＋ny＋1＝0可化為y＝－x－，4x＋3y＋5＝0可化為y＝－x－，由于l∥m，l在y軸上的截距為，所以即
9．解：kBC＝＝1，因此BC邊上的高所在的直線的斜率為－1，直線方程為y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0.
10．解：由已知得直線l的斜率存在，且不等于零．
設直線l的方程：y＝kx－3.
當y＝0時，x＝.
所以··3＝6，解得k＝±.
故所求直線方程為y＝±x－3.
3．2.2 直線的兩點式方程
1．B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.
28、2
7．解：設A，B兩點的坐標分別為(a,0)和(0，b)．
∵AB的中點坐標為(－1，－1)，
∴
解得∴kAB＝＝－1為直線l的斜率，直線l的傾斜角為135°.
8．C 解析：由題意，可得直線l的方程為＝，整理，得y＝2x＋1，把x＝1006代入，得b＝2013.
9．解：方法一：設直線方程為y＋2＝k(x－6)，
即y＝kx－6k－2，故直線在y軸上的截距為－6k－2，
令y＝0，直線在x軸上的截距為x＝.
則有－＝1，
解得k＝－或k＝－.
故直線l的方程為y＋2＝－(x－6)或y＋2＝－(x－6)．
方法二：設直線方程為y＝kx＋b，即直線在y軸上的截距為b，
29、因為直線過定點P(6， －2)，故有－2＝b＋6k，
令y＝0，直線在x軸上的截距為x＝－，
則有－－b＝1，解得或
故直線l的方程為y＝－x＋2或y＝－x＋1；
方法三：設直線方程為＋＝1，
因為直線過定點P(6，－2)，故有＋＝1，
解得b＝1或b＝2，
即直線l方程為＋＝1或＋y＝1.
10．解：(1)直線l過點(m,0)，(0,4－m)，
則＝2，即m＝－4.
(2)由m＞0,4－m>0，得0＜m＜4，
則S＝＝.
當m＝2時，S有最大值，
故直線l的方程為x＋y－2＝0.
3．2.3 直線的一般式方程
1．C 2.C 3.B 4.D 5.C
6
30、．B 解析：斜率為a，y軸截距為中都含同一個字母a，且a≠0.將方程變形為y＝ax＋，則a為直線的斜率，為直線在y軸上的截距．因為a≠0，所以a＞0或a＜0.當a＞0時，四個圖形都不可能是方程的直線；當a＜0時，圖形B是方程的直線．
7．解：由＋＝1，化得y＝－x＋b＝－2x＋b，
又可化得bx＋ay－ab＝bx＋ay－8＝0，則＝2且ab＝8，解得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
8．B 解析：根據(jù)題意設直線方程為＋＝1.∴＋＝1.∴b＝＝＋(a≥2，且a∈N*)＝3＋，∴a－1必為3的正約數(shù)．當a－1＝1時，b＝6；若a－1＝3時，b＝4.所以這樣的直線有2條．
9．解：(1)
31、直線l的斜率為－＝1，整理得
＝0，即＝0，解得m＝.
(2)由題意，得(m2－2m－3)·(－1)＋(2m2＋m－1)·(－1)－2m＋6＝0，即3m2＋m－10＝0，
解得m＝－2或m＝.
10．解：∵直線在x軸上的截距為3，
∴直線過點(3,0)．把x＝3，y＝0代入直線的方程，得
3(a＋2)－2a＝0，解得a＝－6.
∴直線的方程為－4x＋45y＋12＝0.
令x＝0，得y＝－，∴直線在y軸上的截距為－.
3．3 直線的交點坐標與距離公式
3．3.1 兩條直線的交點坐標
1．B 2.D 3.A
4．D 解析：解方程組得由題意，得＞0且＜0，∴－＜m＜2.
5
32、．B 6.B
7．－2 4 解析：ax＋by＋16＝0與x－2y＝0平行，則b＝－2a?、?又直線過4x＋3y－10＝0與2x－y－10＝0的交點(4，－2)，代入ax＋by＋16＝0得4a－2b＋16＝0 ②.聯(lián)立①②，得a＝－2，b＝4.
8．證明：把直線方程整理為2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0.
解方程組得
即點(－1，－2)適合方程2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0，也就是適合方程(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0.
所以不論λ取何實數(shù)值，直線(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0必過定點(－1，－2)．
9．解：當三條直線共點或至少有兩條直線平行時，不
33、能構成三角形．三條直線共點時，
由得，
即l2與l3的交點為，
代入l1的方程，得到4×＋7×－4＝0，
解得m＝或m＝2.
至少有兩條直線平行時，
①當l1∥l2時，4＝7m，∴m＝.
②當l1∥l3時，4×3m＝7×2，∴m＝.
③當l2∥l3時，3m2＝2，即m＝±.
∴m取集合中的元素時，
三條直線不能構成三角形．
3．3.2 兩點間的距離
1．B 2.C 3.B
4．C 解析：點A關于x軸的對稱點為A′(1，－1)．
∵|PA|＋|PB|的最小值為BA′的長，
∴＝5，
即|PA|＋|PB|的最小值為5.
5．B 解析：設M(x,0)，根據(jù)題意，得(
34、x－1)2＋52＝(x－5)2＋[0－(－2)]2，解得x＝.故點M的坐標為.
6．(2 ，2 ) 解析：設P(x，x)，
∵|PO|＝|PQ|，
∴＝.
故x＝2 ，即點P的坐標是(2 ，2 )．
7．解：設點P的坐標為(x,0)，由|PA|＝10，得
＝10，
解得x＝11或x＝－5.
所以點P的坐標為(－5,0)或(11,0)．
8．(－3,0)，(0,3)
9．解：∵點P在直線2x－y＝0上，∴可設P(a,2a)，根據(jù)兩點的距離公式，得|PM|2＝(a－5)2＋(2a－8)2＝52，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝.
∴點P的坐標為(2,4)或.
1
35、0．解：點P為直線2x－y－1＝0上的點，
∴設P的坐標為(m,2m－1)，由兩點的距離公式，得
PM2＋PN2＝(m－1)2＋(2m－1)2＋(m＋1)2＋(2m－1)2＝10m2－8m＋4，m∈R.
又∵10m2－8m＋4＝102＋≥，
∴當m＝時，PM2＋PN2有最小值為.
∴點P的坐標為.
3．3.3 點到直線的距離、兩條平行直線間的距離
1．C 2.A
3．C 解析：設點P(a,5－3a)，d＝＝.故|4a－6|＝2?4a－6＝±2?a＝2或a＝1.
4．A 5.B 6.D
7．10 解析：由兩直線平行知a＝8，由兩平行線距離公式得d＝2，∴a＋d＝10.
8．
36、2 解析：式子的最小值的幾何意義為直線x＋y＋1＝0上的點到點(－2，－3)的最短距離，由點到直線的距離公式為＝2 .
9．解：因為圓C的方程為x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，
配方可得(x＋1)2＋(y－1)2＝1，
所以圓的圓心為C(－1,1)，半徑r＝1，
直線kx＋y＋4＝0可化為y＝－kx－4，恒過定點B(0，－4)，
當直線與BC垂直時，圓心C到直線kx＋y＋4＝0的距離最大，
由斜率公式，可得BC的斜率為＝－5，
由垂直關系可得：－k×(－5)＝－1，解得k＝－.
10．解：設頂點C的坐標為(x，y)，作CH⊥AB于點H，
∵kAB＝＝，
∴直線AB的方程是y－1＝(x－1)，即5x－2y－3＝0.
∴|CH|＝＝.
∵|AB|＝＝，
∴××＝3.
化簡，得|5x－2y－3|＝6，即5x－2y－9＝0或5x－2y＋3＝0，即為所求頂點C的軌跡方程．
《直線方程》課后提高練習
