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2019-2020年高三數學一輪復習 大題沖關集訓（一）理
1.(xx高考安徽卷)設函數f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.
(1)討論f(x)在其定義域上的單調性;
(2)當x∈[0,1]時,求f(x)取得最大值和最小值時的x的值.
解:(1)f(x)的定義域為(-∞,+∞),
f′(x)=1+a-2x-3x2.
令f′(x)=0,得x1=,x2=,
x1
x2時,f′(x)<0;
當x10.
故f(x)在(-∞,)和(,+∞)內單調遞減,在(,)內單調遞增.
(2)因為a>0,所以x1<0,x2>0.
①當a≥4時,x2≥1.
由(1)知,f(x)在[0,1]上單調遞增.
所以f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值.
②當00時,f(x)單調增區(qū)間為(0,),f(x)單調減區(qū)間為(,+∞).
(2)∵f(x)≤x2恒成立,
即ln x-cx≤x2恒成立,
∴c≥-x,當x∈(0,+∞)時恒成立.
設g(x)=-x,
∴g′(x)=,
∴g(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.
∴[g(x)]max=g(1)=-1,
∴c≥-1.即c的取值范圍為(-1,+∞).
3.(xx涼州一診)已知函數f(x)=(ax-2)ex在x=1處取得極值.
(1)求a的值;
(2)求函數f(x)在[m,m+1]上的最小值;
(3)求證:對任意x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤e.
(1)解:f′(x)=aex+(ax-2)ex=(ax+a-2)ex.
由已知得f′(1)=0,
即(2a-2)e=0,
解得a=1.
當a=1時,在x=1處函數f(x)=(x-2)ex取得極小值,
所以a=1.
(2)解:由(1)知f(x)=(x-2)ex,
f′(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.
所以函數f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增.
當m≥1時,f(x)在[m,m+1]上單調遞增,
[f(x)]min=f(m)=(m-2)em.
當01.
構造函數 (x)=ln x-(x>1),
則′(x)=-
=-
=>0,
∴ (x)在(1,+∞)上單調遞增,
又當x=1時, (1)=0,
∴x>1時, (x)>0,
即ln x>,
則有l(wèi)n >成立,
即>.
即>.
5.(xx湖北省八市聯考)定義在R上的函數g(x)及二次函數h(x)滿足g(x)+2g(-x)=ex+-9,h(-2)=h(0)=1且h(-3)=-2.
(1)求g(x)和h(x)的解析式;
(2)對于x1,x2∈[-1,1],均有h(x1)+ax1+5≥g(x2)-x2g(x2)成立,求a的取值范圍;
(3)設f(x)=討論方程f[f(x)]=2的解的個數情況.
解:(1)∵g(x)+2g(-x)=ex+-9,①
g(-x)+2g(x)=e-x+-9,
即g(-x)+2g(x)=2ex+-9, ②
由①②聯立解得g(x)=ex-3.
∵h(x)是二次函數,且h(-2)=h(0)=1,
可設h(x)=ax(x+2)+1,
由h(-3)=-2,
解得a=-1.
∴h(x)=-x(x+2)+1=-x2-2x+1.
∴g(x)=ex-3,h(x)=-x2-2x+1.
(2)設φ(x)=h(x)+ax+5=-x2+(a-2)x+6,
F(x)=ex-3-x(ex-3)=(1-x)ex+3x-3,
依題意知,當-1≤x≤1時,[φ(x)]min≥[F(x)]max.
∵F′(x)=-ex+(1-x)ex+3=-xex+3在[-1,1]上單調遞減,
∴[F′(x)]min=F′(1)=3-e>0,
∴F(x)在[-1,1]上單調遞增,
∴[F(x)]max=F(1)=0,
∴
解得-3≤a≤7,
∴實數a的取值范圍為[-3,7].
(3)f(x)的圖象如圖所示.
令T=f(x),則f(T)=2.
∴T1=-1,T2=ln 5,f(x)=-1有兩個解,f(x)=ln 5有3個解.
∴f[f(x)]=2有5個解.
6.已知函數f(x)=ax-1-ln x(a∈R).
(1)討論函數f(x)的單調性;
(2)若函數f(x)在x=1處取得極值,不等式f(x)≥bx-2對?x∈(0,
+∞)恒成立,求實數b的取值范圍;
(3)當x>y>e-1時,證明不等式exln(1+y)>eyln(1+x).
(1)解:函數的定義域是(0,+∞),
且f′(x)=a-=.
當a≤0時,ax-1<0,從而f′(x)<0,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減;
當a>0時,若0eyln(1+x)成立,只需證>.
構造函數h(x)=,則h′(x)==,h′(x)在(e,+∞)上單調遞增,
h′(x)>h′(e)>0,
則h(x)在(e,+∞)上單調遞增.
由于x>y>e-1,所以x+1>y+1>e,
所以>,
即exln(1+y)>eyln(1+x).
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