七年級(jí)升八年級(jí)數(shù)學(xué) 暑期銜接班講義 第十五講 等腰直角三角形 新人教版.doc

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第十五講：等腰直角三角形 如圖，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，AD⊥BC于點(diǎn)D. 基本性質(zhì)：1．邊：AB=AC，DA=DB=DC=BC； 2．角：∠BAC=∠ADB=∠ADC=90； ∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45； 3．形：等腰Rt△ABC，等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACD. 第一部分【能力提高】 一、如圖，M為等腰Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)，D為AB上一點(diǎn)，ME⊥MD交直線AC于點(diǎn)E. （1）求證：MD=ME； 其它結(jié)論：①AD+AE=AB；②BD+CE=AB；③△MDE為等腰直角三角形；④. （2）如圖，若D為AB反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其它條件不變， 請(qǐng)完成圖形并探究（1）中的結(jié)論. 二、如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD=∠CBD=15，E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CA． （1）求證：DE平分∠BDC； （2）若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD． 三、如圖，M為等腰Rt△ABC直角邊AC的中點(diǎn)，AE⊥BD交BC于點(diǎn)E，連結(jié)DE. （1）求證：①∠ADB=∠CDE；②AE+DE=BD； （2）如圖2，若AM=CN，AE⊥BM交BC于點(diǎn)E，BM、EN交于點(diǎn)P. 求證：①∠AMB=∠CNE；②AE+PE=BP. 四、如圖1，在等腰Rt△ABC中，D為直線BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作AD的垂線DE，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線BE. （1）求證：AD=DE； （2）拓展變化一：圖形的演變（縱深演變） 如圖2和圖3中，當(dāng)D分別在BC的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：AD=DE； （3）拓展變化二：條件的演變（橫向演變） 如圖4，圖5，圖6中，等腰Rt△ABC中，D為直線BC上一點(diǎn)，以AD為腰作等腰Rt△ADE，連接BE，求證AB⊥BE. 第二部分【綜合運(yùn)用】 五、（1）如圖，等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90，P為△ABC形外一點(diǎn)，∠APB=90，求證：∠APC=∠BPC=45； （2）如圖，等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90，P為△ABC形外一點(diǎn)，∠APC=45，求證：∠APB=90； （3）如圖，等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90，P為△ABC形外一點(diǎn)，CP平分∠APB，求證：∠APB=90（∠APC=∠BPC=45）； （4）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，P為△ABC形外的一點(diǎn)，∠APC=∠BPC=45，求證：AC=BC； （5）如圖，在等腰△ABC中，AC=BC，P為△ABC形外的任一點(diǎn)，且∠APC=∠BPC=45，求證：∠ACB=90； （6）如圖，在（1）～（5）的條件下，過(guò)C作CH⊥AP于點(diǎn)H. 求證：①PA+PB=2PH；②PA-PB=2AH； （7）如圖，當(dāng)P點(diǎn)、C點(diǎn)在直線AB的同側(cè)，類同（1）～（6）的條件、結(jié)論，進(jìn)行探究. 六、如圖，以任意△ABC的兩邊AB、AC為腰作兩個(gè)等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，連接BE、CD交于點(diǎn)O. （1）求證：BE=CD； （2）求∠BOC的度數(shù)； （3）連接AO，求證：AO平分∠DOE； （4）M、N分別為CD、BE的中點(diǎn)，判斷△AMN的形狀，并證明你的結(jié)論.