高中數(shù)學 第3章 2第1課時 實際問題中導數(shù)的意義課件 北師大版選修2-2.ppt

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成才之路 數(shù)學 路漫漫其修遠兮吾將上下而求索 北師大版 選修2 2 導數(shù)應用 第三章 第1課時實際問題中導數(shù)的意義 第三章 2導數(shù)在實際問題中的應用 1 與幾何有關的最值問題 2 與物理學有關的最值問題 3 與利潤及其成本有關的最值問題 4 效率最值問題 本節(jié)重點 會解釋導數(shù)的實際意義 本節(jié)難點 利用導數(shù)的實際意義解題 并能解釋 1 在日常生活和科學領域中 有許多需要用導數(shù)概念來理解的量 以中學物理為例 速度是 的導數(shù) 線密度是 的導數(shù) 功率是 的導數(shù) 2 經(jīng)濟學中 通常把生產(chǎn)成本y關于產(chǎn)量x的函數(shù)y f x 的導函數(shù)稱為邊際成本 邊際成本f x0 指的是當產(chǎn)量為x0時 生產(chǎn)成本的增加速度 也就是當產(chǎn)量為x0時 每增加一個單位的產(chǎn)量 需要增加 個單位的成本 路程關于時間 質量關于長度 功關于時間 f x0 1 實際問題中導數(shù)的意義 在實際問題中 在x x0處的導數(shù) 往往反映在x x0時函數(shù)的瞬時變化率 在不同的環(huán)境中 f x0 所表示的含義不同 如在功與時間的關系中 W t0 表示在t t0時的功率 在降雨強度中 f t0 表示在t t0時的降雨強度 t0時刻的強度 在建筑業(yè)中 成本y與面積x之間的關系中 在x x0處的導數(shù)表示邊際成本 在路程關于時間的函數(shù)中 S t0 表示在t t0時的瞬時速度 從上面的分析中可以看出 導數(shù)在日常生活中的應用非常廣泛 這需要我們認真理解 領會導數(shù)在不同環(huán)境下的具體含義 2 實際問題中平均變化率的意義 在實際問題中的平均變化率 也具有一定的實際意義 x1到x2之間的平均變化率常用來反映在此段時間內y的平均水平 如在有關運動問題中的平均速度 平均加速度 在有關溫度變化問題中的平均溫度 在有關功與時間關系中的平均功率等 在解題時注意結合題意分析平均變化率的實際意義 3 要理解實際問題中導數(shù)的意義 首先要熟練掌握導數(shù)的定義 學習中要通過實際例子從不同的方面加深對導數(shù)定義的理解 另外 還要學會把 問題情境 譯為數(shù)學語言 體會數(shù)學是從實踐中來 又要應用到實踐中去 體會數(shù)學的應用價值 提高學習數(shù)學的興趣 堅定學好數(shù)學的信心 1 一次降雨過程中 降雨量y是時間t的函數(shù) 用y f t 表示 則f 10 表示 A t 10時的降雨強度B t 10時的降雨量C t 10時的時間D t 10時的溫度 答案 A 解析 f t 表示t時刻的降雨強度 故選A 答案 C 3 火箭豎直向上發(fā)射 熄火時向上速度達到100m s 則熄火后 秒后火箭速度為零 g取10m s2 答案 10 設質點做直線運動 已知路程s 單位 m 是時間t 單位 s 的函數(shù) s 3t2 2t 1 求 1 從t 2變到t 3時 s關于t的平均變化率 并解釋它的實際意義 2 當t 2時的瞬時速度 3 當t 2時的加速度 導數(shù)在物理中的意義 點評 在日常生活和科學領域中 有許多需要用導數(shù)概念來理解的量 例如中學物理中 速度是路程關于時間的導數(shù) 線密度是質量關于長度的導數(shù) 功率是功關于時間的導數(shù)等 一個電路中 流過的電荷量Q 單位 C 關于時間t 單位 s 的函數(shù)為Q t 3t2 lnt 1 求當t從1變到2時 電荷量Q關于t的平均變化率 并解釋它的實際意義 2 求Q 2 并解釋它的實際意義 分析 1 按平均變化率的公式計算平均變化率 2 電荷量對于時間的導數(shù)是電流 將原油精煉為汽油 柴油 塑膠等各種不同產(chǎn)品 需要對原油進行冷卻和加熱 如果在第xh時 原油的溫度 單位 為y f x x2 7x 15 0 x 8 計算第2h和第6h時 原油溫度的瞬時變化率 并說明它們的意義 分析 用導數(shù)的定義求解 并說明實際意義 導數(shù)在生活中的應用 同理可得f 6 5 所以在第2h與第6h時 原油溫度的瞬時變化率分別為 3和5 它說明在第2h附近 原油溫度大約以3 h的速度下降 在第6h附近 原油溫度大約以5 h的速度上升 f x0 反映了原油溫度在時刻x0附近的變化情況 點評 函數(shù)f x 在某點處導數(shù)的大小表示函數(shù)在此點附近變化的快慢 由上述計算可知 c 98 25c 90 它表示純凈度為98 左右時凈化費用的變化率大約是純凈度為90 左右時凈化費用變化率的25倍 這說明 水的純凈度越高 需要的凈化費用就越多 而且凈化費用增加的速度也越快