安徽省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二部分 熱點(diǎn)專題突破 專題3 題中無圓用圓解題課件

專題三題中無圓,用圓解題命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練解答一道數(shù)學(xué)題,往往有好多種方法,其中有簡(jiǎn)單明了的,也有轉(zhuǎn)彎抹角的.如果我們能將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通,就能在短時(shí)間里打開思路,找到較為簡(jiǎn)潔的方法,這一點(diǎn)在時(shí)間寶貴的考試中尤為重要.比如一道數(shù)學(xué)題,試題表面沒有涉及圓的知識(shí),但如果我們能想到用圓的知識(shí)解答,往往就會(huì)柳暗花明,事半功倍,這就是我們說的“用圓求解,另辟蹊徑”.有關(guān)這類試題,2016年和2018年安徽數(shù)學(xué)中考體現(xiàn)最為集中,如2016年的第10題、第14題、第23題,2018年的第14題、第23題等.命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練類型1類型2類型3利用直角三角形外接圓解題典例1( 2016安徽第10題 )如圖,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4,P是ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足PAB=PBC.則線段CP長(zhǎng)的最小值為 ( )命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練類型1類型2類型3【解析】由PAB=PBC,易得APB=90,即P點(diǎn)在ABP的外接圓上.ABP外接圓的圓心O為AB的中點(diǎn),如圖,連接OC,OC與ABP的外接圓在ABC內(nèi)部交于點(diǎn)P,這時(shí)線段CP長(zhǎng)最小.在RtOBC中,OB=3,BC=4,由勾股定理得OC=5,又OP=3,CP=2.【答案】 B命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練類型1類型2類型3【名師點(diǎn)撥】 本題給我們的啟發(fā)是:已知條件中有直角三角形,我們可以想到以這個(gè)直角三角形的斜邊為直徑畫出它的外接圓,這個(gè)外接圓就成了“輔助線”,然后就可以用圓的有關(guān)知識(shí)解題,這樣可以起到事半功倍之奇效.這個(gè)方法還可在解答其他幾何問題中推而廣之.命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練類型1類型2類型3命題拓展命題拓展考向考向作一般三角形的外接圓解題作一般三角形的外接圓解題1.如圖,在ABC中,AD平分BAC,交BC于點(diǎn)D,求證: .命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練類型1類型2類型3【名師點(diǎn)撥】 本題也可用相似三角形知識(shí)解答( 見本書相似三角形一節(jié) ),這里不再贅述.命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練類型1類型2類型3利用四邊形外接圓解題典例2( 2018安徽第23題節(jié)選 )如圖,RtABC中,ACB=90,點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn),DEAB于點(diǎn)E,點(diǎn)M為BD中點(diǎn),CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F.( 1 )求證:CM=EM;( 2 )若BAC=50,求EMF的大小.【解析】( 1 )利用四邊形BCDE外接圓證明CM=EM;( 2 )根據(jù)圓周角定理求得CME=80,從而求出EMF.【答案】 ( 1 )易得BED和BCD均為直角三角形,則這兩個(gè)三角形有公共的外接圓,即四邊形BCDE有一個(gè)外接圓,且直徑為BD,M為圓心,CM=EM.( 2 )BAC=50,ACB=90,ABC=40,由( 1 )得ABC為圓周角,CME為圓心角,且ABC與CME對(duì)同弧,CME=80,即EMF=100.命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練類型1類型2類型3【名師點(diǎn)撥】 本題在本書專題二用“數(shù)”解“形”的典例3中已經(jīng)用另一種方法解答.兩個(gè)方法比較后發(fā)現(xiàn):此題不用圓的知識(shí)也可以解答,但想到了圓的知識(shí),就可以另辟蹊徑.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)希望同學(xué)們能形成“題中無圓,可用圓求解”的意識(shí).命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練類型1類型2類型3命題拓展命題拓展考向一考向一利用圓的對(duì)稱性解題利用圓的對(duì)稱性解題2.如圖,在四邊形ABCD中,ABC=ADC=90,M,N分別為AC,BD的中點(diǎn),求證:MN垂直平分BD.【答案】ABC=ADC=90,易得RtABC和RtADC有同一個(gè)外接圓( 如圖 ), M為圓心,N為BD的中點(diǎn),由垂徑定理得MN垂直平分BD.命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練類型1類型2類型3考向二考向二利用有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形外接圓解題利用有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形外接圓解題3.如圖,在ABC中,AD,BE是兩條高,M,N分別是AB,DE的中點(diǎn).給出如下結(jié)論: ;MN垂直平分DE;ANB90.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.( 把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上 ) 命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練類型1類型2類型3【名師點(diǎn)撥】 考向二中的問題就是將考向一中的一個(gè)直角三角形沿斜邊折疊,折疊后這兩個(gè)直角三角形仍有同一個(gè)外接圓,我們?nèi)钥梢杂脠A的知識(shí)答題.命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練類型1類型2類型3利用圓的定義解題典例3( 2016安徽第23題節(jié)選 )如圖1,點(diǎn)A,B分別在射線OM,ON上,且MON為鈍角,現(xiàn)以線段OA,OB為斜邊向MON的外側(cè)作等腰直角三角形,分別是OAP,OBQ,C,D,E分別是OA,OB,AB的中點(diǎn).( 1 )求證:PCE EDQ;( 2 )如圖2,延長(zhǎng)PC,QD交于點(diǎn)R,若MON=150,求證:ABR為等邊三角形.命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練類型1類型2類型3【解析】( 1 )利用三角形中位線性質(zhì)和等腰直角三角形的定義和性質(zhì)可證結(jié)論;( 2 )根據(jù)圓周角定理得出ARB=60,即可證明ABR為等邊三角形.【答案】 ( 1 )由三角形中位線定理易得CEOD,CE=OD,DEOC,DE=OC,即四邊形OCED為平行四邊形,OCE=ODE,PCE=QDE,PC=OC,QD=OD,PC=DE,CE=DQ,PCE EDQ.( 2 )由題可知RC垂直平分OA,RD垂直平分OB,即RA=RO=RB.易得A,O,B三點(diǎn)都在以R為圓心,RA為半徑的圓上,MON=150為圓周角,ARB為圓心角,易得ARB=60,ABR為等邊三角形.命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練123456789101.如圖,在ABC中,A=30,BC=4,點(diǎn)O到A,B,C三點(diǎn)的距離都為R,則R的長(zhǎng)為 ( )【解析】易得O為ABC外接圓的圓心,延長(zhǎng)CO交ABC外接圓于點(diǎn)D,連接DB,則DBC為直角三角形,D=A=30,R=4.A命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練123456789102.如圖,ABC中,AB=BC=CA=8,P是BC上一點(diǎn),BP=5,沿著過P點(diǎn)的一條折痕PD折疊點(diǎn)B至B,連接AB,則線段AB的最小值為 ( )【解析】如圖,以P點(diǎn)為圓心,PB長(zhǎng)為半徑作圓,與PA交于點(diǎn)B,此時(shí)AB的長(zhǎng)度最小.過點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E,在ABE中,BE=4,AE= ,PE=1,在RtAPE中,AP=7, PB=PB=5,AB的最小值為2.B命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練12345678910D命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練12345678910命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練123456789104.如圖,在矩形紙片ABCD的CD邊上找一點(diǎn)E,將BCE沿BE折疊,點(diǎn)C恰好落在邊AD上的點(diǎn)F處,設(shè)FED=,則EBF=( 用表示 ).【解析】容易發(fā)現(xiàn)四邊形BCEF有一個(gè)外接圓,FED=2EBF,EBF= .命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練123456789105.如圖,P為等邊ABC外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)( P點(diǎn)與A點(diǎn)分別在BC所在直線的不同側(cè) ),且APB=60,AB=1,則PB+PC的最大值為 .【解析】APB=60,動(dòng)點(diǎn)P一定在ABC的外接圓O的劣弧BC上.如圖,取PD=PC,連接CD,ABC為等邊三角形,APC=ABC=60,即CDP也為等邊三角形,易得ACD BCP,AD=BP,即AP=BP+CP,當(dāng)AP為O的直徑時(shí),BP+CP的值最大,PB+PC的最大值為 .命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練123456789106.如圖,在等邊ABC中,AB=3,M是AB邊上一點(diǎn),MA=2,N是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)( N不與A重合 ),將AMN沿MN折疊得到AMN,A恰巧落在等邊ABC的邊上,則AN的長(zhǎng)為.命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練12345678910命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練123456789107.( 2018浙江舟山 )如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,點(diǎn)E在CD上,DE=1,點(diǎn)F為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),以EF為斜邊作RtEFP.若點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上,且這樣的直角三角形恰好有兩個(gè),則AF的值是.【解析】在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中分別以EF為直徑作圓.當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí),以EF為斜邊的RtEFP恰好有兩個(gè),符合題意.在點(diǎn)F從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)0AF1時(shí),共有4個(gè)點(diǎn)P使EFP是以EF為斜邊RtEFP.當(dāng)AF=1時(shí),有1個(gè)點(diǎn)P使EFP是以EF為斜邊的RtEFP.命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練12345678910命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練123456789108.如圖,在ABC中,D是BC邊的中點(diǎn),E,F兩點(diǎn)在AB邊上, FDE=FED,BDE與DFE相似,求證:BECE.解:BDE與DFE相似,B=FDE,FDE=FED,B=FED,BD=DE=CD,點(diǎn)B,C,E在以BC為直徑的圓上,BECE.命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練123456789109.如圖,在ABC中,ACB=90,BAC=60,AC=2,P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),如果點(diǎn)P滿足BPC=90,設(shè)Q是AB的中點(diǎn),設(shè)PQ=x,試求x的取值范圍.命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練1234567891010.( 2018貴州遵義 )如圖,正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AB,BC上( AEBE ),且EOF=90,OE,DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,OF,AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,連接MN.( 1 )求證:OM=ON;( 2 )若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為OM的中點(diǎn),求MN的長(zhǎng).命題者說典例精析針對(duì)訓(xùn)練12345678910解:( 1 )易證AOM BON,OM=ON.( 2 )如圖,MON=90,MAN=90.點(diǎn)M,A,O,N四點(diǎn)共圓.由( 1 )知OM=ON,OMN=OAB=45.過點(diǎn)O作OHAD于點(diǎn)H,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,OH=2,HA=2.