高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月復(fù)習(xí)沖刺 專題4 第21練 關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型課件 理.ppt

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專題4三角函數(shù)與平面向量 第21練關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型 題型分析 高考展望 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是平面向量的一種重要運(yùn)算 應(yīng)用十分廣泛 對(duì)向量本身 通過(guò)數(shù)量積運(yùn)算可以解決位置關(guān)系的判定 夾角 模等問(wèn)題 另外還可以解決平面幾何 立體幾何中許多有關(guān)問(wèn)題 因此是高考必考內(nèi)容 題型有選擇題 填空題 也在解答題中出現(xiàn) 常與其他知識(shí)結(jié)合 進(jìn)行綜合考查 常考題型精析 高考題型精練 題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算 題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角 題型三利用數(shù)量積求向量的模 ?？碱}型精析 題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算 例1 1 2014 天津 已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2 BAD 120 點(diǎn)E F分別在邊BC DC上 BC 3BE DC DF 若 1 則 的值為 解析如圖 答案2 2 已知圓O的半徑為1 PA PB為該圓的兩條切線 A B為切點(diǎn) 那么的最小值為 方法二設(shè) APB 0 方法三以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立平面直角坐標(biāo)系xOy 則圓O的方程為x2 y2 1 設(shè)A x1 y1 B x1 y1 P x0 0 所以x1x0 1 答案D 點(diǎn)評(píng) 1 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式 一是依據(jù)長(zhǎng)度和夾角 二是利用坐標(biāo)運(yùn)算 具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來(lái)選擇 注意兩向量a b的數(shù)量積a b與代數(shù)中a b的乘積寫(xiě)法不同 不應(yīng)該漏掉其中的 2 向量的數(shù)量積運(yùn)算需要注意的問(wèn)題 a b 0時(shí)得不到a 0或b 0 根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有 a 2 a2 但 a b a b 9 題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角 例2 1 2015 重慶 若非零向量a b滿足 a b 且 a b 3a 2b 則a與b的夾角為 解析由 a b 3a 2b 得 a b 3a 2b 0 即3a2 a b 2b2 0 設(shè) a b 即3 a 2 a b cos 2 b 2 0 答案A 2 已知向量a b滿足 a 2 b 0 且關(guān)于x的函數(shù)f x 2x3 3 a x2 6a bx 5在R上單調(diào)遞減 則向量a b夾角的取值范圍是 解析設(shè)向量a b的夾角為 因?yàn)閒 x 2x3 3 a x2 6a bx 5 所以f x 6x2 6 a x 6a b 又函數(shù)f x 在R上單調(diào)遞減 所以f x 0在R上恒成立 所以 36 a 2 4 6 6a b 0 因?yàn)閍 b a b cos 且 a 2 b 0 因?yàn)?0 答案D 點(diǎn)評(píng)求向量的夾角時(shí)要注意 1 向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律 2 數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角 數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角 數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角 變式訓(xùn)練2若兩個(gè)非零向量a b滿足 a b a b 2 a 則向量b與a b的夾角為 解析方法一由已知 得 a b a b 將等式兩邊分別平方 整理可得a b 0 由已知 得 a b 2 a 將等式兩邊分別平方 可得a2 b2 2a b 4a2 而b a b a b b2 b2 故選A 以O(shè)A OB為鄰邊作平行四邊形OACB 由 a b a b 2 a 所以平行四邊形OACB是矩形 答案A 題型三利用數(shù)量積求向量的模 A 2 已知直角梯形ABCD中 AD BC ADC 90 AD 2 BC 1 P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn) 則的最小值為 解析方法一以D為原點(diǎn) 分別以DA DC所在直線為x y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 設(shè)DC a DP x D 0 0 A 2 0 C 0 a B 1 a P 0 x 答案5 點(diǎn)評(píng) 1 把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中 給有關(guān)向量賦以具體的坐標(biāo)求向量的模 如向量a x y 求向量a的模只需利用公式 a 即可求解 2 向量不放在坐標(biāo)系中研究 求解此類問(wèn)題的方法是利用向量的運(yùn)算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式 關(guān)鍵是會(huì)把向量a的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化 a 變式訓(xùn)練3 2015 浙江 已知e1 e2是空間單位向量 e1 e2 若空間向量b滿足b e1 2 b e2 且對(duì)于任意x y R b xe1 ye2 b x0e1 y0e2 1 x0 y0 R 則x0 y0 b 解析方法一對(duì)于任意x y R b xe1 ye2 b x0e1 y0e2 1 x0 y0 R 說(shuō)明當(dāng)x x0 y y0時(shí) b xe1 ye2 取得最小值1 b xe1 ye2 2 b 2 xe1 ye2 2 2b xe1 ye2 b 2 x2 y2 xy 4x 5y 要使 b 2 x2 y2 xy 4x 5y取得最小值 需要把x2 y2 xy 4x 5y看成關(guān)于x的二次函數(shù) 即f x x2 y 4 x y2 5y 所以x0 1 y0 2 高考題型精練 1 2015 山東 已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a ABC 60 則等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析如圖所示 由題意 得BC a CD a BCD 120 BD2 BC2 CD2 2BC CD cos120 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2014 浙江 記max x y 設(shè)a b為平面向量 則 A min a b a b min a b B min a b a b min a b C max a b 2 a b 2 a 2 b 2D max a b 2 a b 2 a 2 b 2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由于 a b a b 與 a b 的大小關(guān)系與夾角大小有關(guān) 故A B錯(cuò) 當(dāng)a b夾角為銳角時(shí) a b a b 此時(shí) a b 2 a 2 b 2 當(dāng)a b夾角為鈍角時(shí) a b a 2 b 2 當(dāng)a b時(shí) a b 2 a b 2 a 2 b 2 故選D 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2015 湖南 已知點(diǎn)A B C在圓x2 y2 1上運(yùn)動(dòng) 且AB BC 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為 2 0 則的最大值為 A 6B 7C 8D 9 解析 A B C在圓x2 y2 1上 且AB BC AC為圓直徑 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 設(shè)B x y 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 如圖 在等腰直角 ABO中 OA OB 1 C為AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn) 過(guò)C作AB的垂線l P為垂線上任一點(diǎn) 設(shè)則p b a 等于 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析以O(shè)A OB所在直線分別作為x軸 y軸 O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 而b a 1 1 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以點(diǎn)A在以B1B2為直徑的圓上 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 2B 3C 4D 6 解析在 ABC中 因?yàn)?ACB 90 且AC BC 4 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 2014 安徽 設(shè)a b為非零向量 b 2 a 兩組向量x1 x2 x3 x4和y1 y2 y3 y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成 若x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4所有可能取值中的最小值為4 a 2 則a與b的夾角為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析設(shè)a與b的夾角為 由于xi yi i 1 2 3 4 均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成 則S有以下三種情況 S 2a2 2b2 S 4a b S a 2 2a b b 2 b 2 a 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 中S 10 a 2 中S 8 a 2cos 中S 5 a 2 4 a 2cos 易知 最小 即8 a 2cos 4 a 2 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案22 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 設(shè)非零向量a b的夾角為 記f a b acos bsin 若e1 e2均為單位向量 且e1 e2 則向量f e1 e2 與f e2 e1 的夾角為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析如圖 設(shè)點(diǎn)O在AB AC上的射影是點(diǎn)D E 它們分別為AB AC的中點(diǎn) 連接OD OE 由數(shù)量積的幾何意義 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即2x 6y 3 將兩式相加可得6x 9y 5 答案5 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解f x 2 a b b 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 在 ABC中 AC 10 過(guò)頂點(diǎn)C作AB的垂線 垂足為D AD 5 且滿足 1 求 在Rt ADC中 CD2 AC2 AD2 75 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在Rt BDC中 BC2 DB2 CD2 196 所以BC 14 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 知k x y 80t2 356t 80 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由二次函數(shù)的圖象 可知該函數(shù)在 1 上單調(diào)遞增 所以當(dāng)t 1時(shí) k取得最小值516