高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 9.2 兩條直線的位置關系課件 文.ppt

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第九章平面解析幾何 9 2兩條直線的位置關系 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 思想與方法系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 兩條直線的位置關系 1 兩條直線平行與垂直 兩條直線平行 對于兩條不重合的直線l1 l2 若其斜率分別為k1 k2 則有l(wèi)1 l2 k1 k2均存在 當直線l1 l2不重合且斜率都不存在時 l1 l2 k1 k2 知識梳理 1 答案 兩條直線垂直 如果兩條直線l1 l2的斜率存在 設為k1 k2 則有l(wèi)1 l2 k1 k2均存在 當其中一條直線的斜率不存在 而另一條的斜率為0時 l1 l2 2 兩條直線的交點直線l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 則l1與l2的交點坐標就是方程組的解 k1 k2 1 答案 2 幾種距離 1 兩點P1 x1 y1 P2 x2 y2 之間的距離 P1P2 2 點P0 x0 y0 到直線l Ax By C 0的距離d 3 兩條平行線Ax By C1 0與Ax By C2 0 其中C1 C2 間的距離d 答案 1 一般地 與直線Ax By C 0平行的直線方程可設為Ax By m 0 與之垂直的直線方程可設為Bx Ay n 0 2 過直線l1 A1x B1y C1 0與l2 A2x B2y C2 0的交點的直線系方程為A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 R 但不包括l2 3 點到直線與兩平行線間的距離的使用條件 1 求點到直線的距離時 應先化直線方程為一般式 2 求兩平行線之間的距離時 應先將方程化為一般式且x y的系數(shù)對應相等 知識拓展 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 當直線l1和l2斜率都存在時 一定有k1 k2 l1 l2 2 如果兩條直線l1與l2垂直 則它們的斜率之積一定等于 1 3 已知直線l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 A1 B1 C1 A2 B2 C2為常數(shù) 若直線l1 l2 則A1A2 B1B2 0 答案 思考辨析 4 點P x0 y0 到直線y kx b的距離為 5 直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離 6 若點A B關于直線l y kx b k 0 對稱 則直線AB的斜率等于 且線段AB的中點在直線l上 答案 1 設a R 則 a 1 是 直線l1 ax 2y 1 0與直線l2 x a 1 y 4 0平行 的 條件 解析 1 充分性 當a 1時 直線l1 x 2y 1 0與直線l2 x 2y 4 0平行 2 必要性 當直線l1 ax 2y 1 0與直線l2 x a 1 y 4 0平行時有a 2或1 所以 a 1 是 直線l1 ax 2y 1 0與直線l2 x a 1 y 4 0平行 的充分不必要條件 充分不必要 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 教材改編 已知點 a 2 a 0 到直線l x y 3 0的距離為1 則a 解析答案 1 2 3 4 5 3 已知直線l1 3 m x 4y 5 3m l2 2x 5 m y 8平行 則實數(shù)m的值為 得m 1或 7 解析答案 1 2 3 4 5 7 4 2014 福建改編 已知直線l過圓x2 y 3 2 4的圓心 且與直線x y 1 0垂直 則l的方程是 解析圓x2 y 3 2 4的圓心為點 0 3 又因為直線l與直線x y 1 0垂直 所以直線l的斜率k 1 由點斜式得直線l y 3 x 0 化簡得x y 3 0 x y 3 0 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改編 若直線 3a 2 x 1 4a y 8 0與 5a 2 x a 4 y 7 0垂直 則a 解析由兩直線垂直的充要條件 得 3a 2 5a 2 1 4a a 4 0 解得a 0或a 1 0或1 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 例1 1 已知兩條直線l1 a 1 x 2y 1 0 l2 x ay 3 0平行 則a 解析若a 0 兩直線方程為 x 2y 1 0和x 3 此時兩直線相交 不平行 所以a 0 解得a 1或a 2 1或2 題型一兩條直線的平行與垂直 解析答案 2 已知兩直線方程分別為l1 x y 1 l2 ax 2y 0 若l1 l2 則a 解析方法一 l1 l2 k1k2 1 解得a 2 方法二 l1 l2 a 2 0 a 2 2 解析答案 思維升華 思維升華 1 當直線方程中存在字母參數(shù)時 不僅要考慮到斜率存在的一般情況 也要考慮到斜率不存在的特殊情況 同時還要注意x y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件 2 在判斷兩直線平行 垂直時 也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關系得出結論 已知兩直線l1 x ysin 1 0和l2 2x sin y 1 0 求 的值 使得 1 l1 l2 跟蹤訓練1 解析答案 解方法一當sin 0時 直線l1的斜率不存在 l2的斜率為0 顯然l1不平行于l2 解析答案 方法二由A1B2 A2B1 0 得2sin2 1 0 又B1C2 B2C1 0 所以1 sin 0 即sin 1 2 l1 l2 解因為A1A2 B1B2 0是l1 l2的充要條件 所以2sin sin 0 即sin 0 所以 k k Z 故當 k k Z時 l1 l2 解析答案 題型二兩條直線的交點與距離問題 解析答案 又 交點位于第一象限 解析答案 方法二如圖 已知直線 解析答案 而直線方程y kx 2k 1可變形為y 1 k x 2 表示這是一條過定點P 2 1 斜率為k的動直線 兩直線的交點在第一象限 兩直線的交點必在線段AB上 不包括端點 動直線的斜率k需滿足kPA k kPB 2 直線l過點P 1 2 且到點A 2 3 和點B 4 5 的距離相等 則直線l的方程為 解析答案 解析方法一當直線l的斜率存在時 設直線l的方程為y 2 k x 1 即kx y k 2 0 即 3k 1 3k 3 解析答案 思維升華 即x 3y 5 0 當l過AB中點時 AB的中點為 1 4 直線l的方程為x 1 故所求直線l的方程為x 3y 5 0或x 1 答案x 3y 5 0或x 1 即x 3y 5 0 當直線l的斜率不存在時 直線l的方程為x 1 也符合題意 思維升華 思維升華 1 求過兩直線交點的直線方程的方法 求過兩直線交點的直線方程 先解方程組求出兩直線的交點坐標 再結合其他條件寫出直線方程 2 利用距離公式應注意 點P x0 y0 到直線x a的距離d x0 a 到直線y b的距離d y0 b 兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x y的系數(shù)化為相等 1 如圖 設一直線過點 1 1 它被兩平行直線l1 x 2y 1 0 l2 x 2y 3 0所截的線段的中點在直線l3 x y 1 0上 求其方程 解與l1 l2平行且距離相等的直線方程為x 2y 2 0 設所求直線方程為 x 2y 2 x y 1 0 即 1 x 2 y 2 0 又直線過 1 1 1 1 2 1 2 0 跟蹤訓練2 解析答案 2 正方形的中心為點C 1 0 一條邊所在的直線方程是x 3y 5 0 求其他三邊所在直線的方程 解析答案 設與x 3y 5 0平行的一邊所在直線的方程是x 3y m 0 m 5 解得m 5 舍去 或m 7 所以與x 3y 5 0平行的邊所在直線的方程是x 3y 7 0 解析答案 設與x 3y 5 0垂直的邊所在直線的方程是3x y n 0 解得n 3或n 9 所以與x 3y 5 0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x y 3 0和3x y 9 0 命題點1點關于點中心對稱 例3過點P 0 1 作直線l 使它被直線l1 2x y 8 0和l2 x 3y 10 0截得的線段被點P平分 則直線l的方程為 解析設l1與l的交點為A a 8 2a 則由題意知 點A關于點P的對稱點B a 2a 6 在l2上 代入l2的方程得 a 3 2a 6 10 0 解得a 4 即點A 4 0 在直線l上 所以直線l的方程為x 4y 4 0 x 4y 4 0 題型三對稱問題 解析答案 命題點2點關于直線對稱 例4已知直線l 2x 3y 1 0 點A 1 2 則點A關于直線l的對稱點A 的坐標為 解析答案 命題點3直線關于直線的對稱問題 例5已知直線l 2x 3y 1 0 求直線m 3x 2y 6 0關于直線l的對稱直線m 的方程 解析答案 思維升華 解在直線m上任取一點 如M 2 0 則M 2 0 關于直線l的對稱點M 必在直線m 上 解析答案 思維升華 設直線m與直線l的交點為N 又 m 經過點N 4 3 由兩點式得直線m 的方程為9x 46y 102 0 思維升華 解決對稱問題的方法 1 中心對稱 直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱問題來解決 思維升華 2 軸對稱 直線關于直線的對稱可轉化為點關于直線的對稱問題來解決 在等腰直角三角形ABC中 AB AC 4 點P是邊AB上異于A B的一點 光線從點P出發(fā) 經BC CA發(fā)射后又回到原點P 如圖 若光線QR經過 ABC的重心 則AP 跟蹤訓練3 解析答案 返回 解析建立如圖所示的坐標系 可得B 4 0 C 0 4 故直線BC的方程為x y 4 設P a 0 其中0 a 4 解析答案 解析答案 代入化簡可得3a2 4a 0 返回 思想與方法系列 一 平行直線系由于兩直線平行 它們的斜率相等或它們的斜率都不存在 因此兩直線平行時 它們的一次項系數(shù)與常數(shù)項有必然的聯(lián)系 典例求與直線3x 4y 1 0平行且過點 1 2 的直線l的方程 思維點撥因為所求直線與3x 4y 1 0平行 因此 可設該直線方程為3x 4y c 0 c 1 18 妙用直線系求直線方程 思想與方法系列 解析答案 思維點撥 溫馨提醒 規(guī)范解答解依題意 設所求直線方程為3x 4y c 0 c 1 又因為直線過點 1 2 所以3 1 4 2 c 0 解得c 11 因此 所求直線方程為3x 4y 11 0 溫馨提醒 溫馨提醒 與直線Ax By C 0平行的直線系方程為Ax By C1 0 C1 C 再由其他條件求C1 二 垂直直線系由于直線A1x B1y C1 0與A2x B2y C2 0垂直的充要條件為A1A2 B1B2 0 因此 當兩直線垂直時 它們的一次項系數(shù)有必要的關系 可以考慮用直線系方程求解 典例求經過A 2 1 且與直線2x y 10 0垂直的直線l的方程 思維點撥依據(jù)兩直線垂直的特征設出方程 再由待定系數(shù)法求解 解析答案 思維點撥 溫馨提醒 規(guī)范解答解因為所求直線與直線2x y 10 0垂直 所以設該直線方程為x 2y C1 0 又直線過點 2 1 所以有2 2 1 C1 0 解得C1 0 即所求直線方程為x 2y 0 溫馨提醒 溫馨提醒 與直線Ax By C 0垂直的直線系方程為Bx Ay C1 0 再由其他條件求出C1 三 過直線交點的直線系典例求經過兩直線l1 x 2y 4 0和l2 x y 2 0的交點P 且與直線l3 3x 4y 5 0垂直的直線l的方程 思維點撥可分別求出直線l1與l2的交點及直線l的斜率k 直接寫出方程 也可以利用過交點的直線系方程設直線方程 再用待定系數(shù)法求解 解析答案 思維點撥 溫馨提醒 返回 規(guī)范解答 即4x 3y 6 0 方法二設直線l的方程為x 2y 4 x y 2 0 即 1 x 2 y 4 2 0 又 l l3 3 1 4 2 0 解得 11 直線l的方程為4x 3y 6 0 溫馨提醒 返回 溫馨提醒 本題方法一采用常規(guī)方法 先通過方程組求出兩直線交點 再根據(jù)垂直關系求出斜率 由于交點在y軸上 故采用斜截式求解 方法二則采用了過兩直線A1x B1y C1 0與A2x B2y C2 0的交點的直線系方程 A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 直接設出過兩直線交點的方程 再根據(jù)垂直條件用待定系數(shù)法求解 思想方法感悟提高 1 兩直線的位置關系要考慮平行 垂直和重合 對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1 l2 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 若有一條直線的斜率不存在 那么另一條直線的斜率一定要特別注意 2 對稱問題一般是將線與線的對稱轉化為點與點的對稱 利用坐標轉移法 方法與技巧 1 在判斷兩條直線的位置關系時 首先應分析直線的斜率是否存在 若兩條直線都有斜率 可根據(jù)判定定理判斷 若直線無斜率 要單獨考慮 2 在運用兩平行直線間的距離公式d 時 一定要注意將兩方程中x y的系數(shù)化為相同的形式 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 設a b c分別是 ABC中角A B C所對邊的邊長 則直線sinA x ay c 0與bx sinB y sinC 0的位置關系是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即直線sinA x ay c 0與bx sinB y sinC 0垂直 方法二由正弦定理有a 2RsinA b 2RsinB 其中R為 ABC外接圓的半徑 所以bsinA asinB 2RsinBsinA 2RsinAsinB 0 所以直線sinA x ay c 0與bx sinB y sinC 0垂直 答案垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二 解析答案 4 若直線l1 y k x 4 與直線l2關于點 2 1 對稱 則直線l2經過定點 解析直線l1 y k x 4 經過定點 4 0 其關于點 2 1 對稱的點為 0 2 又直線l1 y k x 4 與直線l2關于點 2 1 對稱 故直線l2經過定點 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 從點 2 3 射出的光線沿與向量a 8 4 平行的直線射到y(tǒng)軸上 則反射光線所在的直線方程為 其與y軸的交點坐標為 0 2 又點 2 3 關于y軸的對稱點為 2 3 所以反射光線過點 2 3 與 0 2 由兩點式得直線方程為x 2y 4 0 x 2y 4 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 6 教材改編 與直線l1 3x 2y 6 0和直線l2 6x 4y 3 0等距離的直線方程是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以l1與l2平行 設與l1 l2等距離的直線l的方程為3x 2y c 0 所以l的方程為12x 8y 15 0 答案12x 8y 15 0 7 已知兩直線l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 若l1 l2 且坐標原點到這兩條直線的距離相等 則a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 解析答案 9 已知 ABC的頂點A 5 1 AB邊上的中線CM所在直線方程為2x y 5 0 AC邊上的高BH所在直線方程為x 2y 5 0 求直線BC的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解依題意知 kAC 2 A 5 1 lAC為2x y 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 代入2x y 5 0 得2x0 y0 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即6x 5y 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 已知直線l經過直線l1 2x y 5 0與l2 x 2y 0的交點 1 若點A 5 0 到l的距離為3 求l的方程 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解易知l不可能為l2 可設經過兩已知直線交點的直線系方程為 2x y 5 x 2y 0 即 2 x 1 2 y 5 0 點A 5 0 到l的距離為3 l的方程為x 2或4x 3y 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求點A 5 0 到l的距離的最大值 解得交點P 2 1 如圖 過P作任一直線l 設d為點A到l的距離 則d PA 當l PA時等號成立 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 若點 m n 在直線4x 3y 10 0上 則m2 n2的最小值是 解析因為點 m n 在直線4x 3y 10 0上 所以4m 3n 10 0 解析答案 表示4m 3n 10 0上的點 m n 到原點的距離 如圖 當過原點的直線與直線4m 3n 10 0垂直時 原點到點 m n 的距離最小為2 所以m2 n2的最小值為4 4 12 如圖 已知直線l1 l2 點A是l1 l2之間的定點 點A到l1 l2之間的距離分別為3和2 點B是l2上的一動點 作AC AB 且AC與l1交于點C 則 ABC的面積的最小值為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析以A為坐標原點 平行于l1的直線為x軸 建立如圖所示的直角坐標系 設B a 2 C b 3 且a 0 b 0 AC AB 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即 ABC面積的最小值為6 答案6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 在平面直角坐標系內 到點A 1 2 B 1 5 C 3 6 D 7 1 的距離之和最小的點的坐標是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析如圖 設平面直角坐標系中任一點P P到點A 1 2 B 1 5 C 3 6 D 7 1 的距離之和為PA PB PC PD PB PD PA PC BD AC QA QB QC QD 故四邊形ABCD對角線的交點Q即為所求距離之和最小的點 A 1 2 B 1 5 C 3 6 D 7 1 解析答案 直線AC的方程為y 2 2 x 1 直線BD的方程為y 5 x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求l關于點 2 3 對稱的直線方程 解在l上任取一點 如M 0 1 則M關于點 2 3 對稱的點為N 4 7 當對稱點不在直線上時 關于點對稱的兩直線必平行 所求直線過點N且與l平行 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又a 0 解得a 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解假設存在點P 設點P x0 y0 若P點滿足條件 則P點在與l1 l2平行的直線l 2x y c 0上 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即 2x0 y0 3 x0 y0 1 所以x0 2y0 4 0或3x0 2 0 由于點P在第一象限 所以3x0 2 0不可能 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回