數(shù)學(xué)第二章 函數(shù) 2.8 函數(shù)與方程 文 新人教B版

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1、2 2. .8 8函數(shù)與方程函數(shù)與方程 -2-知識梳理雙基自測231自測點評41.函數(shù)的零點(1)定義:如果函數(shù)y=f(x)在實數(shù)處的值等于,即,則叫做這個函數(shù)的零點.(2)變號零點:如果函數(shù)圖象通過零點時,則稱這樣的零點為變號零點.(3)幾個等價關(guān)系方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與有交點函數(shù)y=f(x)有.零 f()=0 穿過x軸 x軸 零點 -3-知識梳理雙基自測自測點評23142.零點存在性定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象不間斷,并且在它的兩個端點處的函數(shù)值,即,則這個函數(shù)在這個區(qū)間上至少有一個零點,即存在一點x0(a,b),使f(x0)=0.異號 f(a)f

2、(b)0)的圖象與零點的關(guān)系 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 2 10-5-知識梳理雙基自測自測點評2314.二分法對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.f(a)f(b)0 一分為二 零點 42-6-知識梳理雙基自測3415自測點評1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“”.(1)函數(shù)f(x)=x2-1的零點是(-1,0)和(1,0). ()(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0時沒有零點. ()(3)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象是連

3、續(xù)的),則f(a)f(b)0. ()(4)若函數(shù)f(x)在(a,b)上連續(xù)單調(diào)且f(a)f(b)0,f(2)=1-2=-10,f(1)f(2)0,即(m-6)(m+2)0,解得m6或m0,故f(x)在R上是增函數(shù),又f(-1)=e-1-30,且函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的,所以f(x)的零點個數(shù)是1,故方程ex+3x=0有一個實數(shù)解. 答案解析關(guān)閉B-11-知識梳理雙基自測自測點評1.函數(shù)f(x)的零點是一個實數(shù),是方程f(x)=0的根,也是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).2.“連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間端點處的函數(shù)值異號”是“這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點”的充分條件,而不是必要條件.3.函數(shù)

4、y=f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào),且f(a)f(b)0,若函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的,則f(x)在a,b上只有一個零點;若函數(shù)f(x)的圖象不連續(xù),則f(x)在a,b上可能沒有零點.-12-考點1考點2考點3 答案 答案關(guān)閉 (1)B(2)D例1(1)(2017遼寧撫順重點校一模)函數(shù)f(x)=-|x|- +3的零點所在的區(qū)間為()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)設(shè)定義域為(0,+)內(nèi)的單調(diào)函數(shù)f(x),對任意的x(0,+),都有ff(x)-ln x=e+1,若x0是方程f(x)-f(x)=e的一個解,則x0可能存在的區(qū)間是()A.(0,1)B.(e-1,1)C.(

5、0,e-1)D.(1,e)思考判斷函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是否存在零點的常用方法有哪些?-13-考點1考點2考點3-14-考點1考點2考點3解題心得判斷函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是否存在零點,常用以下方法:(1)解方程:當(dāng)對應(yīng)方程易解時,可通過解方程,觀察方程是否有根落在給定區(qū)間上.(2)利用函數(shù)零點的存在性定理進行判斷:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是否連續(xù),然后看是否有f(a)f(b)0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.(3)通過畫函數(shù)的圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.-15-考點1考點2考點3零點所在的區(qū)間是()A.(0,1)B.(

6、1,2)C.(2,4)D.(4,+)(2)已知函數(shù) 的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)(3)函數(shù)f(x)=x2-3x-18在區(qū)間1,8上零點.(填“存在”或“不存在”) 答案 答案關(guān)閉(1)C(2)C(3)存在-16-考點1考點2考點3解析: (1)因為f(x)在(0,+)上的圖象是連續(xù)的,且f(1)=6-零點所在區(qū)間為(2,4).(2)由條件可知f(1)f(2)0,即(2-2-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0,解得0a3.(3)(方法一)f(1)=12-31-18=-200,f(1)f(8)0,又f(x)=x2

7、-3x-18在區(qū)間1,8上的圖象是連續(xù)的,f(x)=x2-3x-18在區(qū)間1,8上存在零點.-17-考點1考點2考點3(方法二)令f(x)=0,得x2-3x-18=0,(x-6)(x+3)=0.x=6或x=-3.x=61,8,x=-31,8,f(x)=x2-3x-18在區(qū)間1,8上存在零點.-18-考點1考點2考點3例2(1)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數(shù)為 ()A.1B.2C.3D.4(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對于任意的x0,+),滿足f(x+2)=f(x),若當(dāng)x0,2)時,f(x)=|x2-x-1|,則函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間-2,4上的零點個數(shù)為.

8、思考判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法有哪些? 答案 答案關(guān)閉 (1)B(2)7 -19-考點1考點2考點3-20-考點1考點2考點3(2)由題意作出y=f(x)在區(qū)間-2,4上的圖象,可知與直線y=1的交點共有7個,故函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間-2,4上的零點個數(shù)為7.-21-考點1考點2考點3解題心得判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法:(1)解方程法:若對應(yīng)方程f(x)=0可解時,通過解方程,則有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理法:利用定理不僅要判斷函數(shù)在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)f(b)0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點.(3)數(shù)

9、形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題.先畫出兩個函數(shù)的圖象,再看其交點的個數(shù),其中交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù).-22-考點1考點2考點3對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)=sin(cos x)在區(qū)間0,2上的零點個數(shù)是()A.3B.4C.5D.6(2)(2017河北張家口4月模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x(0,+)時,f(x)=2 017x+log2 017x,則f(x)在R上的零點的個數(shù)為. 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-23-考點1考點2考點3例3(2017河北武邑中學(xué)一模)已知函數(shù)若函數(shù)g(x)=f(x)-2x恰有三個不同的零點,求實數(shù)m的取值范圍.思考

10、已知函數(shù)有零點(方程有根),求參數(shù)的取值范圍常用的方法有哪些?-24-考點1考點2考點3由4-2x=0,得x=2;由x2+2x-3=0,得x=-3,x=1.又函數(shù)g(x)恰有三個不同的零點,方程g(x)=0的實根2,-3和1都在相應(yīng)范圍上,即1m2.故實數(shù)m的取值范圍是(1,2.-25-考點1考點2考點3-26-考點1考點2考點3解題心得已知函數(shù)有零點(方程有根),求參數(shù)的取值范圍常用的方法:(1)直接法:先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍.(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值的域問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對函數(shù)的解析式變形,在同一平面直角

11、坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,再數(shù)形結(jié)合求解.-27-考點1考點2考點3對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練3(2017湖北武昌1月調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f(x0)=0,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-,-3)(1,+) B.(-,-3)C.(-3,1)D.(1,+) 答案解析解析關(guān)閉函數(shù)f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f(x0)=0,可得(-3a+3)(a+3)0,解得a(-,-3)(1,+). 答案解析關(guān)閉A-28-考點1考點2考點31.函數(shù)零點的常用判定方法:(1)零點存在性定理;(2)數(shù)形結(jié)合;(3)解方程f(x)=0.2.研究方程f(x)=g(x)的解,實質(zhì)就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零點.3.轉(zhuǎn)化思想:方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題;已知方程有解求參數(shù)的取值范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.-29-考點1考點2考點3函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件,而不是必要條件;判斷零點的個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象.