高考數學一輪總復習 第五章 平面向量、解三角形 5.3 解三角形課件(理) 新人教B版.ppt

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5 3解三角形 高考理數 1 正弦定理 余弦定理 1 正弦定理在 ABC中 2R R為 ABC的外接圓半徑 2 余弦定理a2 b2 c2 2bccosA b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC 推論 cosA cosB cosC 2 解三角形的類型 1 已知兩角一邊 用正弦定理 有解時 只有一解 知識清單 2 已知兩邊及其一邊的對角 用正弦定理 有解的情況可分為以下幾種 在 ABC中 已知a b和角A 上表中 若A為銳角 當a bsinA時 無解 若A為鈍角 當a b a b時均無解 3 已知三邊 用余弦定理 有解時 只有一解 4 已知兩邊及夾角 用余弦定理 必有一解 3 三角形的面積設 ABC的三邊為a b c 所對的三個角分別為A B C 其面積為S 1 S ah h為BC邊上的高 2 S absinC acsinB bcsinA 3 S 2R2sinAsinBsinC R為 ABC的外接圓半徑 4 S R為 ABC的外接圓半徑 5 S 4 實際問題中的常用角 1 仰角和俯角與目標視線在同一鉛垂平面內的水平線和目標視線的夾角 目標視線在水平線上方的角叫仰角 目標視線在水平線下方的角叫俯角 如圖a 2 方位角從正北方向順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角 如點B的方位角為 如圖b 知識拓展 判斷三角形形狀的基本思想 利用正 余弦定理進行邊角的統一 即將條件化為只含角的關系式 然后利用三角恒等變換得出內角之間的關系式 或將條件化為只含有邊的關系式 然后利用常見的化簡變形得出三邊的關系 結論一般為特殊的三角形 如等邊三角形 等腰三角形 直角三角形 等腰直角三角形等 另外 在變形過程中要注意A B C的范圍對三角函數值的影響 應熟練掌握正 余弦定理及其推論 解三角形時 可用正弦定理 也可用余弦定理 應注意用哪一個定理更方便 簡捷 例1 2015東北三省四市教研聯合體第一次模擬 17 在 ABC中 內角A B C的對邊分別為a b c 且bsinA acosB 1 求角B的大小 2 若b 3 sinC 2sinA 求a c的值 解析 1 由bsinA acosB及正弦定理 得sinB cosB 所以tanB 所以B 2 由sinC 2sinA及 得c 2a 由b 3及b2 a2 c2 2accosB 突破方法 方法1正 余弦定理的應用 得9 a2 c2 ac 聯立 可得a c 2 1 1 2015貴州六盤水第一次聯考 17 ABC的三個內角A B C所對的邊分別為a b c asinAsinB bcos2A a 1 求 2 若c2 b2 a2 求B 解析 1 由正弦定理得 sin2AsinB sinBcos2A sinA 即sinB sin2A cos2A sinA 故sinB sinA 所以 2 由余弦定理和c2 b2 a2 得cosB 由 1 知b2 2a2 故c2 2 a2 可得cos2B 又易知cosB 0 故cosB 所以B 45 1 靈活運用正 余弦定理實現邊角轉化 2 合理運用三角函數公式 如同角三角函數的基本關系 二倍角公式等 3 三角形的面積公式形式多樣 選擇合適的形式入手是順利解題的關鍵 例2 2016皖南八校聯考 8 5分 在 ABC中 3 S ABC 則B的取值范圍是 A B C D 解題思路由已知及三角形面積公式得S ABC tanB由S ABC的范圍得tanB B 解析由題意知ac cosB 3 方法2有關三角形面積問題的求解方法 所以ac S ABC ac sinB sinB tanB 因為S ABC 所以tanB 所以B 答案C2 1 2016北京豐臺期末 已知在 ABC中 AB BC 1 sinC cosC 則 ABC的面積為 答案解析由sinC cosC得tanC 又C 0 所以C 根據正弦定理可得 2 所以sinA 因為AB BC 所以A C 所以A 所以B 所以 ABC為直角三角形 所以S ABC 1 例3 2016安徽合肥三檢 14 5分 如圖 一棟建筑物AB的高為 30 10 m 在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD 在它們之間的地面點M B M D三點共線 處測得樓頂A 塔頂C的仰角分別是15 和60 在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30 則通信塔CD的高為m 解析如圖 在Rt ABM中 AM 20 m 又易知 MAN AMB 15 所以 MAC 30 15 45 又 AMC 180 15 60 105 從而 方法3實際應用問題中的解三角形 ACM 30 在 AMC中 由正弦定理得 解得MC 40 m 在Rt CMD中 CD 40 sin60 60 m 故通信塔CD的高為60m 答案603 1 2016東北三校聯考 二 一艘船向正北方向航行 看見它的正西方向有兩個相距10海里的燈塔恰好與它在一條直線上 船繼續(xù)航行半小時后 看見這兩個燈塔中 一個燈塔在船的南偏西60 方向上 另一個燈塔在船的南偏西75 方向上 則這艘船的速度是每小時 A 5海里B 5海里C 10海里D 10海里 如圖 依題意有 BAC 60 BAD 75 ABD 90 CD 10海里 所以 CAD CDA 15 從而CA CD 10海里 在Rt ABC中 AB AC cos60 5 海里 所以這艘船的速度是 10 海里 小時 答案D解析