高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十七章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程課件(理) 新人教B版.ppt

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第十七章坐標(biāo)系與參數(shù)方程 高考理數(shù) 1 坐標(biāo)系與極坐標(biāo) 1 極坐標(biāo)系的概念 在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O 叫做極點(diǎn) 自極點(diǎn)O引一條射線Ox 叫做極軸 再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位 一個(gè)角度單位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆時(shí)針?lè)较?這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系 設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn) 極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離 OM 叫做點(diǎn)M的極徑 記為 以極軸Ox為始邊 射線OM為終邊的 xOM叫做點(diǎn)M的極角 記為 有序數(shù)對(duì) 叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo) 記為M 一般地 不作特殊說(shuō)明時(shí) 我們認(rèn)為 0 可取任意實(shí)數(shù) 2 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn) x軸的正半軸作為極軸 并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位 設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn) 它的直角坐標(biāo) 極坐標(biāo)分別為 x y 和 則 知識(shí)清單 3 直線的極坐標(biāo)方程 若直線過(guò)點(diǎn)M 0 0 且與極軸所成的角為 則它的方程為 sin 0sin 0 幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程 i 直線過(guò)極點(diǎn) 0和 0 ii 直線過(guò)點(diǎn)M a 0 且垂直于極軸 cos a iii 直線過(guò)點(diǎn)M且平行于極軸 sin b 4 圓的極坐標(biāo)方程 圓心為M 0 0 半徑為r的圓的方程為 2 2 0cos 0 r2 0 幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程 i 圓心位于極點(diǎn) 半徑為r r ii 圓心位于M a 0 半徑為a 2acos iii 圓心位于M 半徑為a 2asin 2 參數(shù)方程 1 參數(shù)方程的意義 一般地 在平面直角坐標(biāo)系中 如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值 由上述方程組所確定的點(diǎn) x y 都在這條曲線上 則該方程叫做這條曲線的參數(shù)方程 聯(lián)系變數(shù)x y的變數(shù)t叫做參變數(shù) 簡(jiǎn)稱參數(shù) 注意 相對(duì)于參數(shù)方程而言 直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程 2 常見曲線的參數(shù)方程的一般形式 i 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0 x0 y0 傾斜角為 的直線的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 設(shè)P是直線上的任一點(diǎn) 則t表示有向線段的數(shù)量 ii 圓的參數(shù)方程為 為參數(shù) iii 圓錐曲線的參數(shù)方程橢圓 1 a b 0 的參數(shù)方程為 為參數(shù) 雙曲線 1 a 0 b 0 的參數(shù)方程為 為參數(shù) 拋物線y2 2px的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 注 曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都可用一個(gè)參數(shù)表示 變?cè)挥幸粋€(gè) 特別對(duì)于圓 圓錐曲線有很大用處 參數(shù)方程化為普通方程 主要用 消元法 消參 常用代入法 加減消元法 三角恒等式消元等 在參數(shù)方程化為普通方程時(shí) 要注意保持同解變形 無(wú)論極坐標(biāo)方程 參數(shù)方程還是普通方程 在進(jìn)行互化時(shí) 一定要注意變量的范圍 要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性 求曲線的極坐標(biāo)方程的一般步驟 例1 2015課標(biāo) 23 10分 選修4 4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中 直線C1 x 2 圓C2 x 1 2 y 2 2 1 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 突破方法 方法1極坐標(biāo)方程及應(yīng)用 1 求C1 C2的極坐標(biāo)方程 2 若直線C3的極坐標(biāo)方程為 R 設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M N 求 C2MN的面積 解析 1 因?yàn)閤 cos y sin 所以C1的極坐標(biāo)方程為 cos 2 C2的極坐標(biāo)方程為 2 2 cos 4 sin 4 0 5分 2 將 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 得 2 3 4 0 解得 1 2 2 故 1 2 即 MN 由于C2的半徑為1 所以 C2MN的面積為 10分 規(guī)律總結(jié)直角坐標(biāo) x y 化為極坐標(biāo) 的步驟 1 運(yùn)用 tan x 0 2 在 0 2 內(nèi)由tan x 0 求 時(shí) 先由直角坐標(biāo)的符號(hào)特征判斷點(diǎn)所在的象限和極角 的范圍 再求 的值 直角坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程 1 1 2015貴州遵義一模 23 10分 已知在一個(gè)極坐標(biāo)系中 點(diǎn)C的極坐標(biāo)為 1 求出以C為圓心 2為半徑長(zhǎng)的圓的極坐標(biāo)方程 寫出解題過(guò)程 并畫出圖形 2 在極坐標(biāo)系中 以圓C所在極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為原點(diǎn) 極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系 點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn) Q 5 M是線段PQ的中點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí) 求點(diǎn)M的軌跡的普通方程 解析 1 如圖 設(shè)圓C上任意一點(diǎn)A 則 AOC 或 由余弦定理得4 2 4 cos 4 圓C的極坐標(biāo)方程為 4cos 2 在直角坐標(biāo)系中 點(diǎn)C的坐標(biāo)為 1 可設(shè)圓C上任意一點(diǎn)P 1 2cos 2sin 設(shè)M x y 由Q 5 M是線段PQ的中點(diǎn) 得M的參數(shù)方程為 為參數(shù) 點(diǎn)M的軌跡的普通方程為 x 3 2 y2 1 參數(shù)方程化為普通方程的注意事項(xiàng) 在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時(shí) 不僅要把參數(shù)消去 還要注意x y的取值范圍 即在消去參數(shù)的過(guò)程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性 例2 2014課標(biāo) 23 10分 選修4 4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 半圓C的極坐標(biāo)方程為 2cos 1 求C的參數(shù)方程 2 設(shè)點(diǎn)D在C上 C在D處的切線與直線l y x 2垂直 根據(jù) 1 中你得到的參數(shù)方程 確定D的坐標(biāo) 解析 1 C的普通方程為 x 1 2 y2 1 0 y 1 可得C的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 0 t 2 設(shè)D 1 cost sint 由 1 知C是以G 1 0 為圓心 1為半徑的上半圓 方法2參數(shù)方程及應(yīng)用 因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直 所以直線GD與l的斜率相同 tant t 故D的直角坐標(biāo)為 即 規(guī)律總結(jié)由參數(shù)方程得到普通方程的思路是消參 消去參數(shù)的方法要視情況而定 一般有三種情況 1 利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達(dá)式 然后代入消去參數(shù) 或直接利用加減消元法消參 2 利用三角恒等式消去參數(shù) 一般是將參數(shù)方程中的兩個(gè)方程分別變形 使得一個(gè)方程一邊只含有sin 另一個(gè)方程一邊只含有cos 兩個(gè)方程分別平方后兩式左右相加消去參數(shù) 3 根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征 選用一些靈活的方法從整體上消去參數(shù) 2 1 2016云南昆明質(zhì)檢三 23 10分 已知曲線C1的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 曲線C2的極坐標(biāo)方程為 2sin 1 把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程 2 求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo) 0 0 2 解析 1 將消去參數(shù)t 化為普通方程 x 4 2 y 5 2 25 即C1 x2 y2 8x 10y 16 0 將代入x2 y2 8x 10y 16 0得 2 8 cos 10 sin 16 0 所以C1的極坐標(biāo)方程為 2 8 cos 10 sin 16 0 2 C2的普通方程為x2 y2 2y 0 由解得或所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為 涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題 求解方法一般是分別化普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解 要求掌握直線 圓及圓錐曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程 例3 2015課標(biāo) 23 10分 選修4 4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C1 t為參數(shù) t 0 其中0 在以O(shè)為極點(diǎn) x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中 曲線C2 2sin C3 2cos 1 求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo) 2 若C1與C2相交于點(diǎn)A C1與C3相交于點(diǎn)B 求 AB 的最大值 解析 1 曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2 y2 2y 0 曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2 y2 2x 0 聯(lián)立解得或所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 0 0 和 方法3參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用 2 曲線C1的極坐標(biāo)方程為 R 0 其中0 因此A的極坐標(biāo)為 2sin B的極坐標(biāo)為 2cos 所以 AB 2sin 2cos 4 當(dāng) 時(shí) AB 取得最大值 最大值為4 3 1 2015甘肅一模 23 10分 在直角坐標(biāo)系xOy中 圓C的參數(shù)方程為 為參數(shù) 以O(shè)為極點(diǎn) x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 1 求圓C的極坐標(biāo)方程 2 直線l的極坐標(biāo)方程是2 sin 3 射線OM 與圓C的交點(diǎn)為O P 與直線l的交點(diǎn)為Q 求線段PQ的長(zhǎng) 解析 1 利用cos2 sin2 1 可把圓C的參數(shù)方程 為參數(shù) 化為 x 1 2 y2 1 2 2 cos 0 即 2cos 2 設(shè) 1 1 為點(diǎn)P的極坐標(biāo) 由解得設(shè) 2 2 為點(diǎn)Q的極坐標(biāo) 由解得 1 2 PQ 1 2 2 PQ 2