高考數(shù)學一輪總復習 第十八章 不等式選講課件(理) 新人教B版.ppt

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第十八章不等式選講 高考理數(shù) 1 不等式的性質(zhì)和絕對值不等式 1 解絕對值不等式的基本思想解絕對值不等式的基本思想是去絕對值符號 常采用的方法是討論符號或平方 例如 i 若a 0 則 x g x f x g x 或f x 0 當且僅當a b時取等號 知識清單 3 平均數(shù)定理 a b c 0 當且僅當a b c時取等號 a1 a2 an ai 0 i 1 2 n 當且僅當a1 a2 an時取等號 4 絕對值三角不等式 定理1 a b a b a b R 當且僅當ab 0時等號成立 定理2 如果a b c R 那么 a c a b b c 當且僅當 a b b c 0時 等號成立 a b a b 注意 含絕對值的三角不等式 a b a b a b a b 中 對于等號成立的條件應(yīng)注意 a b a b 中 ab 0 而 a b a b 中 ab 0等 3 柯西不等式 1 一般形式 設(shè)a1 a2 an b1 b2 bn為實數(shù) 則 a1b1 a2b2 anbn 2 當且僅當bi 0 或存在一個實數(shù)k 使得ai kbi i 1 2 n 時 等號成立 2 二維形式的柯西不等式 代數(shù)形式 設(shè)a b c d均為實數(shù) 則 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 上式等號成立 ad bc 向量形式 設(shè) 為平面上的兩個向量 則 當且僅當 是零向量或存在實數(shù)k 使 k 時 等號成立 三角形式 設(shè)x1 x2 y1 y2 R 則 其幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊 注意 不等式成立的條件要準確把握 如a2 b2 2ab a b R a b 2 a b 0 柯西不等式中ai bi i 1 2 n 均為實數(shù)等 4 不等式的證明 1 綜合法 從命題的已知條件出發(fā) 利用公理 定義及定理 逐步推導 從而最后導出要證明的命題 2 分析法 從需要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實 定義 公理或已證明的定理 性質(zhì)等 從而得出要證的命題成立 3 反證法 首先假設(shè)要證明的命題是不正確的 然后利用公理 定義 定理 性質(zhì)等 逐步分析 得到和命題的條件 或已證明過的定理 性質(zhì) 明顯成立的事實等 矛盾的結(jié)論 以此說明假設(shè)的結(jié)論不成立 從而證明原來的結(jié)論正確 4 放縮法 將所需證明的不等式的值適當放大 或縮小 使它由繁到簡 達到證明目的 如果所要證明的不等式中含有分式 把分母放大 則相應(yīng)分式的值縮小 把分母縮小 則分式的值放大 5 若a1 a2 b1 b2 R 則 a1 a2 b1 b2 a1b1 a2b2 2 等號成立 a1b2 a2b1 6 設(shè) 為平面上的兩個向量 則 當且僅當 是零向量 或存在實數(shù)k 使 k 時 等號成立 7 設(shè)a1 a2 b1 b2為實數(shù) 則 等號成立 存在非負實數(shù) 使得 a1 b1 a2 b2 8 設(shè)平面上三點坐標為A a1 a2 B b1 b2 C c1 c2 則 其幾何意義 AB BC AC 9 一般地 當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時 可以用以下兩個步驟 i 證明當n取初始值n0時命題成立 ii 假設(shè)當n k時命題成立 證明n k 1時命題也成立 在完成了這兩個步驟后 就可以斷定命題對于從初始值n0開始的所有自然數(shù)都成立 這種證明方法稱為數(shù)學歸納法 形如 x a x b c 或0 型的不等式主要有三種解法 1 零點分段討論法 含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式 可用零點分段討論法脫去絕對值符號 將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含絕對值符號的不等式 組 一般步驟是 1 令每個絕對值符號里的代數(shù)式為零 并求出相應(yīng)的根 2 將這些根按從小到大排序 它們把實數(shù)集分為若干個區(qū)間 3 在所分的各區(qū)間上 根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號 求所得的各不等式在相應(yīng)區(qū)間上的解集 4 這些解集的并集就是原不等式的解集 2 利用絕對值的幾何意義由于 x a x b 與 x a x b 分別表示數(shù)軸上與x對應(yīng)的點到與a b對應(yīng)的點的距離之和與距離之差 因此對形如 x a x b 0 或 x a x b c c 0 的不等式 利用絕對值的幾何意義求解更直觀 3 數(shù)形結(jié)合法 在直角坐標系中作出不等式兩邊所對應(yīng)的兩個函數(shù)的圖象 利用函數(shù)圖象求解 突破方法 方法1絕對值不等式的解法 例1 2013遼寧 24 10分 選修4 5 不等式選講已知函數(shù)f x x a 其中a 1 1 當a 2時 求不等式f x 4 x 4 的解集 2 已知關(guān)于x的不等式 f 2x a 2f x 2的解集為 x 1 x 2 求a的值 解析 1 當a 2時 f x x 4 當x 2時 由f x 4 x 4 得 2x 6 4 解得x 1 當2 x 4時 f x 4 x 4 無解 當x 4時 由f x 4 x 4 得2x 6 4 解得x 5 所以f x 4 x 4 的解集為 x x 1或x 5 4分 2 記h x f 2x a 2f x 則h x 由 h x 2 解得 x 又已知 h x 2的解集為 x 1 x 2 所以于是a 3 10分 1 1 2015貴州一模 24 10分 已知函數(shù)f x 2x a x 1 1 當a 3時 求不等式f x 2的解集 2 若f x 5 x對任意x R恒成立 求實數(shù)a的取值范圍 解析 1 a 3時 f x 2即為 2x 3 x 1 2 當x 時 不等式即為2x 3 x 1 2 解得x 2 當1 x 時 不等式即為3 2x x 1 2 2 x 2 x 0 舍去 當x 1時 不等式即為3 2x 1 x 2 3x 2 即x 綜上 當a 3時 f x 2的解集為 5分 2 f x 5 x對任意x R恒成立 即為 2x a 5 x x 1 對任意x R恒成立 令g x 5 x x 1 數(shù)形結(jié)合可得 3 a 6 故a的取值范圍是 6 10分 基本不等式的應(yīng)用主要集中在解決最值問題 不等式恒成立 存在性問題及參數(shù)的求解問題 解含參數(shù)的不等式存在性問題時 只要求出存在滿足條件的x即可 不等式的解集為R是指不等式的恒成立問題 而不等式的解集為 的對立面也是不等式的恒成立問題 如f x m的解集是空集 則f x m恒成立 此兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題 即f x f x max f x a恒成立 a0 b 0 且 1 求a3 b3的最小值 2 是否存在a b 使得2a 3b 6 并說明理由 解析 1 由 得ab 2 且當a b 時等號成立 故a3 b3 2 4 且當a b 時等號成立 所以a3 b3的最小值為4 方法2基本不等式的應(yīng)用 2 由 1 知 2a 3b 2 4 由于4 6 從而不存在a b 使得2a 3b 6 2 1 2016云南富寧二模 24 10分 已知函數(shù)f x 2x 1 2x a g x x 3 1 當a 2時 求不等式f x 1 且當x 時 f x g x 求a的取值范圍 解析 1 當a 2時 不等式f x g x 化為 2x 1 2x 2 x 3 0 設(shè)函數(shù)y 2x 1 2x 2 x 3 則y 其圖象如圖所示 從圖象可知 當且僅當x 0 2 時 y 0 所以原不等式的解集是 x 0 x 2 2 當x 時 f x 1 a 不等式f x g x 化為1 a x 3 所以x a 2對x 恒成立 故 a 2 即a 從而a的取值范圍為 不等式證明的常用方法有 1 比較法 2 綜合法 3 分析法 4 反證法 5 放縮法 6 數(shù)學歸納法 7 換元法 8 導數(shù)與積分法 9 構(gòu)造法 例3 2015課標 24 10分 選修4 5 不等式選講設(shè)a b c d均為正數(shù) 且a b c d 證明 1 若ab cd 則 2 是 a b cd得 2 2 因此 2 i 若 a b cd 由 1 得 方法3不等式的證明 ii 若 則 2 2 即a b 2 c d 2 因為a b c d 所以ab cd 于是 a b 2 a b 2 4ab 是 a b c d 的充要條件 3 1 2013課標全國 24 10分 選修4 5 不等式選講設(shè)a b c均為正數(shù) 且a b c 1 證明 1 ab bc ca 2 1 證明 1 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca得a2 b2 c2 ab bc ca 由題設(shè)得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以3 ab bc ca 1 即ab bc ca 2 因為 b 2a c 2b a 2c 故 a b c 2 a b c 即 a b c 所以 1 很多重要不等式的證明和求最值都可以由柯西不等式導出 常利用常數(shù)的巧拆 結(jié)構(gòu)的巧變 巧設(shè)數(shù)組等方式利用柯西不等式 例4 2014福建 21 3 7分 已知定義在R上的函數(shù)f x x 1 x 2 的最小值為a 1 求a的值 2 若p q r是正實數(shù) 且滿足p q r a 求證 p2 q2 r2 3 解析 1 x 1 x 2 x 1 x 2 3 當且僅當 1 x 2時 等號成立 f x 的最小值等于3 即a 3 2 證明 由 1 知p q r 3 又因為p q r是正實數(shù) p2 q2 r2 12 12 12 p 1 q 1 r 1 2 p q r 2 9 即p2 q2 r2 3 方法4柯西不等式的應(yīng)用 4 1 2016四川成都質(zhì)檢 設(shè)a b m n R 且a2 b2 5 ma nb 5 則的最小值為 答案解析由柯西不等式得 a2 b2 m2 n2 ma nb 2 即5 m2 n2 25 m2 n2 5 所以的最小值為