2018高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.1.1 合情推理課件 蘇教版選修1 -2.ppt

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第2章 推理與證明 2 1合情推理與演繹推理2 1 1合情推理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 了解合情推理的含義 能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理 2 了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用 1 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)挑戰(zhàn)自我 點點落實 2 課堂講義重點難點 個個擊破 3 當(dāng)堂檢測當(dāng)堂訓(xùn)練 體驗成功 知識鏈接 1 歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎 答歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍 其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的 而是或然性的 結(jié)論不一定正確 類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征 推測正在被研究中的事物的特征 所以類比推理的結(jié)果具有猜測性 不一定可靠 2 由合情推理得到的結(jié)論可靠嗎 答一般來說 由合情推理所獲得的結(jié)論 僅僅是一種猜想 未必可靠 例如 費馬猜想就被數(shù)學(xué)家歐拉推翻了 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1 歸納推理 1 定義 從個別事實中推演出一般性的結(jié)論的推理稱為歸納推理 歸納推理的思維過程大致是 實驗 觀察 概括 推廣 猜測一般性結(jié)論 2 歸納推理的特點 歸納推理是從到的推理 由歸納推理得到的結(jié)論正確 歸納推理是一種具有的推理 特殊 一般 不一定 創(chuàng)造性 2 類比推理 1 類比推理的定義 根據(jù)對象之間在某些方面的或 推演出它們在其他方面也或 像這樣的推理通常稱為類比推理 簡稱類比法 兩個 或兩類 相同 相似 相同 相似 2 類比推理的思維過程 3 合情推理合情推理是根據(jù) 以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程 和是數(shù)學(xué)活動中常用的合情推理 已有的事實 正確的結(jié)論 實驗和實 踐的結(jié)果 歸納推理 類比推理 要點一歸納推理的應(yīng)用例1觀察如圖所示的 三角數(shù)陣 1 第1行22 第2行343 第3行4774 第4行51114115 第5行 記第n n 1 行的第2個數(shù)為an n 2 n N 請仔細(xì)觀察上述 三角數(shù)陣 的特征 完成下列各題 1 第6行的6個數(shù)依次為 解由數(shù)陣可看出 除首末兩數(shù)外 每行中的數(shù)都等于它上一行的肩膀上的兩數(shù)之和 且每一行的首末兩數(shù)都等于行數(shù) 61625 25166 2 依次寫出a2 a3 a4 a5 解a2 2 a3 4 a4 7 a5 11 3 歸納出an 1與an的關(guān)系式 解 a3 a2 2 a4 a3 3 a5 a4 4由此歸納 an 1 an n 規(guī)律方法對于數(shù)陣問題的解決方法 既要清楚每行 每列數(shù)的特征 又要對上 下行 左 右列間的關(guān)系進(jìn)行研究 找到規(guī)律 問題即可迎刃而解 跟蹤演練1根據(jù)下列條件 寫出數(shù)列中的前4項 并歸納猜想它的通項公式 1 a1 3 an 1 2an 1 解由已知可得a1 3 22 1 a2 2a1 1 2 3 1 7 23 1 a3 2a2 1 2 7 1 15 24 1 a4 2a3 1 2 15 1 31 25 1 猜想an 2n 1 1 n N 2 a1 a an 1 a1 1 3 對一切n N an 0 且 要點二類比推理的應(yīng)用例2如圖所示 在 ABC中 射影定理可表示為a b cosC c cosB 其中a b c分別為角A B C的對邊 類比上述定理 寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想 解如右圖所示 在四面體P ABC中 設(shè)S1 S2 S3 S分別表示 PAB PBC PCA ABC的面積 依次表示面PAB 面PBC 面PCA與底面ABC所成二面角的大小 我們猜想射影定理類比推理到三維空間 其表現(xiàn)形式應(yīng)為S S1 cos S2 cos S3 cos 規(guī)律方法 1 類比推理的基本原則是根據(jù)當(dāng)前問題的需要 選擇適當(dāng)?shù)念惐葘ο?可以從幾何元素的數(shù)目 位置關(guān)系 度量等方面入手 由平面中的相關(guān)結(jié)論可以類比得到空間中的相關(guān)結(jié)論 2 平面圖形與空間圖形的類比 要點三平面圖形與空間圖形的類比例3三角形與四面體有下列相似性質(zhì) 1 三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡單的封閉圖形 四面體是空間中由三角形圍成的最簡單的封閉圖形 2 三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點與這條線段的兩個端點的連線所圍成的圖形 四面體可以看作是由三角形所在平面外一點與這個三角形三個頂點的連線所圍成的圖形 通過類比推理 根據(jù)三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)填寫下表 解 規(guī)律方法將平面幾何中的三角形 長方形 圓 面積等和立體幾何中的三棱錐 長方體 球 體積等進(jìn)行類比 是解決和處理立體幾何問題的重要方法 跟蹤演練3類比平面內(nèi)正三角形的 三邊相等 三內(nèi)角相等 的性質(zhì) 可推出正四面體的下列哪些性質(zhì) 你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?各棱長相等 同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等 各個面都是全等的正三角形 相鄰兩個面所成的二面角都相等 各個面都是全等的正三角形 同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等 解析由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征 推出另一類對象也具有這些特征的推理 叫類比推理 上述三個結(jié)論均符合推理結(jié)論 故均正確 答案 1 下列推理中 是歸納推理的有 A B為定點 動點P滿足PA PB 2a AB 得P的軌跡為橢圓 由a1 1 an 3n 1 求出S1 S2 S3 猜出數(shù)列的前n項和Sn的表達(dá)式 1 2 3 4 科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 解析從S1 S2 S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn是從特珠到一般的推理 答案 1 2 3 4 1 2 3 4 2 下圖為一串白黑相間排列的珠子 按這種規(guī)律往下排起來 那么第36顆珠子的顏色是 1 2 3 4 解析由圖知 三白二黑周而復(fù)始相繼排列 36 5 7余1 第36顆珠子的顏色為白色 答案白色 3 將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣 123456789101112131415 1 2 3 4 按照以上排列的規(guī)律 第n行 n 3 從左向右的第3個數(shù)為 1 2 3 4 1 2 3 4 4 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù) 如三角形數(shù)1 3 6 10 第n個三角形數(shù)為 記第n個k邊形數(shù)為N n k k 3 以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式 1 2 3 4 三角形數(shù)N n 3 n2 n 正方形數(shù)N n 4 n2 五邊形數(shù)N n 5 n2 n 六邊形數(shù)N n 6 2n2 n 可以推測N n k 的表達(dá)式 由此計算N 10 24 1 2 3 4 解析由N n 4 n2 N n 6 2n2 n 可以推測 當(dāng)k為偶數(shù)時 1 2 3 4 1100 100 1000 答案1000 課堂小結(jié)1 合情推理是指 合乎情理 的推理 數(shù)學(xué)研究中 得到一個新結(jié)論之前 合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論 證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前 合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向 合情推理的過程概括為 一般來說 由合情推理所獲得的結(jié)論 僅僅是一種猜想 其可靠性還需進(jìn)一步證明 2 歸納推理與類比推理都屬合情推理 1 歸納推理 由某類事物的部分對象具有某些特征 推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理 或由個別事實概括出一般結(jié)論的推理 稱為歸納推理 它是一種由部分到整體 由個別到一般的推理 2 類比推理 由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征 推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理 它是一種由特殊到特殊的推理