2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.3 冪函數(shù)課件 新人教A版必修1.ppt

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2 3冪函數(shù) 一 二 一 冪函數(shù)的定義1 函數(shù)y 2x與y x2有什么不同 提示 在函數(shù)y 2x中 常數(shù)2為底數(shù) 自變量x為指數(shù) 故為指數(shù)函數(shù) 而在函數(shù)y x2中 自變量x為底數(shù) 常數(shù)2為指數(shù) 故為冪函數(shù) 提示 底數(shù)是自變量 自變量的系數(shù)為1 指數(shù)為常數(shù) 冪x 的系數(shù)為1 解析式等號右邊只有1項(xiàng) 3 填空 一般地 函數(shù)y x 叫做冪函數(shù) 其中x是自變量 是常數(shù) 一 二 4 做一做 在函數(shù)y y 3x2 y x2 2x y 1中 冪函數(shù)的個數(shù)為 解析 函數(shù)y x 4為冪函數(shù) 函數(shù)y 3x2中x2的系數(shù)不是1 所以它不是冪函數(shù) 函數(shù)y x2 2x不是y x R 的形式 所以它不是冪函數(shù) 函數(shù)y 1與y x0 1 x 0 不是同一函數(shù) 所以y 1不是冪函數(shù) 答案 1 一 二 二 冪函數(shù)的圖象及性質(zhì) 一 二 1 它們的圖象都過同一定點(diǎn)嗎 提示 是的 都過定點(diǎn) 1 1 2 上述5個函數(shù)中 在 0 內(nèi)是增函數(shù)的有哪幾個 是減函數(shù)的呢 提示 在 0 內(nèi)是增函數(shù)的有 y x y x2 y x3 y 在 0 內(nèi)是減函數(shù)的有 y x 1 3 上述5個函數(shù)中 圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 是奇函數(shù)的有哪幾個 圖象關(guān)于y軸對稱 是偶函數(shù)的呢 提示 圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 是奇函數(shù)的有 y x y x3 y x 1 圖象關(guān)于y軸對稱 是偶函數(shù)的有 y x2 一 二 2 填表 冪函數(shù)的性質(zhì) 一 二 3 判斷正誤 1 冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中的任意一個象限 2 冪函數(shù)的圖象必過 0 0 和 1 1 答案 1 2 一 二 4 做一做 A 奇函數(shù)且在 0 上單調(diào)遞增B 偶函數(shù)且在 0 上單調(diào)遞減C 非奇非偶函數(shù)且在 0 上單調(diào)遞增D 非奇非偶函數(shù)且在 0 上單調(diào)遞減 一 二 答案 1 C 2 C 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一冪函數(shù)的概念例1函數(shù)f x m2 m 5 xm 1是冪函數(shù) 且當(dāng)x 0 時 f x 是增函數(shù) 試確定m的值 分析 由f x m2 m 5 xm 1是冪函數(shù) 且當(dāng)x 0時是增函數(shù) 可先利用冪函數(shù)的定義求出m的值 再利用單調(diào)性確定m的值 解 根據(jù)冪函數(shù)的定義 得m2 m 5 1 解得m 3或m 2 當(dāng)m 3時 f x x2在 0 上是增函數(shù) 當(dāng)m 2時 f x x 3在 0 上是減函數(shù) 不符合要求 故m 3 反思感悟判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y x 為常數(shù) 的形式 即 1 系數(shù)為1 2 指數(shù)為常數(shù) 3 后面不加任何項(xiàng) 反之 若一個函數(shù)為冪函數(shù) 則該函數(shù)必具有這種形式 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 變式訓(xùn)練1如果冪函數(shù)y m2 3m 3 的圖象不過原點(diǎn) 求實(shí)數(shù)m的取值 解 由冪函數(shù)的定義得m2 3m 3 1 解得m 1或m 2 當(dāng)m 1時 m2 m 2 2 函數(shù)為y x 2 其圖象不過原點(diǎn) 滿足條件 當(dāng)m 2時 m2 m 2 0 函數(shù)為y x0 其圖象不過原點(diǎn) 滿足條件 綜上所述 m 1或m 2 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究二冪函數(shù)的圖象例2已知函數(shù)y xa y xb y xc的圖象如圖所示 則a b c的大小關(guān)系為 A c1 0 b 1 故c b a 答案 A 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟1 本題也可采用特殊值法 如取x 2 結(jié)合圖象可知2a 2b 2c 又函數(shù)y 2x在R上是增函數(shù) 于是a b c 2 對于函數(shù)y x 為常數(shù) 而言 其圖象有以下特點(diǎn) 1 恒過點(diǎn) 1 1 且不過第四象限 2 當(dāng)x 0 1 時 指數(shù)越大 冪函數(shù)圖象越靠近x軸 簡記為 指大圖低 當(dāng)x 1 時 指數(shù)越大 冪函數(shù)的圖象越遠(yuǎn)離x軸 簡記為 指大圖高 3 由冪函數(shù)的圖象確定冪指數(shù) 與0 1的大小關(guān)系 即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象 類似于y x 1或y y x3 來判斷 4 當(dāng) 0時 冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 0 上都是增函數(shù) 當(dāng) 0時 冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 0 上都是減函數(shù) 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 變式訓(xùn)練2如圖所示 曲線C1與C2分別是函數(shù)y xm和y xn在第一象限內(nèi)的圖象 則下列結(jié)論正確的是 A nm 0D m n 0解析 畫出直線y x0的圖象 作出直線x 2 與三個函數(shù)圖象交于點(diǎn) 2 20 2 2m 2 2n 由三個點(diǎn)的位置關(guān)系可知 n m 0 故選A 答案 A 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究三利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3比較下列各組中兩個數(shù)的大小 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟1 比較冪大小的三種常用方法 2 利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小時要注意的問題比較大小的兩個實(shí)數(shù)必須在同一函數(shù)的同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi) 否則無法比較大小 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 A bb a c b a c 答案 A 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 探究四冪函數(shù)圖象的應(yīng)用例4已知點(diǎn)在冪函數(shù)g x 的圖象上 問當(dāng)x為何值時 有 1 f x g x 2 f x g x 3 f x g x 分析 先利用冪函數(shù)的定義求出f x g x 的解析式 再利用圖象判斷 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 在同一直角坐標(biāo)系中作出f x x2和g x x 2的圖象 如圖所示 1 當(dāng)x 1或xg x 2 當(dāng)x 1或x 1時 f x g x 3 當(dāng) 1 x 1且x 0時 f x g x 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 變式訓(xùn)練4已知 0 71 3 m1時 y 1 1 30 7 1 于是有0 71 30時 隨著x的增大 函數(shù)值y也增大 所以m 0 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 數(shù)形結(jié)合與分類討論思想在冪函數(shù)中的應(yīng)用典例已知函數(shù) m Z 為偶函數(shù) 且f 3 0且a 1 在 2 3 上為增函數(shù) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 分析 1 根據(jù)單調(diào)性明確 2m2 m 3的符號 從而得出m的取值范圍 由m Z可得m的具體值 再根據(jù)奇偶性進(jìn)行取舍 2 分01進(jìn)行討論 研究內(nèi) 外層函數(shù)的單調(diào)性 注意當(dāng)x 2 3 時 真數(shù)應(yīng)恒為正 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 歸納總結(jié)冪函數(shù)綜合應(yīng)用中應(yīng)注意1 充分利用冪函數(shù)的性質(zhì) 如單調(diào)性 奇偶性等 注意分類討論 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 2 數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法 它將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形結(jié)合起來 使問題變得簡單易懂 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 變式訓(xùn)練已知冪函數(shù)滿足f 2 f 4 1 求f x 的解析式 2 若函數(shù)g x f2 x mf x x 1 9 是否存在實(shí)數(shù)m使得g x 的最小值為0 若存在 求出m的值 若不存在 說明理由 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 解 1 f x 是冪函數(shù) p2 3p 3 1 解得p 1或p 2 2 令t f x x 1 9 則t 1 3 記 t t2 mt t 1 3 綜上所述 存在m 1使得g x 的最小值為0 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 1 冪函數(shù)y kx 過點(diǎn) 4 2 則k 的值為 解析 冪函數(shù)y kx 過點(diǎn) 4 2 答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 2 冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象依次是下圖中的曲線 A C2 C1 C3 C4B C4 C1 C3 C2C C3 C2 C1 C4D C1 C4 C2 C3解析 冪函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)直線x 1右側(cè)的 高低 關(guān)系是 指大圖高 故冪函數(shù)y x2在第一象限內(nèi)的圖象為C1 y x 1在第一象限內(nèi)的圖象為C4 在第一象限內(nèi)的圖象為C2 在第一象限內(nèi)的圖象為C3 答案 D 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 3 冪函數(shù)f x x3m 5 m N 在 0 上是減函數(shù) 且f x f x 則m等于 A 0B 1C 2D 3解析 冪函數(shù)f x x3m 5 m N 在 0 上是減函數(shù) 則3m 5 0 即m 又m N 故m 0或m 1 f x f x f x 是偶函數(shù) 當(dāng)m 0時 f x x 5是奇函數(shù) 當(dāng)m 1時 f x x 2是偶函數(shù) 符合題意 答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當(dāng)堂檢測 5 比較下列各組中兩個值的大小 4 0 18 0 3與0 15 0 3