初中數(shù)學競賽輔導講義及習題解答 第7講 化歸—解方程組的基本思想

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1、第七講 化歸—解方程組的基本思想 初中階段已學過的方程組有：二元一次方程組、三元一次方程組、二元二次方程組． 盡管具體到每類方程組的解法不全相同，但縱有千變?nèi)f化，而萬變不離其宗： 化歸是解方程組的基本思想，降次與消元是化歸的主要途徑，因式分解、換元是降次的常用方法，代人法、加減法是消元的兩種主要手段． 解一些特殊方程組(如未知數(shù)系數(shù)較大，未知數(shù)個數(shù)較多等)，需要在整體分析方程組特點基礎上，靈活運用一些技巧與方法，常用的技巧與方法有迭加、迭乘、換元、配方、取倒等． 注：轉(zhuǎn)化與化歸是解方程(組)的基本思想，常見形式有： 分式方程整式化 無理方程有理化 高次方

2、程低次化 多元方程一元化 通過恰當?shù)霓D(zhuǎn)化，化歸目的明確，復雜的方程(組)就會變?yōu)槲覀兪煜さ?、簡單的方?組)． 【例題求解】 【例1】已知正實數(shù)、、滿足，則= ． 思路點撥 由想到從分解因式入手，還需整體考慮． 【例2】方程組的正整數(shù)解的組數(shù)是（ ） A．4 B．3 C 2 D．1 思路點撥 直接消元降次解三元二次方程組較困難，從分析常數(shù)項的特征入手． 【例

3、3】 解下列方程組： (1) （2） (3) 思路點撥 對于(1)，先求出整體、的值，對于(2)，視、為整體，可得到、的值；對于(3)設，，用換元法解． 【例4】 已知、、三數(shù)滿足方程組，試求方程的根． 思路點撥 先構(gòu)造以、為兩根的一元二次方程，從判別式入

4、手，突破的值． 注：方程與方程組在一定的條件下可相互轉(zhuǎn)化，借助配方法、利用非負數(shù)性質(zhì)是促使轉(zhuǎn)化的常用工具，一個含多元的方程，往往蘊含著方程組． 【例5】已知方程組有兩個實數(shù)解為和且，，設， (1)求的取值范圍；(2)試用關(guān)于的代數(shù)式表示出； (3)是否存在的的值?若存在，就求出所有這樣的的值；若不存在，請說明理由． 思路點撥 代人消元，得到關(guān)于的一元二次方程，綜合運用根的判別式、韋達定理等知識求解，解題中注意隱含條件的制約，方能準確求出的取值范

5、圍． 注：方程組解的性質(zhì)、個數(shù)的探討問題，往往轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的個數(shù)、性質(zhì)的討論，但這種轉(zhuǎn)化不一定是等價的，注意隱含條件的制約，如本例中，則，這就是一個隱含條件． 學歷訓練 1．一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組的解是，試寫出符合要求的方程組 (只要填寫一個即可)． 2．若方程組有兩組相同的實數(shù)解，則的取值是 ． 3．實數(shù)、、滿足，則的值為 ． 4．

6、已知、、2是正整數(shù)，并且滿足，那么的值等于 ． 5．已知，，則的值為( ) A．2001 B．2002 C． 2003 D．2004 6．已知，，則=（ ） A．337 B．17 C．97 D．1 7．解下列方程組： （1） （2）

7、 (3) 8．已知方程組有兩個實數(shù)解和，且，求的值． 9．方程組的解是 ． 10．已知實數(shù)，是方程組的解，則+= ． 11．已知，且，則是的值為 ．

8、 12．已知方程組的兩組解是（）與（），則的值是 ． 13．已知，，則的值是( ) A．4 B．2 C．一2 D．0 14．設，為實數(shù)，且滿足，則=（ ） A．1 B．一1 C． 2 D．一2 15．解下列方程組： (1) （2） (3) 16．已知方程組的兩個解為和，且，是兩個不相等的實數(shù)，若． (1)求的值； (2)不解方程組判斷方程組的兩個解能否都是正數(shù)?為什么? 17．已知、是方程的兩個實根，解方程組 18．已知、為實數(shù)，且滿足，，求的值． 參考答案 6