2018高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 第三節(jié) 空間幾何體的表面積和體積學(xué)案 蘇教版必修2.doc

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幾何體的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題 【考點(diǎn)精講】 1. 表面積公式 （1）圓柱：如果圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，那么圓柱的底面積為，側(cè)面積為。表面積為。 （2）圓錐：如果圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，那么圓錐的底面積為S底＝，側(cè)面積為S側(cè)＝，表面積S表＝＋。 （3）圓臺(tái)：圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為、，母線長(zhǎng)為，，＝，則其側(cè)面積為S側(cè)＝，表面積為。 （4）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積有如下關(guān)系。 2. 體積公式 （1）柱體：柱體的底面積為，高為，則。 （2）錐體：錐體的體積等于與它等底等高的柱體的體積的。即。 （3）臺(tái)體：臺(tái)體的上、下底面積分別為S′、S，高為h，則V＝（S′＋＋S）h。 （4）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系： 【典例精析】 例題1 如圖1，∠ACB＝45，，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將△折起，使∠BDC＝90（如圖2所示）。當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐的體積最大。 思路導(dǎo)航：本題考查立體幾何線面的基本關(guān)系，及如何取到最值，用均值不等式求最值。 答案：在如圖1所示的△中，設(shè)，則。 由，∠ACB＝45知，△為等腰直角三角形，所以。 由折起前知，折起后（如圖2），，，且， 所以平面。又∠BDC＝90，所以。于是 ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立， 故當(dāng)，即時(shí)，三棱錐的體積最大。 例題2 如下圖所示，在長(zhǎng)方體中，截下一個(gè)棱錐C—，求棱錐C－的體積與剩余部分的體積之比。 思路導(dǎo)航：剩余部分幾何體不是規(guī)則幾何體，可利用長(zhǎng)方體和棱錐體積的差來(lái)求得剩余部分的體積。 答案：已知長(zhǎng)方體可以看成直四棱柱，設(shè)它的底面的面積為S，高為，則它的體積為。 而棱錐C－A′DD′的底面積為高為，故棱錐C－A′DD′的體積為 。 余下的體積是。所以棱錐C－A′DD′的體積與剩下部分的體積之比為。 隨堂練習(xí)：正六棱錐P-ABCDEF中，G為PB的中點(diǎn)。則三棱錐D-GAC與三棱錐P-GAC體積之比為（ ） A.1:1 B.1:2 C.2:1 D. 3:2 解析：由于G是PB的中點(diǎn)，故P-GAC的體積等于B-GAC的體積，于是可以求出D-GAC的體積=2B-GAC的體積=2P-GAC的體積。故答案選C。 【總結(jié)提升】 求幾何體的體積問(wèn)題： （1）計(jì)算柱體、錐體、臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題。 （2）利用等積法求體積，也可稱為轉(zhuǎn)換法，通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求體積的一種方法。 （3）在求兩個(gè)空間幾何體的體積比問(wèn)題，盡量找到這兩個(gè)幾何體的底面與高之間的關(guān)系，有相同的高或底面積將對(duì)解題大有裨益。 微課程2：立體幾何中線與面所成角問(wèn)題 【考點(diǎn)精講】 1. 定義：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所夾的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角。平面的垂線和這個(gè)平面所成的角規(guī)定為直角。在平面內(nèi)的直線或與平面平行的直線和這個(gè)平面所成的角規(guī)定為0。 2. 求直線與平面所成的角，一般分為兩大步： （1）找直線與平面所成的角，即通過(guò)找直線在平面上的射影來(lái)完成； （2）計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解。 3. 直線和平面所有角的范圍：0≤≤90。 【典例精析】 例題1 如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上。 （1）求證：平面AEC⊥平面PDB； （2）當(dāng)PD＝AB，且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成角的大小。 思路導(dǎo)航：（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明AC⊥平面PDB；（2）AE與平面PDB所成的角即為AE與它在平面PDB上的射影所成的角。 答案：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D， ∴AC⊥平面PDB.又AC?平面AEC， ∴平面AEC⊥平面PDB。 （2）解：設(shè)AC∩BD＝O，連接OE。 由（1）知，AC⊥平面PDB于點(diǎn)O， ∴∠AEO為AE與平面PDB所成的角。 ∵點(diǎn)O、E分別為DB、PB的中點(diǎn)，∴OE∥PD，且OE＝PD。 又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO。 在Rt△AOE中，OE＝PD＝AB＝AO，∴∠AEO＝45。 即AE與平面PDB所成的角為45。 例題2 如圖，已知DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120，P、Q分別為AE、AB的中點(diǎn)。 （1）證明：PQ∥平面ACD； （2）求AD與平面ABE所成角的正弦值。 思路導(dǎo)航：（1）轉(zhuǎn)化為PQ∥DC；（2）AD與平面ABE所成角即為AD與它在平面ABE上的射影所成的角。 答案：（1）證明：因?yàn)镻、Q分別為AE、AB的中點(diǎn)，所以PQ∥EB。 又DC∥EB，因此PQ∥DC，PQ平面ACD，DC?平面ACD，從而PQ∥平面ACD。 （2）解：如圖，連接CQ、DP。 因?yàn)镼為AB的中點(diǎn)，且AC＝BC， 所以CQ⊥AB。 因?yàn)镈C⊥平面ABC，EB∥DC， 所以EB⊥平面ABC。 因此CQ⊥EB，又AB∩EB＝B， 故CQ⊥平面ABE。 由（1）有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC， 所以四邊形CQPD為平行四邊形，故DP∥CQ， 因此DP⊥平面ABE，∠DAP為AD和平面ABE所成的角， 在Rt△DCA中，DC＝1，AC＝2，∴， 在△ACB中，AC＝CB＝2，∠ACB＝120， ∴CQ＝1，∴DP＝1。 ∴在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，sin∠DAP＝。 因此AD和平面ABE所成角的正弦值為。 例題3 如圖，在如圖所示的圓錐中，已知PO＝，⊙O的直徑AB＝2，點(diǎn)C在上，且∠CAB＝30，D為AC的中點(diǎn)。 （1）證明：AC⊥平面POD； （2）求直線OC和平面PAC所成角的正弦值。 思路導(dǎo)航：本題考查垂直關(guān)系的證明，線面角的求解及邏輯推理能力、空間想象能力和運(yùn)算求解能力。試題的難點(diǎn)是第二問(wèn)的線面角，其中作出線面角是解題的關(guān)鍵。 答案：（1）證明：如圖，因?yàn)镺A＝OC，D是AC的中點(diǎn)，所以AC⊥OD。 又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，所以AC⊥PO，而OD，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以AC⊥平面POD。 （2）解：由（1）知，AC⊥平面POD，又AC?平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC。在平面POD中，如圖，過(guò)O作OH⊥PD于H，則OH⊥平面PAC，連接CH，則CH是OC在平面PAC上的射影，所以∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角。 在Rt△ODA中，OD＝OAsin 30＝。 在Rt△POD中，OH＝＝＝。 在Rt△OHC中，sin∠OCH＝＝。 故直線OC和平面PAC所成角的正弦值為。 【總結(jié)提升】 高考對(duì)空間線面關(guān)系的考查每年必有一道解答題，難度為中低檔，大多數(shù)考生會(huì)做而得不到全分，往往是因?yàn)橥评聿粐?yán)密，跳步作答所致。 解題過(guò)程要表達(dá)準(zhǔn)確、格式要符合要求.每步推理要有理有據(jù)。計(jì)算題要有明確的計(jì)算過(guò)程，不可跨度太大，以免漏掉得分點(diǎn)。引入數(shù)據(jù)要明確、要寫(xiě)明“已知”、“設(shè)”等字樣，要養(yǎng)成良好的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣。 求線面夾角常用的方法如下： ①作出線在面內(nèi)的射影，根據(jù)線面夾角定義來(lái)求。 ②有時(shí)可以轉(zhuǎn)化為面面夾角來(lái)求。（如果線所在的面與待求夾角的那個(gè)面相交，且交線正好垂直于待求夾角的那條線，就可以使用此法。） 關(guān)于線線夾角和線面夾角，下面兩個(gè)結(jié)論經(jīng)常用到： ①如圖1，平面，＝，，則 。 ②如圖2，過(guò)的頂點(diǎn)引射線和、成相等的銳角時(shí)，則在平面內(nèi)的射影是的平分線（或平分線的反向延長(zhǎng)線）。 圖1 圖2 微課程3：立體幾何中求二面角問(wèn)題 【考點(diǎn)精講】 1. 一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，把這個(gè)平面分成兩部分，其中每一部分都叫做半平面. 2. 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。 學(xué)習(xí)二面角要注意以下三點(diǎn)： （1）二面角的大小是用平面角來(lái)度量的；（2）二面角的平面角的大小是由二面角的兩個(gè)面的位置唯一確定的，與棱上點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)；（3）平面角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)。 【典例精析】 例題1 已知△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB＝a，求二面角A－PC－B的正切值大小。 思路導(dǎo)航：要求二面角的大小，首先要在圖形中構(gòu)造出二面角的平面角，然后利用其平面角度量二面角的大小.過(guò)棱上一點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作（或證）棱的垂線，即可產(chǎn)生二面角的平面角，要充分利用三角函數(shù)定義求得具體值。 答案：取AC的中點(diǎn)M，連接BM，作MN⊥PC于N，連接BN（如圖）。 ∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC。 易證BM⊥AC，AC＝平面PAC∩平面ABC。 ∴BM⊥平面PAC（面面垂直的性質(zhì)）。 ∵M(jìn)N⊥PC，∴NB⊥PC。 ∴∠MNB是二面角A－PC－B的平面角。 易知MN＝a，BM＝a。 ∴tan∠MNB＝?！唷螹NB＝arctan，即二面角A－PC－B的正切值大小為。 例題2 在平面四邊形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝a，∠ABC＝90，∠BCD＝135，沿AC將四邊形折成直二面角B－AC－D。 （1）求證：平面ABC⊥平面BCD； （2）求平面ABD與平面ACD所成角的大小。 思路導(dǎo)航：本題中∠B＝∠ACD＝90在折疊前后不變，四邊形的四條邊的長(zhǎng)也不變，所以BE、sinDAC均可在平面四邊形中求得。 答案：如圖，其中圖（1）是平面四邊形，圖（2）是折后的立體圖。 （1）證明：∵平面ABC⊥平面ACD，交線為AC， 又∵AB＝BC，∠ABC＝90， ∴∠ACD＝90，CD⊥AC。 ∴平面ABC⊥平面BCD。 （2）解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，E為垂足，則BE⊥平面ACD。 又過(guò)點(diǎn)E在平面ACD內(nèi)作EF⊥AD，F(xiàn)為垂足，連接BF。 由三垂線定理可知BF⊥AD。 ∴∠BFE是二面角B－AD－C的平面角。 ∵點(diǎn)E為AC中點(diǎn)， ∴BE＝AC＝a。 又sin∠DAC＝，EF＝AE， ∴EF＝a，tan∠BFE＝。 ∴∠BFE＝60，即平面ABD與平面ACD所成的二面角為60。 【總結(jié)提升】 （1）二面角的平面角是用來(lái)刻畫(huà)二面角大小的一個(gè)概念.它和兩條異面直線所成的角以及直線和平面所成的角一樣，都可化歸為用平面內(nèi)兩條相交直線所成的角來(lái)表示，但必須注意二面角的平面角所在平面應(yīng)垂直于二面角的棱，二面角的平面角的兩條邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)，而且二面角的平面角的大小是由二面角的兩個(gè)面的相互位置所確定的，與二面角的平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)。 （2）二面角的計(jì)算方法 ①利用定義作二面角的平面角——在棱上取一點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線，這兩條射線組成二面角的平面角。利用定義作二面角的平面角，關(guān)鍵在于找棱及棱上的特殊點(diǎn)，學(xué)習(xí)時(shí)要特別注意平移和補(bǔ)形方法的靈活運(yùn)用。 ②用垂面法作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱或二面角的兩個(gè)半平面的垂面，則該垂面與二面角的兩個(gè)半平面交線所成的角就是二面角的平面角。 ③面積法：如果一個(gè)多邊形在一個(gè)平面內(nèi)的射影是一個(gè)多邊形，且這兩個(gè)多邊形所在平面所成的二面角為θ，則cosθ＝。 二面角定量地反映了兩個(gè)平面相交的位置關(guān)系，但如何度量二面角的大小是一難點(diǎn)。