金融經(jīng)濟(jì)學(xué)：第7章 套利定價理論APT）

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1、第第7章章 套利定價理論（Arbitrage Pricing Theory，APT）第一節(jié)第一節(jié) 套利交易行為套利交易行為一、套利一、套利（Arbitrage）的概念的概念 套利指的是利用同一種（或等價的）實(shí)物資產(chǎn)或證券的不同價格來賺取無風(fēng)險利潤的行為。1.特征：（1）買入、賣出同時完成；（2）交易者不承擔(dān)任何風(fēng)險；（3）不需要投資但有正的收益，或者交易利潤率大于無風(fēng)險利率。o 風(fēng)險套利：實(shí)踐中的套利行為 投資者在特定市場同時進(jìn)行買入、賣出交易的行為。 先尋找具有不同價格的商品交易機(jī)會，當(dāng)價差大到足以補(bǔ)償交易成本以及所承擔(dān)的可能風(fēng)險時，套利者會迅速兩邊下單，完成交易。 套利與投機(jī)交易的區(qū)別o

2、盈利的理念不同。o 操作的方式不同。o 套利的風(fēng)險較小。o 套利的成本較低。二、身邊的套利交易o(hù) 1.50ETF上的套利交易o(hù) 可以在一級市場上用一籃子股票進(jìn)行申購和贖回，又可以在二級市場上直接買賣。o 瞬時套利o 延時套利o 事件型套利o 2.金屬市場期貨市場上的套利o 上海期銅與倫敦期銅的正套：買倫敦銅賣上海銅。o 3.外匯套匯三、套利交易的基本方式（一）跨品種交易 利用兩種不同的，但相互關(guān)聯(lián)的品種的合約價格差異進(jìn)行套利，即買入某一交割月份某種品種的合約，同時賣出另一相同交割月份、相互關(guān)聯(lián)的品種的合約，以期在有利時機(jī)同時將兩種合約對沖平倉獲利。 在商品期貨市場，分成兩種情況：一是相關(guān)商品之

3、間的套利；二是原料與成品之間的套利。o 如小麥合約與玉米合約o 如7.30買入小麥：3.75；賣玉米：2.45o 9.30，小麥：3.5；玉米：2.1（二）跨市場套利o 在某個交易所買入（或賣出）某一交割月份的某種商品合約的同時，在另一個交易所賣出（或買入）同一交割月份的同種商品合約，以期在有利時機(jī)分別在兩個交易所對沖在手的期貨合約，以期在有利時機(jī)分別在兩個交易所對沖在手的合約獲利。o 注意的因素：運(yùn)輸費(fèi)用、交割品級的差異、交易單位與匯率波動、保證金和傭金成本。o 注意的因素：o 運(yùn)輸費(fèi)用o 交割品種的差異o 交易單位與匯率波動o 保證金與傭金成本（三）期現(xiàn)套利o 某種期貨合約，當(dāng)期貨市場與現(xiàn)

4、貨市場在價格上出現(xiàn)差距，交易者就會利用兩個市場低買高賣，從而縮小現(xiàn)貨市場與期貨市場間的價差。o 如9月大豆合約價格2660，現(xiàn)貨價格2560.賣出期貨，實(shí)物交割。o 要注意的問題：交割整理成本、運(yùn)輸成本、發(fā)票、質(zhì)檢成本、入庫成本、倉儲成本。（四）跨期套利o在同一市場（主要是指同一交易所）上同時買入、賣出標(biāo)的相同、不同交割月份的期貨合約，以期在有利時機(jī)同時將兩個交割月份不同的合約對沖平倉獲利。o分類:1.牛市套利:買入近期月份合約的同時，賣出遠(yuǎn)期月份合約而進(jìn)行牛市套利。2.熊市套利:賣出近期合約的同時，買入遠(yuǎn)期合約而進(jìn)行熊市套利。3.蝶式套利：利用不同交割月份的價差進(jìn)行套期獲利，由兩個方向相反、

5、共享居中交割月份合約的跨期套利組成。（五）無風(fēng)險套利o 套利定價理論中的套利是無風(fēng)險套利。它的特點(diǎn)是完全沒有風(fēng)險。四、套利交易發(fā)生的條件及其對市場的作用o （一）資產(chǎn)定價出現(xiàn)了偏差o 相同資產(chǎn)在不同市場上的價格不同o 相同現(xiàn)金流量的價格不同o 用未來價格確定的資產(chǎn)，其目前的交易價格不等于未來價格的現(xiàn)值。o （二）不存在對套利的限制以及套利成本小于套利收益。CAPM的局限性的局限性（一）相關(guān)假設(shè)條件的局限性 1.市場無摩擦假設(shè)和賣空無限制假設(shè)與現(xiàn)實(shí)不符； 2.投資者同質(zhì)預(yù)期與信息對稱的假設(shè)意味著信息是無成本的，與現(xiàn)實(shí)不符； 3.投資者為風(fēng)險厭惡的假設(shè)過于嚴(yán)格；（二）（二）CAPM的實(shí)證檢驗(yàn)問題的

6、實(shí)證檢驗(yàn)問題1.市場組合的識別和計算問題市場組合的識別和計算問題 理論上，市場資產(chǎn)組合定義為所有資產(chǎn)的加權(quán)組合，每一種資產(chǎn)的權(quán)數(shù)等于該資產(chǎn)總市場價值占所有資產(chǎn)總價值的比重。但實(shí)際上，市場資產(chǎn)涵蓋的范圍非常廣泛，因此，在CAPM的實(shí)際運(yùn)用中要識別一個真正的市場組合幾乎不可能。 一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家采用一個容量較大的平均數(shù)（如標(biāo)準(zhǔn)普爾工業(yè)指數(shù)）作為市場資產(chǎn)組合的替代，對CAPM進(jìn)行了檢驗(yàn)，得出的結(jié)果卻與現(xiàn)實(shí)相悖。2.單因素模型無法全面解釋對現(xiàn)實(shí)中資產(chǎn)收益率決定的影響因單因素模型無法全面解釋對現(xiàn)實(shí)中資產(chǎn)收益率決定的影響因素素o Rosenberg and Marashe（1977）的研究發(fā)現(xiàn)，如果將紅利、交

7、易量和企業(yè)規(guī)模加入計量模型，則系數(shù)會更有說服力。o Basu（1977）發(fā)現(xiàn)，低市盈率股票的期望收益率高于資本資產(chǎn)定價模型的估計；Banz(1981)的實(shí)證研究表明，股票收益率存在“規(guī)模效應(yīng)”，即小公司股票有較高的超常收益率；Kleim（1983）發(fā)現(xiàn)股票收益呈季節(jié)性變動，即存在季節(jié)效應(yīng)。o 兩方面的局限性都削弱了CAPM對現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)的解釋能力。（三）關(guān)于（三）關(guān)于CAPM檢驗(yàn)的羅爾批評（檢驗(yàn)的羅爾批評（Rolls Critique） Roll（1977）對CAPM提出了如下批評意見： 1.對于CAPM唯一合適的檢驗(yàn)形式應(yīng)當(dāng)是：檢驗(yàn)包括所有風(fēng)險資產(chǎn)在內(nèi)的市場資產(chǎn)組合是否具有均值-方差效率。 2.

8、如果檢驗(yàn)是基于某種作為市場資產(chǎn)組合代表的股票指數(shù)，那么如果該指數(shù)具有均值-方差效率，則任何單個風(fēng)險資產(chǎn)都會落在證券市場線上，而這是由于恒等變形引起的，沒有實(shí)際意義。 3.如果檢驗(yàn)是基于某種無效率的指數(shù)，則風(fēng)險資產(chǎn)收益的任何情形都有可能出現(xiàn)，它取決于無效指數(shù)的選擇。 該結(jié)論斷言，即便市場組合是均值-方差效率的，CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML，也不能夠證明單一風(fēng)險資產(chǎn)均衡收益同風(fēng)險、市場組合之間存在某種有意義的關(guān)系。 因此，羅爾認(rèn)為，由于技術(shù)上的原因和原理上的模因此，羅爾認(rèn)為，由于技術(shù)上的原因和原理上的模糊，糊，CAPM是無法檢驗(yàn)的。是無法檢驗(yàn)的。羅斯（Ross，1976）給出了一

9、個以無套利定價為基礎(chǔ)的多因素資產(chǎn)定價模型，也稱套利定價理論模（Arbitrage Pricing Theory，APT）。該模型由一個多因素收益生成函數(shù)推導(dǎo)而出，其理論基礎(chǔ)為一價定律（一價定律（The Law of One Price），），即兩種風(fēng)險收益性質(zhì)相同的資產(chǎn)不能按不同價格出售。該模型推導(dǎo)出的資產(chǎn)收益率決定于一系列影響資產(chǎn)收益的因素，而不完全依賴于市場資產(chǎn)組合，而套利活動則保證了市場均衡的實(shí)現(xiàn)。同時，APT對CAPM中的投資者風(fēng)險厭惡的假設(shè)條件作了放松，從而較CAPM具有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)解釋能力。第二節(jié)單因子模型第二節(jié)單因子模型 定義定義1 因子模型（或者指標(biāo)模型）是一種假設(shè)證券的回報率只

10、與不同的因子或者指標(biāo)的運(yùn)動有關(guān)的經(jīng)濟(jì)模型。o 因素模型中的因素常以指數(shù)形式出現(xiàn)（如GNP指數(shù)、股價指數(shù)、物價指數(shù)等）,所以又稱為指數(shù)模型。o 單因素模型相對CAPM是為了解決兩個問題：一是提供一種簡化地應(yīng)用CAPM的方式；二是細(xì)分影響總體市場環(huán)境變化的宏觀因素，如國民收入、通脹率、利率、能源價格等具體帶來風(fēng)險因素的模型。o 以回歸分析得單因素模型。一、因子模型的特點(diǎn)一、因子模型的特點(diǎn) 第一，因子模型中的因子應(yīng)該是系統(tǒng)影響所有證券價格的經(jīng)濟(jì)因子； 第二，在構(gòu)造的因子模型中，我們假設(shè)兩個證券的回報率相關(guān)（一起運(yùn)動僅僅是因?yàn)樗鼈儗σ蜃舆\(yùn)動的共同反應(yīng)導(dǎo)致的）； 第三，證券回報率中不能由因子模型解釋的部

11、分是該證券所獨(dú)有的，從而與別的證券回報率的特有部分無關(guān)。下表反映了公司i的股票收益率和國內(nèi)生產(chǎn)總值（）的增長率（簡記為因子）和通貨膨脹率（簡記為因子I）年的統(tǒng)計情況。ir年度5.7% 1.1% 14.3% 2 6.4 4.4 19.2 3 7.9 4.4 23.4 4 7.0 4.6 15.6 5 5.1 6.1 9.2 6 2.9 3.1 13.0ir假設(shè)證券的回報率生成過程僅包含一個因素，例如認(rèn)為證券的回報率與預(yù)期國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長率有關(guān)。o 這一關(guān)系也可用下面的圖形表示 24201612844826o 為了闡明圖中所反映的數(shù)量關(guān)系，我們使用一元回歸分析的統(tǒng)計技術(shù)做一條直線來擬合圖中的點(diǎn)。

12、那么，圖中這條直線的回歸方程則為R Ri i=4%+2GDP=4%+2GDPo 回歸方程和直線都表示較高預(yù)期的GDP與較高的證券收益率相關(guān)聯(lián)。o 任一給定證券的實(shí)際回報率由于含有非因素回報率的緣故而位于擬合直線的上方或下方。因此對例中的單因素模型多反映的關(guān)系的完整描述為：4%2iirGDPo 從方程中我們可以看出，任何一個證券的收益由三部分構(gòu)成：o i：宏觀因素期望變化為零時的收益，是投資者對證券的期初收益；o iG：系統(tǒng)性風(fēng)險收益，即隨整個市場運(yùn)動變化不確定性（非預(yù)期的）的收益，且變化的敏感度是i；o i是與國內(nèi)生產(chǎn)總值無關(guān)因素的作用，是非系統(tǒng)性風(fēng)險收益，即只與單個證券相關(guān)的非預(yù)期事件形成的

13、非預(yù)期收益。 iiiiRG二、單因素模型的一般形式二、單因素模型的一般形式 一般地，單因素模型認(rèn)為有一個因素F對證券收益產(chǎn)生廣泛影響，這種影響力通過對每種證券i在任意時期t的建立如下方程來反映：itiititRFo 是證券i在t時期的收益率， 是宏觀因素在t期的值， 是證券i對宏觀因素的敏感度， 是一個均值為零的隨機(jī)變量， 是當(dāng)宏觀因素均值為零時證券收益率。 itRitFiti單因素模型有如下假設(shè)()0itE(,)0ijCov (,)0ittCovF 期望收益率：期望收益率：根據(jù)單因素模型，證券i的期望收益率可以表示為：()( )iiiE RE F方差方差：在單因素模型中，同樣可以證明任意證券

14、i的方差等于： 在這里，2F是因素的方差，2(i)是隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差協(xié)方差協(xié)方差：在單因素模型中，計算證券間的協(xié)方差變得十分簡單。2222()iiFi 2ijijF方程中證券i的期望收益、方差、協(xié)方差分別為： 先考慮一個宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)（）對公司i的股票收益率的影響，即研究與公司i的股票收益率 的關(guān)系。由一元線性回歸可得如下方程：iriiiirGe( )( )iiiE rE G其中是隨機(jī)變量，是由回歸確定的系數(shù)。且 ， ， ，并有iieGr,2%,4ii0)(ieE0),cov(Geijieeji , 0),cov(現(xiàn)在我們來看公司i的股票的收益率的方差。因?yàn)?，所以可以導(dǎo)出0),cov(Gei2

15、222ieGii如果經(jīng)統(tǒng)計測算出G增長率的方差是 ，非系統(tǒng)風(fēng)險的方差是，則可算出股票收益率的方差為0003. 02G00152. 02ie00272. 02i 定義定義2 我們稱上式中的我們稱上式中的 為因子風(fēng)險；為因子風(fēng)險； 為非因?yàn)榉且蜃语L(fēng)險子風(fēng)險22iG 2ie再來看協(xié)方差。如果另外有一家公司j的股票，根據(jù)其業(yè)績表現(xiàn)統(tǒng)計測算出它的。股票i和股票j的收益率的協(xié)方差可以容易地算出4j2Gjiij所以有0024. 00003. 042ij 結(jié)論：大大地減少了計算的工作量。因?yàn)槿绻M合大大地減少了計算的工作量。因?yàn)槿绻M合里里n項(xiàng)資產(chǎn)，計算組合的方差協(xié)方差矩陣需要進(jìn)行項(xiàng)資產(chǎn)，計算組合的方差協(xié)方差

16、矩陣需要進(jìn)行 次方差協(xié)方差的測算，但現(xiàn)在只需要次方差協(xié)方差的測算，但現(xiàn)在只需要n個個 和個就可以了。（和個就可以了。（第一個性質(zhì)第一個性質(zhì)）2/ ) 1( nn,iieia 2Go 充分分散風(fēng)險的投資組合充分分散風(fēng)險的投資組合 假如一個投資組合是充分分散風(fēng)險的，那它的廠商特定風(fēng)險或非系統(tǒng)風(fēng)險可以被分散掉，保留下來的只有因素（系統(tǒng)）風(fēng)險，即收益與風(fēng)險為： 1()pppppFnpiiirE rFw 這里：o 我們把充分分散的投資組合定義為：滿足按比例分散持有足夠大數(shù)量的證券組合，而每種證券i的數(shù)量又小到可以使非系統(tǒng)方差被忽略掉。 o 既然非系統(tǒng)風(fēng)險因素可以被分散掉，那么只有系統(tǒng)風(fēng)險在市場均衡中控制

17、證券的風(fēng)險溢價。在充分分散的投資組合中，各個廠商之間的非系統(tǒng)風(fēng)險相互抵償，因此，在一個證券組合中，與其期望收益相關(guān)的就只有系統(tǒng)風(fēng)險了。 （第二個性質(zhì)第二個性質(zhì)） 第三節(jié)第三節(jié) 市場模型市場模型(Market Model) 在實(shí)際應(yīng)用過程中常用證券市場指數(shù)來作為影響證券價格的單因素，此時的單因素模型被稱為市場模型。 市場模型實(shí)際上是單因素模型的一個特例。iIiIi IiIrr 式中：r i代表某一給定時期證券i的收益率 I代表市場指數(shù) ri代表相同時期市場指數(shù)I的收益率 iI是隨機(jī)誤差項(xiàng)假設(shè)一種股票在某一特定時期內(nèi)的收益率與同一時期證券市場指數(shù)（如標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)）的收益率相聯(lián)系，即如果行情上

18、揚(yáng)，則很可能該股票價格會上升，市場行情下降，則該股票很可能下跌。因此，可以用市場模型的方程表示這一關(guān)系： 例子：考慮股票A，有Ii =2%，Ii=1.2，這意味著股票A的市場模型為： 2% 1.2AiIAIrr因此，如果市場指數(shù)回報率為10%，則證券A的回報率預(yù)期為14%（=2%+1.2*10%）。同樣，如果市場預(yù)期的回報率為-5%，則證券A的預(yù)期回報率為-4%。注意：由于隨機(jī)誤差項(xiàng)的存在（表示證券回報率中沒有被市場模型所完全解釋的部分），當(dāng)市場指數(shù)上升10%或下降5%時，證券A的回報率將不會準(zhǔn)確地為14%或-4%。即，實(shí)際回報率和所給定市場指數(shù)回報率之間的差額將歸結(jié)于隨機(jī)誤差項(xiàng)的影響。CAP

19、M模型與單因素模型的關(guān)系模型與單因素模型的關(guān)系 CAPM可視為一個特殊的單因素模型，在那里的市場組合收益率rM實(shí)質(zhì)上就是一個單因素。以市場組合的收益率的風(fēng)險補(bǔ)償來作為宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)，于是有：o rirf ii（rmrf ）i ，o 或者Ri =i+iRm+i （實(shí)際上這是證券i對市場組合收益的回歸方程，其回歸直線就是證券i的特征線）若用有風(fēng)險資產(chǎn)的市場組合的收益率的風(fēng)險補(bǔ)償來作為宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)。于是ifMiifierrrr)(0,1,0MMMe因?yàn)樯鲜鲫P(guān)系對于證券組合也一樣成立，如果就代表有風(fēng)險市場組合本身，那么回歸結(jié)果一定會有，i任何證券i的風(fēng)險補(bǔ)償和有風(fēng)險市場組合的風(fēng)險補(bǔ)償之間協(xié)方差就應(yīng)該是2

20、2MiMMiiM從而2/MiMi于是我們得到)()(fMiifirrErrE多出的一個是證券的收益超出由資本資產(chǎn)定價模型給出的市場均衡收益率的部分。顯然，如果處于均衡狀顯然，如果處于均衡狀態(tài)，對所有的資產(chǎn)來說，都應(yīng)該有態(tài)，對所有的資產(chǎn)來說，都應(yīng)該有i0i ）點(diǎn)和有風(fēng)險市場組合點(diǎn)生成的雙曲線不會在點(diǎn)與資本市場線相切。因?yàn)槿绻嗲械脑?，將會?dǎo)出點(diǎn)會落在證券市場線上的結(jié)論。 ）點(diǎn)也一定不會落在有效組合邊界上。否則，由兩基金分離定理知點(diǎn)和點(diǎn)生成的連線就是有效組合邊界，這就與第點(diǎn)不符。0A%1A 如果在市場上有一個共同基金，它的運(yùn)作水平使 將會出現(xiàn)什么情況呢？例如，現(xiàn)在市場的無風(fēng)險利率是6%，有風(fēng)險市場

21、組合的風(fēng)險補(bǔ)償是8%，基金組合的值是0.5，。這時點(diǎn)會落在證券市場線的上面。可斷言： pprMfr資本市場線AB資本市場線新資本市場線此時，優(yōu)化地組合點(diǎn)和點(diǎn)得到的新組合就會落到資本市場線的上面。將這個新的組合再與無風(fēng)險證券組合，就能得到比市場的均衡更好的效益。因此，如果能找到具有正的 的投資組合，就能夠擊敗市場。A0A 事實(shí)上，如果對組合容許賣空的話，只要就可以設(shè)計出擊敗市場的投資策略。此類投資策略要成立，意味著市場在某些方面存在著缺陷而導(dǎo)致失衡。在市場實(shí)踐中，表示有風(fēng)險市場組合的宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)就是證券市場的價格指數(shù)。采用指數(shù)來代替有風(fēng)險市場組合，通過統(tǒng)計方法測算出指數(shù)的統(tǒng)計特征，就可以大大簡化

22、計算工作量。 因此，指數(shù)化的投資策略提供了實(shí)際可行的途徑。并且，證券市場的價格指數(shù)也就成為有風(fēng)險資產(chǎn)估值和定價的基礎(chǔ)，同時也是設(shè)計投資策略的強(qiáng)有力的工具。 但資本資產(chǎn)定價模是一個資產(chǎn)定價的均衡模型，而因素模型卻不是。例如，比較分別由資本資產(chǎn)定價模型和因素模型得到的證券的預(yù)期收益率：()( )iiiE RE F()()ifMfiE RrE rr前者不是一個均衡模型，而后者是均衡模型既然單因素模型不是一個均衡模型，那單因素模型中參數(shù)i和i與資本資產(chǎn)定價模型中單因素i之間存在怎樣的關(guān)系呢？例如，如果實(shí)際收益率可以看作是由單因素模型產(chǎn)生，其中因素F是市場組合的收益率rM，那么預(yù)期收益率將等于：()()

23、iiiME RE r()(1)()iifMiE RrE r根據(jù)資本資產(chǎn)定價模型，如果均衡存在，則 這意味著，單因素模型和資本資產(chǎn)定價模型的參數(shù)之間必然存在下列關(guān)系：(1)iifiir我們可以再從以下角度看兩個貝塔兩個貝塔的關(guān)系：證券i的風(fēng)險補(bǔ)償與市場組合的風(fēng)險補(bǔ)償?shù)膮f(xié)方差是： 這里：ii和資本資產(chǎn)定價模型（證券市場線）里的和資本資產(chǎn)定價模型（證券市場線）里的系數(shù)是完全一樣的，這也就是我們?yōu)槭裁窗阎笖?shù)模系數(shù)是完全一樣的，這也就是我們?yōu)槭裁窗阎笖?shù)模模型里對宏觀經(jīng)濟(jì)變量的敏感度也定義為模型里對宏觀經(jīng)濟(jì)變量的敏感度也定義為的原因的原因。21imimmm 2imim從而在資本資產(chǎn)定價模型和市場模型中都有

24、一個被稱為值的斜率，并且這兩個模型或多或少地包含了市場，但是它們之間卻有明顯的區(qū)別明顯的區(qū)別：首先首先，資本資產(chǎn)定價模型是一個均衡模型，它描述證券的價格如何確定；市場模型是一個因素模型。其次其次，資本資產(chǎn)定價模型是相對于整個市場組合而言的，即相對于市場中所有證券的集合。而市場模型是相對于某個市場指數(shù)而言，即基于市場中的一個樣本。q雖然從嚴(yán)格意義上講，資本資產(chǎn)定價模型中的值和市場模型中的值是有區(qū)別的，但是在實(shí)際操作中，由于我們不能確切知道市場組合的構(gòu)成，所以一般用市場指數(shù)來代替，因此我們可以用市場因此我們可以用市場模型中測算的模型中測算的 值來代替資本資產(chǎn)定價模值來代替資本資產(chǎn)定價模型中的型中的

25、 值值。 第四節(jié)多因素模型第四節(jié)多因素模型一、多因素模型的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)二、多因素模型一、多因素模型的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)一、多因素模型的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ) 宏觀經(jīng)濟(jì)狀況影響著大部分企業(yè)，因而對經(jīng)濟(jì)前景的預(yù)期的變化被認(rèn)為對絕大部分證券的收益率產(chǎn)生深刻影響。然而經(jīng)濟(jì)并不是一個簡單統(tǒng)一的實(shí)體，因而我們需要確認(rèn)一些具有廣泛作用的共同影響力，比如：1.國內(nèi)生產(chǎn)總值；2.利率水平；3.通貨膨脹率；4.石油價格水平。多因素模型對現(xiàn)實(shí)的近似程度更高。這一簡化形式使得證券組合理論廣泛應(yīng)用于實(shí)際成為可能，尤其是20世紀(jì)70年代以來計算機(jī)的發(fā)展和普及以及軟件的成套化和市場化，極大地促進(jìn)了現(xiàn)代證券組合理論在實(shí)踐中的應(yīng)用。二、多因素模型（二、多

26、因素模型（Multifactor models） o 與單因素模型不同，當(dāng)考慮多個因素對證券收益率的影響時，則產(chǎn)生多因素模型，多因素模型更加清晰明確解釋了系統(tǒng)風(fēng)險，從而有可能展示不同的股票對不同的因素有不同的敏感性，這可能會使精確性得以提高。o 作為多因素模型的一個例子，我們考慮一個雙因雙因素模型素模型，這意味著假設(shè)收益率生成過程中包含有兩個因素。雙因素模型在t時期的方程式為：F1t和F2t是兩個對證券回報率具有普遍影響的因素，i1和i2分別是證券i對兩個因素的敏感性。同單因素模型一樣，it是隨機(jī)誤差項(xiàng)，i是當(dāng)兩個因素都取值為0是證券i的預(yù)期回報率。 1122itiitititRFF在雙因素模

27、型中，我們需要為每種證券估計在雙因素模型中，我們需要為每種證券估計4個參個參數(shù)數(shù)：i， i1， i2以及隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差it。對每個因素，需要估計兩個參數(shù)：因素的預(yù)期值以及因素的方差和。此外還要估計兩個因素的協(xié)方差此外還要估計兩個因素的協(xié)方差cov(F1, F2)。o 預(yù)期收益率預(yù)期收益率 利用上述估計值，證券i的預(yù)期收益率可以由下式計算得出：o E(Ri) =i +i1 E(F1) +i2 E(F2)o 方差方差 根據(jù)雙因素模型，任意證券i的方差為：o 協(xié)方差協(xié)方差 根據(jù)雙因素模型，同樣可以計算出任意兩種證券i和j的協(xié)方差為：22111222112112()ov(,)ijijFijFijij

28、CF F 222222112212122(,)iiFiFiiiCov F F 利用多元線性回歸分析的知識和前面的例子，把G和I的影響都考慮在內(nèi)，得到iiiGiIirGIe線性回歸后可算出，用第六年的實(shí)際數(shù)據(jù)代入，可算得公司的預(yù)期收益的風(fēng)險補(bǔ)償是10%。則企業(yè)非系統(tǒng)性因子所產(chǎn)生的影響是。7 . 0, 2 . 2%,8 . 5iIiGi222222),cov(2ieiIiGIiIGiGiIG此時公司收益率的方差為 在多因素模型中，一個組合對某一因素的敏感性是對所含證券的敏感性的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)為投資于各證券的比例。方程背后的假設(shè)是：方程背后的假設(shè)是： 1.證券收益率有數(shù)量相對較少的共同因素產(chǎn)生； 2

29、.不同股票對各個因素有不同的敏感度，即系數(shù)； 3.各個公司的特有風(fēng)險部分不相關(guān)，因而是可分散的。 多多因素模型的一般式是因素模型的一般式是 1122.itiitititRFF多因子模型：一般化的描述多因子模型：一般化的描述問題的一般化問題的一般化1122iiiiirFFe1122( )()()iiiiE rE FE F0)(ieEcov( ,)0ije Fjieeji , 0),cov(設(shè)122222221212122cov(,)iiiiiieFFF F 12221122122112()cov(,)ijijijijijFFF F 對共同因素的解釋對共同因素的解釋-共同因素可被看作有關(guān)宏觀經(jīng)濟(jì)變

30、量的新信息的代表。新信息：由于它代表新的信息，它們的均值一般為零。因而可被看作證券的期望收益。代表（proxy）：共同因素是宏觀經(jīng)濟(jì)變量的可觀測指標(biāo)，而非宏觀經(jīng)濟(jì)變化因素本身。例如，美國勞工部的就業(yè)報告，貿(mào)易赤字，石油價格等。-總之，共同因素是對范圍廣闊的市場指數(shù)的收益率而非只對單個股票產(chǎn)生影響的經(jīng)濟(jì)變量。因素估計方法總結(jié)因素估計方法總結(jié)估計方法估計方法優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)缺點(diǎn)因因素素分分析析根據(jù)項(xiàng)因素分析這樣的統(tǒng)計過程來確定因素組合。因素組合為模仿各因素的證券組合。在給定的假設(shè)條件下能根據(jù)歷史收益率得到最好的因素估計關(guān)于協(xié)方差不隨時間變化的假設(shè)是關(guān)鍵，且在現(xiàn)實(shí)中可能被破壞；不能“指定”因素，音素的經(jīng)

31、濟(jì)學(xué)含義不明確。宏宏觀觀經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)變變量量挑選反映生產(chǎn)力、利率和通脹變化的宏觀經(jīng)濟(jì)時間序列作為因素的代表。e.g.五因素（p185）提供關(guān)于因素的最直觀的解釋假定最合適的因素是宏觀經(jīng)濟(jì)變量的非預(yù)期變化。宏觀經(jīng)濟(jì)變量（如總生產(chǎn)力和通脹）的非預(yù)期變化可能難以度量難以度量、甚至難以難以量化量化。 估計方法估計方法優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)缺點(diǎn)公司特點(diǎn)利用公司的特點(diǎn)，如公司規(guī)模、市凈率等，選取股票來構(gòu)造因素投資組合比因素分析法直觀；并不要求協(xié)方差為不時變的常數(shù)。如根據(jù)過去反常的收益率選擇因素的投資組合，能解釋歷史的“意外情況”。在解釋未來的期望收益時未必有效。（APT成立時與不成立時的情況）因素模型與系數(shù)11111,

32、.KpppjjpjNpi iiNpiiiNpjijiNpiiiRFRx rxxx1.對因素系數(shù)的直觀認(rèn)識2.資產(chǎn)組合的多因素模型。若資產(chǎn)組合遵循K因素模型（見下），且資產(chǎn)組合有N種證券組成，則組合的收益率由右式?jīng)Q定。1KiiijjijrF利用因素模型計算協(xié)方差和方差依據(jù)多因素模型的因素系數(shù)計算協(xié)方差11121( ,)(,) ( ,)0, (,)0 , , (),/*Result 6.3*/()( )./*Result 6.4*/KKijijiimmijjnnjmnijmnKijimjmmmKiimmimCov r rCovFFif CovCov FFwhen ij mnthenVar FVar

33、 FVari 11 (,)0 ,(,)mnKKijimjnmnmnf Cov FFwhen mnCov FF 因素模型與證券收益率之間的相關(guān)性：在多因素模型中，因素系數(shù)的結(jié)構(gòu)相似的證券或證券組合的收益率高度相關(guān)，而那些因素結(jié)構(gòu)不同的證券彼此的相關(guān)性可能較低。因素模型在均方差分析中應(yīng)用：與CAPM比較，對一個有N個證券組成的組合來說，CAPM需要計算N+N*(N-1)/2的方差與協(xié)方差，而K因素模型需計算K*N個系數(shù)，外加K個因素方差和N個殘差方差。由于KN，N(K+1)*(N+1)-1N*(N+1)/2N2。計算量大大減小。因素模型與追蹤投資組合依據(jù)因素模型設(shè)計擁有特定系數(shù)結(jié)構(gòu)的資產(chǎn)組合，來追

34、蹤某種資產(chǎn)、負(fù)債或投資組合的風(fēng)險收益關(guān)系。追蹤投資組合與公司套期保值。通過賣空追蹤公司股票對風(fēng)險源的敏感度()的投資組合，公司可以對沖掉這些風(fēng)險。i=i1+i2=0。這種套期保值操作未必要公司本身操作，投資者可以DIY。公司的資本分配決策與追蹤投資組合。公司通過將資本分配到最有價值的投資項(xiàng)目來最大化公司的價值。追蹤投資組合可以當(dāng)作衡量相應(yīng)投資項(xiàng)目價值的標(biāo)桿。設(shè)計追蹤投資組合具體步驟：1.確定相關(guān)因素的數(shù)量；2.利用第五節(jié)中的三種方法之一求解因素，并計算系數(shù)。3.為每個因素系數(shù)構(gòu)造一個方程。方程的左半部分是投資組合中各證券權(quán)重的函數(shù)（各證券的系數(shù)根據(jù)權(quán)重相加），方程的右半部分追蹤投資組合的因素系

35、數(shù)。4.求解方程，得到追蹤投資組合中各證券的權(quán)重。構(gòu)建K因素模型的追蹤投資組合，需要至少K+1種證券。純因素投資組合可看作一種特殊的追蹤投資組合。注意：計算時假定風(fēng)險可分散的殘差項(xiàng)為零，這意味著追蹤投資組合通過K+1種已分散風(fēng)險的投資組合構(gòu)建。第五節(jié)套利定價理論第五節(jié)套利定價理論一、套利理論提出的背景CAPM基于眾多的假設(shè)，其中的一些假設(shè)與現(xiàn)實(shí)不相吻合，而且檢驗(yàn)CAPM時，難以得到真正的市場組合，致使CAPM不易被檢驗(yàn)；一些經(jīng)驗(yàn)結(jié)果與CAPM相悖。 Stephen Ross在1976年提出了一種新的資本資產(chǎn)均衡理論即套利定價理論（APT)。由于該理論認(rèn)為風(fēng)險可由幾個因子產(chǎn)生，而不象CAPM那樣

36、基于一個風(fēng)險因子，這與許多經(jīng)驗(yàn)結(jié)果相吻合。并且，CAPM是APT的一個特例。APT的假定又大大少于CAPM的假定，市場組合在APT中不起作用，致使APT比CAPM容易檢查。因此APT成為CAPM的一個較好的替代理論。二、二、APTAPT模型的假設(shè)模型的假設(shè)投資者是回避風(fēng)險的，且以效用最大化為目標(biāo) 存在一個完全競爭的資本市場，不考慮交易成 本因素的影響 當(dāng)投資者具有在不增加風(fēng)險的前提下提高回 報率的機(jī)會時，每個人都會利用這個機(jī)會，即個體是非滿足的。 證券種類眾多，并且彼此之間相互獨(dú)立投資者認(rèn)為任何一種證券的收益率都是一個線 性函數(shù) 而APT模型不需要以下的假設(shè)條件不需要以下的假設(shè)條件：o 單一投

37、資期o 不存在稅的問題o 投資者能以無風(fēng)險利率自由地借入和貸出資金o 投資者以回報率的均值和方差選擇投資組合o 對投資者的偏好和效用沒有假設(shè)對投資者的偏好和效用沒有假設(shè)對于一個充分分散化的投資組合P來說，其收益率和方差為FrErppp)(222Fpp 從而得到單因子模型的重要性質(zhì)： 1、有關(guān)證券組合邊界的計算量大大減少；、有關(guān)證券組合邊界的計算量大大減少； 2、分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化；、分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化； 3、分散化縮小非因子風(fēng)險。、分散化縮小非因子風(fēng)險。 （一）充分分散的投資組合與套利定價理論如果有兩個充分分散化的投資組合和，若BA就必定有)()(BArErE，否則要出現(xiàn)套利機(jī)

38、會。例如，若1BA%8)(%,10)(BArErE我們賣空價值100萬元的組合，同時將這賣空所得的100萬元投資于組合，就能套取2萬元的無風(fēng)險利潤。算式如下：到期多頭的收益100)0 . 1%10(F100)0 . 1%8(F2100%2 到期空頭的支付凈利潤單單因素資產(chǎn)定價線因素資產(chǎn)定價線1()ififrrr 0BiirAAB1（二）單個資產(chǎn)與套利定價理論o 假定投資者擁有3種證券，他所持的每種證券當(dāng)前的市值為4000000美元。這三種證券具有如下的預(yù)期回報率和敏感性。這樣的預(yù)期回報率與因素敏感性是否代表一個均衡狀態(tài)？I預(yù)期收益率ri %敏感因子bi證券1150.9證券2213.0證券312

39、1.8iiiieFbaro 套利組合（0.1，0.075，-0.175）o 預(yù)期收益為15%*0.1+21%*0.075+12%*9-0.175）=0.975%o 該套利組合包括購買1200元證券1和900元的證券2，賣空2100元的證券3.1231230.93.01.801521120 xxxxxx（三）套利定價理論與資本資產(chǎn)定價模型o 買賣行為導(dǎo)致套利機(jī)會減少最終消失，如果找不到滿足滿足預(yù)期收益率大于0的資產(chǎn)組合，此時存在非負(fù)的常數(shù)0 1 ，使得預(yù)期回報率和敏感性之間滿足如下線形關(guān)系。o 對于一個純因素組合，000,ifri的資產(chǎn)有r因此1011r 1()iffirrr111 pppffr

40、rrr則三、套利定價模型的意義o 套利機(jī)制是實(shí)現(xiàn)金融市場均衡的重要機(jī)制o 唯一價格定律與套利交易密切相關(guān)o 期望收益取決于對風(fēng)險因素的敏感性。三、套利機(jī)會三、套利機(jī)會 如果一種投資能夠立即產(chǎn)生正的收益而在將來不需要有任何支付（不管是正的還是負(fù)的），我們稱這種投資為第一類的套利機(jī)會。 如果一種投資有非正的成本，但在將來，獲得正的收益的概率為正，而獲得負(fù)的收益（或者說正的支出）的概率為零，我們稱這種投資為第二類的套利機(jī)會。 任何一個均衡的市場，都不會存在這兩種套利機(jī)會！ 無套利均衡分析方法無套利均衡分析方法是現(xiàn)代金融學(xué)研究的基本方法，其關(guān)鍵技術(shù)是組合復(fù)制技術(shù)。上述概念說明復(fù)制可以從正反兩個方向來做

41、：o復(fù)制未來的現(xiàn)金流，同時檢查目前是否有價格失衡的套利機(jī)會；o也可以是現(xiàn)在的價格相等，復(fù)制未來在任何情況下都產(chǎn)生更為有利的現(xiàn)金流，或者未來在任何情況下都產(chǎn)生更為不利的現(xiàn)金流。o無論是都有利還是都不利都會產(chǎn)生套利機(jī)會，但必須是在任何情況下都有利或都不利。單因素的套利定價模型中先有這樣的關(guān)系iiiieFrEr)()( , 0),cov(, 0),cov(jieeFejii其中是隨機(jī)變量，是第項(xiàng)金融工具的實(shí)際實(shí)現(xiàn)的收益率，是宏觀經(jīng)濟(jì)因子的實(shí)際值， ，是企業(yè)所特有原因?qū)λl(fā)行的金融工具的收益所造成的擾動，且 ， 是第項(xiàng)金融工具的收益率對宏觀經(jīng)濟(jì)因子的敏感度。iieFr,iF0)(FE0)(ieEiei

42、iFir四、單因素的套利定價理論四、單因素的套利定價理論現(xiàn)在看一個非系統(tǒng)風(fēng)險被充分分散化掉的投資組合。在這個組合里，項(xiàng)金融工具的權(quán)重為于是組合的收益率為n1, 1,1niiiwniwppppeFrEr)(其中niiipw1niiipewe1組合的方差為)(2222PFppe其中)()(1222niiipewe為了分析簡單起見，假定組合中各項(xiàng)金融工具的權(quán)重相等，即有。于是有ninwi, 1,1)(0)()(1)()(2121222nnenenneeiniiniip 即增加分散化能縮減總風(fēng)險即增加分散化能縮減總風(fēng)險。導(dǎo)致這個結(jié)果的原因在于，增加證券組合中證券的種類時，證券組合的市場風(fēng)險（因子風(fēng)險）

43、近似保持不變，而證券組合的非因子風(fēng)險卻顯著減小。 因此，對于一個充分分散化的投資組合P來說，其收益率和方差為FrErppp)(222Fpp 從而得到單因子模型的重要性質(zhì)： 1、有關(guān)證券組合邊界的計算量大大減少；、有關(guān)證券組合邊界的計算量大大減少； 2、分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化；、分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化； 3、分散化縮小非因子風(fēng)險。、分散化縮小非因子風(fēng)險。 如果有兩個充分分散化的投資組合和，若BA就必定有)()(BArErE，否則要出現(xiàn)套利機(jī)會。例如，若1BA%8)(%,10)(BArErE我們賣空價值100萬元的組合，同時將這賣空所得的100萬元投資于組合，就能套取2萬元的無風(fēng)險利潤。算

44、式如下：到期多頭的收益100)0 . 1%10(F100)0 . 1%8(F2100%2 到期空頭的支付凈利潤 但對于有不同值的充分分散化的投資組合，其預(yù)期收益率中風(fēng)險補(bǔ)償必須正比于值，不然也將發(fā)生無風(fēng)險套利。 結(jié)論：如果兩個充分分散化的投資組合有相同的值，如果兩個充分分散化的投資組合有相同的值，它們在市場中必定有相同的預(yù)期收益它們在市場中必定有相同的預(yù)期收益。與宏觀因子有關(guān)的 值風(fēng)險補(bǔ)償1.00.5ADC1076%4frr若把有風(fēng)險市場組合看作一個充分分散化的投資組合，再以有風(fēng)險市場組合的未預(yù)期到的收益變化作為系統(tǒng)風(fēng)險的度量。有風(fēng)險市場組合的值當(dāng)然為，因?yàn)楫a(chǎn)生系統(tǒng)風(fēng)險市場組合的值當(dāng)然為，因?yàn)?/p>

45、產(chǎn)生系統(tǒng)風(fēng)險的因子就是它本身風(fēng)險的因子就是它本身。 代表有風(fēng)險市場組合的值( )和預(yù)期收益率之間的關(guān)系的點(diǎn)也落在圖中的直線上，于是對任意充分分散化的投資組合，其預(yù)期收益率和值的關(guān)系就可表示成1M)()(fMPfPrrErrEQfQPfPrrErrE)()(KrrErrEjfjifi)()(對單個證券來說，套利定價理論要告訴我們的是：對于組合中的任意兩項(xiàng)不同的證券來說，同樣的關(guān)系式幾乎也成立。即對任兩項(xiàng)不同的金融工具和，有ijKrrEifi)(此處是對幾乎所有的證券都一樣的一個常數(shù)。從而對于任意組合中的金融工具，有i所以對任何充分分散化的投資組合，就一定有111()( )nnnPiifiiifp

46、iiiE rwE rrwKwrK亦即有KrrEPfP)(對所有充分分散化的投資組合來說，都是相同的。第六節(jié)多因子的套利定價理論第六節(jié)多因子的套利定價理論再來討論二因子的套利定價模型，然后推廣到一般的情況。兩個宏觀因子的模型如下：1122( )iiiiirE rFFe其中是隨機(jī)變量，是第項(xiàng)金融工具的實(shí)際實(shí)現(xiàn)的收益率，是宏觀經(jīng)濟(jì)因子的實(shí)際值，是企業(yè)所特有原因?qū)λl(fā)行的金融工具的收益所造成的擾動， 是第項(xiàng)金融工具的收益率對第個宏觀經(jīng)濟(jì)因子的敏感度。且，iieFFr,21iir0)(jFE0)(ieEieijij21,FF)( , 0),cov(, 0),cov(, 0),cov(21jieeFeFF

47、jiji由證券組合的定義1npi iirr則11221112211111122()()()()()npiiiiiinnnniiiiiii iiiiipppprFFeFFeFFe 其中11112211nnpiipiiiinnpiipiiiiee 多因子模型具有和單因子模型一樣的重要性質(zhì)： 1、有關(guān)證券組合邊界的計算量大大減少；有關(guān)證券組合邊界的計算量大大減少； 2、分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化；分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化； 3、分散化縮小非因子風(fēng)險。分散化縮小非因子風(fēng)險。 比如有因子組合和，前者的預(yù)期收益率為后者的預(yù)期收益率為 。設(shè)無風(fēng)險利率為 ，則因子組合的風(fēng)險補(bǔ)償為 ，因子組合的風(fēng)險補(bǔ)償為8%

48、101%122%4fr%6%4%10先引入因子組合因子組合的概念。因子組合是非系統(tǒng)風(fēng)險已經(jīng)因子組合是非系統(tǒng)風(fēng)險已經(jīng)充分分散化而消除掉的組合，對其中一個因子的值為充分分散化而消除掉的組合，對其中一個因子的值為而對其它的值為而對其它的值為。這種因子組合的構(gòu)造在實(shí)際中是可行的，因?yàn)橛袃r證券的種類很多而因子的數(shù)量又非常有限。多因子證券市場線中，因子組合將起到基準(zhǔn)的作用。對任一個充分分散化的投資組合，它對兩個宏觀因子的值分別為和。多因子的套利定價理論指出，投資組合的總風(fēng)險補(bǔ)償應(yīng)當(dāng)是投資者承受這兩種宏觀因子的系統(tǒng)風(fēng)險所應(yīng)得到的風(fēng)險補(bǔ)償之和。而每種宏觀因子的系統(tǒng)風(fēng)險補(bǔ)償?shù)扔谙鄬τ谠撘蜃拥闹党艘韵鄳?yīng)因子組合的

49、風(fēng)險補(bǔ)償，即5 . 01A75. 02A%9%875. 0%65 . 0)()(2211fAfArr于是，投資組合的預(yù)期收益率就是無風(fēng)險收益率加上總的風(fēng)險補(bǔ)償為13%如果投資組合的預(yù)期收益率不等于13%，例如是12%，則可以構(gòu)筑如下的組合頭寸：取權(quán)重為50%的因子組合，權(quán)重為75%的因子組合，再加上權(quán)重為-25%的無風(fēng)險證券，構(gòu)成一個新的組合，這個組合的預(yù)期收益率為0.5x10%+0.75x12%-0.25x4%=13%。同時構(gòu)筑這個組合的多頭和組合的空頭，就能套取無風(fēng)險利潤。算式如下：這是零投資組合能套取無風(fēng)險利潤的情形。到期套利組合多頭的收益到期組合空頭的支付凈利潤 1%2175. 05

50、. 0%13FF)75. 05 . 0%12(21FF從這個簡單的例子可以發(fā)現(xiàn)，套利組合是這樣構(gòu)筑的：對于任意一個暴露在和這兩個宏觀因子的系統(tǒng)風(fēng)險下的投資組合，分別以其值 、為權(quán)重選取因子組合和，再加上權(quán)重為 的無風(fēng)險證券。這一組合實(shí)際上復(fù)制了組合，所以組合可由此套利組合給出定價1F2F1P2P211PP)()(2211fpfpfrrrfppppprrE)1 ()(212211再推廣到一般的情況：1( )niiijjijrE rFenjfjpjfprrrE1)()()()()(2211fififirrrrE先推廣到單個證券的情況： 第七節(jié)第七節(jié) APT的理論推導(dǎo)的理論推導(dǎo)（不做考試要求）（不做

51、考試要求）假設(shè)假設(shè)1：市場是完全競爭、無摩擦、無限可分假設(shè)假設(shè)2 2：投資者是非滿足的：當(dāng)投資者具有套利機(jī)會時，他們會構(gòu)造套利證券組合來增加自己的財富。 假設(shè)假設(shè)3 3：所有投資者有相同的預(yù)期：任何證券i的回報率滿足k因子模型： 1( )kiiijjijrE rFe假設(shè)假設(shè)5 5：市場上的證券的種類遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于因子的數(shù)目k。假設(shè)假設(shè)4： 0, cov( ,)0, cov( ,)0, ()iijijE ee Fe eij 注：因子模型說明，所有具有等因子敏感度的證券注：因子模型說明，所有具有等因子敏感度的證券（組合），除去非因子風(fēng)險外，其行為是一致的（組合），除去非因子風(fēng)險外，其行為是一致的。因此，

52、所有具有等因子敏感度的證券（組合）的期因此，所有具有等因子敏感度的證券（組合）的期望回報率是一樣的，否則，就會存在第二類套利機(jī)望回報率是一樣的，否則，就會存在第二類套利機(jī)會，投資者就會利用它，直到消除這類風(fēng)險為止。會，投資者就會利用它，直到消除這類風(fēng)險為止。定義定義6.3 如果一個證券組合滿足下列三個條件： 1、初始價格為零；、初始價格為零； 2、對因子的敏感度為零；、對因子的敏感度為零； 3、期望回報率為正。、期望回報率為正。 我們稱這種證券組合為套利證券組合套利證券組合。 若證券市場處于一個均衡狀態(tài)，在這時的證券市場若證券市場處于一個均衡狀態(tài)，在這時的證券市場里，不需要成本、沒有因子風(fēng)險的

53、證券組合，其期望里，不需要成本、沒有因子風(fēng)險的證券組合，其期望回報率必為零回報率必為零。 我們選擇證券組合（1，2，n ），使得其成本為零，即10nii（6.1）該證券組合的回報率為111111 nnnnpiiiiiikki iiiiirE rFFe 為了得到無風(fēng)險的證券組合，我們必須消除因子風(fēng)險和非因子風(fēng)險。滿足下面三個條件的證券組合符合這一要求： （1）所選的每個權(quán)i充分小； （2）所包括的證券種類盡量多； （3）對每個因子而言，所選的權(quán)使得證券組合的因子敏感度為零。 用數(shù)學(xué)式子表示，這些條件是 （1）i1n （2）n是一個很大的數(shù) （3）對每個因子而言，111111 nnnpiiiiii

54、kkiiiniiirE rFFE r 從而10niiki （6.2） 在我們構(gòu)造的證券組合的過程中，投資者既不需要成本，也不承擔(dān)風(fēng)險，如果構(gòu)造的證券組合的回報率不為零，它就是一個套利證券組合，當(dāng)市場達(dá)到均衡時，這是不可能的。因此， 滿足上述條件的組合，其回報率一定為零，即1 0npiiirE r（6.3） 將（6.1）、 （6.2）、 （6.3）的內(nèi)容用數(shù)學(xué)語言加以描述如下：如果1211(,)01Tn 1212(,)0jjTnjkj 成立則一定有1212 (,)0 TnnE rE rE r 由Farkas引理，期望回報率向量一定可以表示成單位常向量和因子敏感度向量的線性組合，即存在k+1個常數(shù)

55、 ，使得01,k011 jjkjkE r （6.4）Farkas引理 設(shè)A為mn矩陣，c為n維向量，則有解的充要條件是 無解0,0TAxc x,0TA ycy如果存在無風(fēng)險證券，其回報率為 ，顯然fr0fr 假設(shè) 是對第j個因子有單位敏感度但對其他的因子敏感度為零的證券組合的期望回報率，則由（6.4）有jjjfr1( )()kifijjfjE rrr 即APT可以表示為套利機(jī)會存在的條件（或套利組合的建立）套利機(jī)會存在的條件（或套利組合的建立）o 設(shè)市場有N種證券，Wi表示投資者對證券持有權(quán)數(shù)的變化根據(jù)套利的定義，套利有自融資功能，套利組合中買入證券所需資金由證券獲得。o 根據(jù)套利的定義，如果

56、套利機(jī)會存在，套利組合不承擔(dān)風(fēng)險，對任何因素的敏感性為零，o 即 ，J=1,2,.K N需大于J，o 根據(jù)套利的定義，套利須獲得非負(fù)的收益。 0PJb123.00,1,2,3,.npjwwwwjkW112+ W222+ W 332+ W NN2=0W111+ W221+ W 331+ W NN1=0 W11K+ W22K+ W 33K+ W NNK=0第一個條件第一個條件：第二個條件：第二個條件： 即：即：這時滿足這兩個等式的任何一組解將成為潛在的套利組合，即滿足自融資和無風(fēng)險套利條件。o 因此，當(dāng)一個組合滿足上述三個方程時，便因此，當(dāng)一個組合滿足上述三個方程時，便存在一個能獲得不承擔(dān)風(fēng)險的正

57、的收益的套存在一個能獲得不承擔(dān)風(fēng)險的正的收益的套利組合。利組合。231 123.0nnwrw rw rw r第三個條件：第三個條件：o 當(dāng)套利機(jī)會不存在時，市場均衡。那么，當(dāng)各種證券的期望收益處于什么狀態(tài)時，沒有套利機(jī)會呢？即各種證券的期望收益處于什么狀態(tài)時，上述三個方程的聯(lián)立解不存在呢？o 且僅當(dāng)期望收益率是敏感性的線性函數(shù)時，上述三個方程的聯(lián)立解不存在，即不存在套利機(jī)會，這時市場達(dá)到均衡。即有：套利定價方程套利定價方程o E(ri)= 01i1+2i2 +.Kiko ik是第i個證券第k個因素的敏感度。如果市場有無風(fēng)險資產(chǎn)，上式為：o E(ri)= rf1i1+2i2 +.Kik 是因素組

58、合的風(fēng)險補(bǔ)償：jjfr jo 投資組合的總的風(fēng)險補(bǔ)償應(yīng)當(dāng)是投資者承受宏觀因素的系統(tǒng)風(fēng)險所應(yīng)得到的風(fēng)險補(bǔ)償?shù)暮?。而每種宏觀因素的系統(tǒng)風(fēng)險的補(bǔ)償?shù)扔谙鄬τ谠撘蛩氐闹党艘砸蛩亟M合的風(fēng)險補(bǔ)償。o 因此，套利定價方程的一般形式是：1122( ).ifififikkfErrrrr 舉例：單因素套利組合o 假定投資者擁有3種證券，他所持的每種證券當(dāng)前的市值為4000000美元。這三種證券具有如下的預(yù)期回報率和敏感性。這樣的預(yù)期回報率與因素敏感性是否代表一個均衡狀態(tài)？I預(yù)期收益率ri %敏感因子bi證券1150.9證券2213.0證券3121.8iiiieFbaro 套利組合（0.1，0.075，-0.175

59、）o 買賣行為導(dǎo)致套利機(jī)會減少最終消失，如果找不到滿足滿足預(yù)期收益率大于0的資產(chǎn)組合，此時存在非負(fù)的常數(shù)0 1 ，使得預(yù)期回報率和敏感性之間滿足如下線形關(guān)系1011r 1()iffirrr1231230.93.01.801521120 xxxxxx單單因素資產(chǎn)定價線因素資產(chǎn)定價線1()ififrrr 0BiirAAB1舉例：多因素套利組合舉例：多因素套利組合o 假定證券的回報率可由兩個因素模型產(chǎn)生：o 4種證券具有如下的預(yù)期回報率和敏感性：iiiiieFbFbar2211ibi1%bi2證券1150.92.0證券2213.01.5證券3121.80.7證券482.03.2iro 套利組合(0.

60、1，0.088，-0.108，-0.08)123412340.931.82021.50.73.20 xxxxxxxx081221154321xxxxn通過購買證券1和2，同時出售證券3和4，使得證券1和2價格上漲，3和4價格下跌，推動市場均衡。即當(dāng)滿足前面三個等式的組合的預(yù)期回報率為0，均衡達(dá)到。o 如果找不到滿足滿足預(yù)期收益率大于0的資產(chǎn)組合，此時存在非負(fù)的常數(shù)0 1 2，使得預(yù)期回報率和敏感性之間滿足如下線形關(guān)系：01122iiir 第八節(jié)第八節(jié) APT與與CAPM的區(qū)別和聯(lián)系的區(qū)別和聯(lián)系o APT與CAPM最根本的區(qū)別最根本的區(qū)別在于， CAPM是典型的收益/風(fēng)險權(quán)衡所主導(dǎo)的市場均衡，A

61、PT特別強(qiáng)調(diào)的是無套利均衡原則。 o 無風(fēng)險套利機(jī)會建立市場均衡價格和收益/風(fēng)險權(quán)衡關(guān)系建立市場價格均衡關(guān)系有著本質(zhì)區(qū)別本質(zhì)區(qū)別：o 收益/風(fēng)險權(quán)衡關(guān)系所主導(dǎo)的市場價格均衡，一旦價格失衡，就會有許多投資者調(diào)整自己的投資組合來重建市場均衡，但每個投資者只對自己的頭寸作有限范圍的調(diào)整。o 套利則不然，一旦出現(xiàn)套利機(jī)會，每一個套利者都會盡可能大的構(gòu)筑頭寸，因此從理論上來講，只需少數(shù)幾位（甚至只需一位 ）套利者就可以重建市場均衡。o CAPM是典型的收益/風(fēng)險權(quán)衡所主導(dǎo)的市場均衡，每一位投資者都按照自己的收益/風(fēng)險偏好選擇有效組合邊界上的投資組合。如果市場組合中的某一項(xiàng)證券價格失衡，資本市場線就會發(fā)生

62、移動，所有投資者都會吸納價植被低估的證券而拋出價值被高估的證券。o 所以重建市場均衡的力量來自于許多投資者重建市場均衡的力量來自于許多投資者共同行為共同行為。o CAPM對證券回報率的分布和個體效用函數(shù)做對證券回報率的分布和個體效用函數(shù)做出假設(shè)出假設(shè)，APT沒有相應(yīng)的假設(shè)，但但APT假設(shè)證假設(shè)證券的回報率是由因子模型產(chǎn)生的券的回報率是由因子模型產(chǎn)生的；o CAPM中證券價格依賴于市場證券組合的回報率，為了定價首先必須給出市場組合回報率的估計，而在APT中證券價格依賴于因子的回報率中證券價格依賴于因子的回報率，為了定價必須首先給出因子回報率的估計。o 單因子模型211),cov()(MMfMrF

63、rro 兩因子模型211),cov()(MMfMrFrr222),cov()(MMfMrFrr存在一種經(jīng)濟(jì)環(huán)境，此時存在一種經(jīng)濟(jì)環(huán)境，此時APT的假設(shè)成立，證券的假設(shè)成立，證券的回報率由因子模型生成，同時，有關(guān)的回報率由因子模型生成，同時，有關(guān)CAPM的的假設(shè)也成立，假設(shè)也成立，APT與與CAPM是一致的是一致的 三種模型的比較三種模型的比較 1、CAPM和單指數(shù)模型在本質(zhì)上是一樣的和單指數(shù)模型在本質(zhì)上是一樣的 但CAPM要求有一個有風(fēng)險市場組合，而單指數(shù)模型是利用一個在實(shí)際中與理論的有風(fēng)險市場組合完全正相關(guān)的綜合指數(shù)來代替實(shí)際不存在的有風(fēng)險市場組合，故在實(shí)際的投資策略的制定中，單指數(shù)模型是有

64、真正的實(shí)用價值； 2 2、APTAPT強(qiáng)調(diào)的是無套利原則強(qiáng)調(diào)的是無套利原則 它的出發(fā)點(diǎn)是排除無風(fēng)險套利機(jī)會，少數(shù)投資者會構(gòu)筑大額的套利頭寸產(chǎn)生巨大的市場壓力來重建均衡，它的成立只需要有充分分散化的投資組合，不象單指數(shù)模型一定要有對有風(fēng)險市場組合有替代作用的市場指數(shù)； 3 3、CAPMCAPM則是典型的收益風(fēng)險權(quán)衡所主導(dǎo)的則是典型的收益風(fēng)險權(quán)衡所主導(dǎo)的市場均衡市場均衡，是許多投資者的行為共同作用的結(jié)果，它的成立依賴許多嚴(yán)格的假設(shè)條件； 4 4、APTAPT的定價并不是對所有的證券都成立的的定價并不是對所有的證券都成立的，由于它只強(qiáng)調(diào)無套利原則，而且這種無套利均衡定價是通過對充分分散化的投資組合的

65、分析得出的，所以對有的單項(xiàng)資產(chǎn)其定價結(jié)論不成立，故所以對有的單項(xiàng)資產(chǎn)其定價結(jié)論不成立，故實(shí)踐中實(shí)踐中APTAPT主要對組合投資決策起支持作用主要對組合投資決策起支持作用； 5、單項(xiàng)資產(chǎn)在市場上定價失衡時，在、單項(xiàng)資產(chǎn)在市場上定價失衡時，在CAPM的的條件下，所有的投資者都會同時調(diào)整自己的頭寸來?xiàng)l件下，所有的投資者都會同時調(diào)整自己的頭寸來重建均衡重建均衡。因此對單項(xiàng)資產(chǎn)的定價，CAPM和單指數(shù)模型則有更廣泛的應(yīng)用，從而CAPM的那些有關(guān)市場的條件也是我們必須加以考慮的； 6、CAPM是是APT的特例，因?yàn)榈奶乩?，因?yàn)镃APM是單因子的，是單因子的，一般所指的一般所指的APT是多因子的。實(shí)質(zhì)上，是

66、多因子的。實(shí)質(zhì)上，CAPM也有也有多因子的推廣結(jié)果。多因子的推廣結(jié)果。 另外，在使用APT時，還有一個對宏觀因子的識別問題。不同的研究使用了不同的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。但歸納起來大致有以下三大類： 一是總量經(jīng)濟(jì)活動參數(shù)，如或的增長率、工業(yè)產(chǎn)出、總銷售額等； 二是通貨膨脹率； 三是與市場利率有關(guān)的參數(shù)如利率差或利率本身等。套利定價理論的經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn) 公司規(guī)模、市凈率等對證券價格的影響是由于心理行為的影響還是由一些被研究者忽略的因素導(dǎo)致，這一爭論還沒有定論。因?yàn)?，多因素套利定價理論的經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)不如CAPM理論那樣完善。下面是關(guān)于經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)的文獻(xiàn)綜述。 APT理論的檢驗(yàn)分析了三個推論三個推論：1所有因素值等于0的投資組合的預(yù)期收益率為無風(fēng)險收益率。2證券的預(yù)期收益率的增長與特定的因素值的增長呈線性相關(guān)。3除了因素系數(shù)之外，沒有其他任何股票的特征能夠決定預(yù)期收益率。套利定價理論的經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)來自因素分析研究的證據(jù)：來自因素分析研究的證據(jù)：開端開端：Roll and Ross, 1980。分析具有非零風(fēng)險溢價的因素個數(shù)。結(jié)論：至少有三個風(fēng)險因素，但不會超過四個。發(fā)展發(fā)展：Chen, 1983：在控制了不同規(guī)模的公司