2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 立體幾何 課后綜合提升練 1.3.2 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 文.doc

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第二講　點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 (40分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.給出下列命題: ①在空間中,垂直于同一個平面的兩個平面平行; ②設(shè)l,m是不同的直線,α是一個平面,若l⊥α,l∥m,則m⊥α; ③過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直; ④a,b是兩條異面直線,P為空間中一點(diǎn),過點(diǎn)P總可以作一個平面與a,b之一垂直,與另一個平行. 其中正確命題的個數(shù)是 (　　) A.0 　 B.1 C.2　 D.3 【解析】選C.對于①,借助正方體模型可知錯誤;對于②,若l⊥α,l∥m,則m⊥α,顯然②正確;對于③,顯然過一點(diǎn)必存在一條直線與已知平面垂直,如果過一點(diǎn)能夠作兩條直線與已知平面垂直,則根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理可知,這兩條直線平行,但根據(jù)已知這兩條直線相交,所以③正確;對于④,當(dāng)異面直線a,b垂直時才可以作出滿足要求的平面,所以④錯誤. 2.如圖,透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水,固定容器底面一邊BC于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面四個命題: ①沒有水的部分始終呈棱柱形; ②水面EFGH所在四邊形的面積為定值; ③棱A1D1始終與水面所在平面平行; ④當(dāng)容器傾斜如圖所示時,BEBF是定值. 其中正確命題的個數(shù)是 (　　) A.1 　 B.2 C.3 　 D.4 【解析】選C.由題圖,顯然①是正確的,②是錯誤的; 對于③,因為A1D1∥BC,BC∥FG, 所以A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH, 所以A1D1∥平面EFGH(水面). 所以③是正確的; 對于④,因為水是定量的(定體積V), 所以S△BEFBC=V,即12BEBFBC=V. 所以BEBF=2VBC(定值),即④是正確的,故選C. 3.將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖2),則在空間四面體ABCD中,AD與BC的位置關(guān)系是 (　　) A.相交且垂直　 B.相交但不垂直 C.異面且垂直　 D.異面但不垂直 【解析】選C.在題圖1中的等腰直角三角形ABC中,斜邊上的中線AD就是斜邊上的高,則AD⊥BC,翻折后如題圖2,AD與BC變成異面直線,而原線段BC變成兩條線段BD,CD,這兩條線段與AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,且BD∩CD=D,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC. 4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1D1,A1C1的中點(diǎn),則異面直線AE和CF所成的角的余弦值為 (　　) A.32 　 B.33010 C.3010 　 D.12 【解析】選C.如圖,設(shè)正方體的棱長為a,取線段AB的中點(diǎn)M,連接CM,MF,EF.則MF∥AE,所以∠CFM即為所求角或所求角的補(bǔ)角.在△CFM中,MF=CM=52a,CF=62a,根據(jù)余弦定理可得cos ∠CFM=3010,所以可得異面直線AE與CF所成的角的余弦值為3010. 5.如圖,已知一個八面體的各條棱長均為1,四邊形ABCD為正方形,則下列命題中的假命題是 (　　) A.不平行的兩條棱所在的直線所成的角是60或90 B.四邊形AECF是正方形 C.點(diǎn)A到平面BCE的距離為64 D.該八面體的頂點(diǎn)在同一個球面上 【解析】選C.因為八面體的各條棱長均為1,四邊形ABCD為正方形,相鄰兩條棱所在的直線所成的角是60,而AE與CE所成的角為90,A正確;四邊形AECF各邊長均為1,AC=EF=2,所以四邊形AECF是正方形,B正確;DB=2,該八面體的頂點(diǎn)在同一個球面上,D正確;設(shè)A到平面BCE的距離為h,由VE-ABCD=2VA-BCE,得131122=21334h,解得h=63,C錯誤. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知a,b,c為三條不同的直線,且a?平面α,b?平面β,α∩β=c.給出下列命題: ①若a與b是異面直線,則c至少與a,b中的一條相交; ②若a不垂直于c,則a與b一定不垂直; ③若a∥b,則必有a∥c; ④若a⊥b,a⊥c,則必有α⊥β. 正確的是__________________.(填序號) 【解析】①中若c與a,b都不相交,則c∥a,c∥b,故a∥b,這與a與b是異面直線矛盾,①正確; ②中若α⊥β,b⊥c,則b⊥α,b⊥a,這與a與c是否垂直無關(guān),②錯; ③中若a∥b,則a∥β,又α∩β=c,所以a∥c,③正確; ④中當(dāng)b∥c時,α與β可能不垂直,④錯. 答案:①③ 7.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形, AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AA1上,當(dāng)AF=____________時,CF⊥平面B1DF. 【解析】因為B1D⊥平面A1ACC1, 所以CF⊥B1D, 所以為了使CF⊥平面B1DF,只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F), 設(shè)AF=x,則有CD2=DF2+FC2, 所以x2-3ax+2a2=0, 所以x=a或x=2a. 答案:a或2a 8.如圖所示,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分別是AD,BE的中點(diǎn),將三角形ADE沿AE折起,下列說法正確的是____________(填上所有正確的序號). ①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))都有MN∥平面DEC; ②不論D折至何位置都有MN⊥AE; ③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))都有MN∥AB. 【解析】取AE的中點(diǎn)F,連接MF,NF,則MF∥DE,NF∥AB∥CE, 從而平面MFN∥平面DEC, 故MN∥平面DEC,①正確; 又AE⊥MF,AE⊥NF, 所以AE⊥平面MFN, 從而AE⊥MN,②正確; 又MN與AB是異面直線,則③錯誤. 答案:①② 三、解答題(每小題10分,共30分) 9.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,∠BAD=60,E是AD的中點(diǎn),點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上. (1)求證:AD⊥平面PBE. (2)若Q是PC的中點(diǎn),求證:PA∥平面BDQ. 【解析】(1)由E是AD的中點(diǎn),PA=PD可得AD⊥PE. 又底面ABCD是菱形,∠BAD=60, 所以AB=BD, 又E是AD的中點(diǎn), 所以AD⊥BE, 又PE∩BE=E, 所以AD⊥平面PBE. (2)連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接OQ. 因為O是AC的中點(diǎn), Q是PC的中點(diǎn), 所以O(shè)Q∥PA, 又PA?平面BDQ,OQ?平面BDQ, 所以PA∥平面BDQ. 10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,PA⊥BD. (1)求證:PB=PD. (2)若E,F分別為PC,AB的中點(diǎn),EF⊥平面PCD,求三棱錐D-ACE的體積. 【解析】(1)因為底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD且O為BD的中點(diǎn). 又PA⊥BD,PA∩AC=A, 所以BD⊥平面PAC, 由于PO?平面PAC,故BD⊥PO. 又BO=DO,所以PB=PD. (2)如圖,設(shè)PD的中點(diǎn)為Q,連接AQ,EQ,EO, 因為EQ=12CD=AF, 所以AFEQ為平行四邊形, 所以EF∥AQ, 因為EF⊥平面PCD, 所以AQ⊥平面PCD,所以AQ⊥PD, 又PD的中點(diǎn)為Q, 所以AP=AD=2. 由AQ⊥平面PCD,可得AQ⊥CD, 又AD⊥CD,AQ∩AD=A, 所以CD⊥平面PAD, 所以CD⊥PA, 又BD⊥PA,BD∩CD=D, 所以PA⊥平面ABCD. 故VD-ACE=VE-ACD=1312PAS△ACD =131221222=26, 故三棱錐D-ACE的體積為26. 11.如圖,四邊形ABCD為正方形,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=4,AE=2,EF=1. (1)求證:BC⊥AF. (2)若點(diǎn)M在線段AC上,且滿足CM=14CA,求證:EM∥平面FBC. 【解析】(1)因為EF∥AB,所以EF與AB確定平面EABF, 因為EA⊥平面ABCD,所以EA⊥BC. 由已知得AB⊥BC且EA∩AB=A,所以BC⊥平面EABF. 又AF?平面EABF,所以BC⊥AF. (2)如圖,過點(diǎn)M作MN⊥BC,垂足為點(diǎn)N,連接FN,則MN∥AB. 因為CM=14AC, 所以MN=14AB. 又EF∥AB且EF=14AB, 所以EFMN, 所以四邊形EFNM為平行四邊形, 所以EM∥FN. 又FN?平面FBC,EM?平面FBC, 所以EM∥平面FBC. (20分鐘　20分) 1.(10分)已知長方形ABCD中,AB=3,AD=4.現(xiàn)將長方形沿對角線BD折起,使AC=a,得到一個四面體A-BCD,如圖所示. (1)試問:在折疊的過程中,直線AB與CD能否垂直?若能,求出相應(yīng)a的值;若不能,請說明理由. (2)求四面體A-BCD體積的最大值. 【解析】(1)直線AB與CD能夠垂直. 因為AB⊥AD, 若AB⊥CD,AD∩CD=D, 則有AB⊥平面ACD, 從而AB⊥AC. 此時,a=BC2-AB2=16-9=7, 即當(dāng)a=7時,有AB⊥CD. (2)由于△BCD面積為定值, 所以當(dāng)點(diǎn)A到平面BCD的距離最大, 即當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時, 該四面體的體積最大, 此時,過點(diǎn)A在平面ABD內(nèi)作AH⊥BD,垂足為H, 則有AH⊥平面BCD,AH就是該四面體的高. 在△ABD中,AH=ABADBD=125, S△BCD=1234=6, 此時VA-BCD=13S△BCDAH=245, 即為該四面體體積的最大值. 2.(10分)如圖1,在高為2的梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=5,過A,B分別作AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分別為E,F.已知DE=1,將梯形ABCD沿AE,BF同側(cè)折起,得空間幾何體ADE-BCF,如圖2. (1)若AF⊥BD,證明:△BDE為直角三角形. (2)在(1)的條件下,若DE∥CF,求三棱錐B-ACD的體積. 【解析】(1)由已知得四邊形ABEF是正方形,且邊長為2, 如圖,取BE與AF的交點(diǎn)為O,則AF⊥BE, 由已知得AF⊥BD,BE∩BD=B,所以AF⊥平面BDE, 又DE?平面BDE,所以AF⊥DE, 又AE⊥DE,AE∩AF=A,所以DE⊥平面ABFE, 又BE?平面ABFE,所以DE⊥BE, 所以△BDE為直角三角形. (2)如圖,取AC中點(diǎn)G,連接OG,DG, 則OG12CF,由已知得DE12CF, 所以O(shè)GDE,則四邊形DEOG為平行四邊形, 所以O(shè)E∥GD,即BE∥GD, 又BE?平面ACD,GD?平面ACD,所以BE∥平面ACD, 故三棱錐B-ACD的體積VB-ACD=VE-ACD, 因為AE⊥DE,AE⊥EF,DE∩EF=E,所以AE⊥平面CDEF,即AE⊥平面CDE, 所以AE為三棱錐A-CDE的高, 所以VE-ACD=VA-CDE=13S△CDEAE=13S△DEFAE, 由S△DEF=12DEEF=1212=1, 得VA-CDE=1312=23, 所以三棱錐B-ACD的體積為23.