《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修4-5.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修4-5.doc（7頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例
[課時(shí)作業(yè)]
[A組 基礎(chǔ)鞏固]
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋
1)時(shí)，第一步即證下述哪個(gè)不等式成立( )
A．1<2 B．1＋<2
C．1＋＋<2 D．1＋<2
解析：∵n∈N＋，且n>1，
∴第一步n＝2，左邊＝1＋＋，右邊＝2，
即1＋＋<2，應(yīng)選C.
答案：C
2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋>成立時(shí)，起始值n0至少應(yīng)取( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：1＋＋＋＋＋…＋＝，
n－1＝6，n＝7，故n0＝8.
答案：B
3．用數(shù)學(xué)歸納法證明 “Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N＋)”時(shí)，S1等于( )
A. B．
C. ＋ D．＋＋
解析：因?yàn)镾1的首項(xiàng)為＝，末項(xiàng)為＝，所以S1＝＋＋，故選D.
答案：D
4．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，有f(k)滿足：當(dāng)“f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命題總成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，則當(dāng)k<5時(shí)，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，則當(dāng)k≥8時(shí)，均有f(k)42，因此對于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．
答案：D
5．某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．現(xiàn)已知當(dāng)n＝5時(shí)該命題不成立，那么可推得( )
A．當(dāng)n＝6時(shí)該命題不成立
B．當(dāng)n＝6時(shí)該命題成立
C．當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立
D．當(dāng)n＝4時(shí)該命題成立
解析：與“如果當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立”等價(jià)的命題為“如果當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題不成立，則當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，命題也不成立”．故知當(dāng)n＝5時(shí)，該命題不成立，可推得當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立，故選C.
答案：C
6．觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，可歸納出一般性結(jié)論：________.
解析：由題意得1＋＋＋…＋<(n∈N＋)．
答案：1＋＋＋…＋<(n∈N＋)
7．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈N＋，a≠kπ，n∈N＋)，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是________．
答案：＋cos α
8．用數(shù)學(xué)歸納法證明：2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證________．
答案：n＝1時(shí)，22≥12＋1＋2，即4＝4
9．證明不等式：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋ )．
證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2，不等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，命題成立，即
1＋＋＋…＋<2(k∈N＋)．
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝1＋＋＋…＋＋<2＋＝，
現(xiàn)在只需證明<2，
即證：2<2k＋1，
兩邊平方，整理得0<1，顯然成立．
∴<2成立．
即1＋＋＋…＋＋<2成立．
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．
由(1)(2)知，對于任何正整數(shù)n原不等式都成立．
10．設(shè)Sn＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，設(shè)計(jì)算S1，S2，S3，并猜想Sn的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．
解析：∵S1＝＝＝，
S2＝＋＝＝，
S3＝＋＋＝＝，
……
猜想Sn＝(n∈N＋)．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊S1＝＝，右邊＝＝，等式成立．
(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)等式成立，即
＋＋＋…＋＝，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
＋＋＋…＋＋＝＋
＝＝＝，
這就是說，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立．
由(1)(2)可知，
等式Sn＝對n∈N＋都成立．
[B組 能力提升]
1．觀察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,
1＋＋＋…＋>，…，由此猜測第n(n∈N＋)個(gè)不等式為( )
A．1＋＋＋…＋>
B．1＋＋＋…＋>
C．1＋＋＋…＋>
D．1＋＋＋…＋>
解析：∵1,3,7,15,31，…的通項(xiàng)公式為an＝2n－1，
∴不等式左邊應(yīng)是1＋＋＋…＋.
∵，1，，2，，…的通項(xiàng)公式為bn＝，
∴不等式右邊應(yīng)是.
答案：C
2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“＋＋…＋>(n>2，n∈N＋)”時(shí)的過程中，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊( )
A．增加了一項(xiàng)
B．增加了兩項(xiàng)，
C．增加了兩項(xiàng)，，又減少了一項(xiàng)
D．增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)
解析：當(dāng)n＝k時(shí)，左邊＝＋＋…＋.
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋.
故由n＝k到n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)．
答案：C
3．用數(shù)學(xué)歸納法證明某不等式，其中證n＝k＋1時(shí)不等式成立的關(guān)鍵一步是：＋>＋( )>，括號中應(yīng)填的式子是________．
解析：由>k＋2，聯(lián)系不等式的形式可知，應(yīng)填k＋2.
答案：k＋2
4．設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)，n∈N＋，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，則M，N的大小關(guān)系為________(提示：利用貝努利不等式，令x＝)．
解析：令x＝，∵M(jìn)＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，
∴＝(1＋x)n，＝1＋nx.
∵a>0，b>0，∴x>0.
由貝努利不等式得(1＋x)n>1＋nx.
∴>，∴M>N
答案：M>N
5．對于一切正整數(shù)n，先猜出使tn>n2成立的最小的正整數(shù)t，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，并再證明不等式：n(n＋1)>lg(123…n)．
證明：猜想當(dāng)t＝3時(shí)，對一切正整數(shù)n使3n>n2成立．下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
當(dāng)n＝1時(shí)，31＝3>1＝12，命題成立．
假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，3k>k2成立，
則有3k≥k2＋1.
對n＝k＋1,3k＋1＝33k＝3k＋23k
>k2＋2(k2＋1)>3k2＋1.
∵(3k2＋1)－(k＋1)2
＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，
∴3k＋1>(k＋1)2，
∴對n＝k＋1，命題成立．
由上知，當(dāng)t＝3時(shí)，對一切n∈N＋，命題都成立．
再用數(shù)學(xué)歸納法證明：
n(n＋1)>lg(123…n)．
當(dāng)n＝1時(shí)，1(1＋1)＝>0＝lg 1，命題成立．
假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，
k(k＋1)>lg(123…k)成立．
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)(k＋2)
＝k(k＋1)＋2(k＋1)
>lg(123…k)＋lg 3k＋1
>lg(123…k)＋lg(k＋1)2
＝lg[123…k(k＋1)]，命題成立．
由上可知，對一切正整數(shù)n，命題成立．
6．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，公比q＝3，Sn是它的前n項(xiàng)和．
求證：≤.
證明：由已知，得Sn＝3n－1，
≤等價(jià)于≤，即3n≥2n＋1.(*)
法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明上面不等式成立．
①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝3，右邊＝3，所以(*)成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，(*)成立，即3k≥2k＋1，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
3k＋1＝33k≥3(2k＋1)＝6k＋3≥2k＋3＝2(k＋1)＋1，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(*)成立．
綜合①②，得3n≥2n＋1成立．
所以≤.
法二：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝3，右邊＝3，所以(*)成立．
當(dāng)n≥2時(shí)，3n＝(1＋2)n＝C＋C2＋C22＋…＋C2n＝1＋2n＋…>1＋2n，所以(*)成立．
所以≤.
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