2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 概率與統(tǒng)計(jì) 課后綜合提升練 1.4.2 概率及其與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 文.doc

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第二講　概率及其與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 (25分鐘　50分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.《中華好詩詞》是由河北電視臺(tái)創(chuàng)辦的令廣大觀眾喜聞樂見的節(jié)目,旨在弘揚(yáng)中國古代詩詞文化,觀眾可以選擇從A,B,C和河北衛(wèi)視這四家視聽媒體的播放平臺(tái)中觀看,若甲、乙兩人各自隨機(jī)選擇一家播放平臺(tái)觀看此節(jié)目,則甲、乙兩人中恰有一人選擇在河北衛(wèi)視觀看的概率是 (　　) A.12 B.38 C.14 D.316 【解析】選B.甲、乙兩人從A,B,C和河北衛(wèi)視這四家播放平臺(tái)隨機(jī)選擇一家有44=16(種)等可能情況,其中甲、乙兩人恰有一人選擇在河北衛(wèi)視觀看的情況有23=6(種),所以所求概率為:616=38. 2.如果一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字互不相同,且各位數(shù)字之和等于10,則稱此三位數(shù)為“十全十美三位數(shù)”(如235),任取一個(gè)“十全十美三位數(shù)”,該數(shù)為奇數(shù)的概率為 (　　) A.1320 B.720 C.12 D.512 【解析】選C.十全十美三位數(shù)分為以下2類: (1)含有0:0,1,9;0,2,8;0,3,7;0,4,6,因?yàn)閿?shù)字0不能排在首位,所以數(shù)字0只能排在個(gè)位或十位,其余兩個(gè)數(shù)字排在余下的兩個(gè)位置,所以這一類的十全十美三位數(shù)共有422=16個(gè).其中奇數(shù)有4個(gè). (2)不含有數(shù)字0:1,2,7;1,3,6;1,4,5;2,3,5,所以這一類的十全十美三位數(shù)共有432=24個(gè).其中奇數(shù)有16個(gè),所以共有十全十美三位數(shù)16+24=40個(gè),其中奇數(shù)有4+16=20個(gè),所以任取一個(gè)十全十美三位數(shù),該數(shù)為奇數(shù)的概率為2040=12. 3.在邊長為2的正方形中隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)來自正方形的內(nèi)切圓及其內(nèi)部的概率是 (　　) A.12 B.4π C.π2 D.π4 【解析】選D.正方形的面積為4,內(nèi)切圓的面積為π,所以所求的概率為π4. 4.若在區(qū)間[-3,3]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)m,則使直線x-y+m=0與圓(x-1)2+(y+2)2=4有公共點(diǎn)的概率為 (　　) A.13 B.35 C.23 D.223 【解析】選C.圓心(1,-2)到直線x-y+m=0的距離為d=|1+2+m|2,因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn),所以|1+2+m|2≤2,解得-3-22≤m≤-3+22,又因?yàn)閙∈[-3,3],所以所求的概率為226=23. 5.在區(qū)間-π6,π2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則(sin x+cos x)∈[1,2]的概率是 (　　) A.23 B.34 C.12 D.13 【解析】選B.因?yàn)閤∈-π6,π2,由sin x+cos x=2sinx+π4∈[1,2],所以x∈0,π2,所以所求的概率為π2π2+π6=34. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,若向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P,那么使得△ABP與 △ADP的面積都不小于2的概率為____________. 【解析】因?yàn)樵诰匦蜛BCD內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P,所以基本事件空間的度量為矩形的面積43=12,設(shè)三角形ABP的高為h1,由124h1≥2得h1≥1,設(shè)三角形ADP的高為h2,由123h2≥2得h2≥43,所以使得三角形ABP與三角形ADP的面積都不小于2的P對(duì)應(yīng)的區(qū)域(如圖)為陰影部分,它的面積為163,所以所求的概率為16312=49. 答案:49 7.一家大型購物商場委托某機(jī)構(gòu)調(diào)查該商場的顧客使用移動(dòng)支付的情況.調(diào)查人員從年齡在[20,60]內(nèi)的顧客中,隨機(jī)抽取了180人,調(diào)查結(jié)果如表: 年齡(歲) 類型 [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60] 使用 45人 30人 15人 15人 未使用 0人 10人 20人 45人 某機(jī)構(gòu)從被調(diào)查的使用移動(dòng)支付的顧客中,按年齡分層抽樣的方式抽取7人作跟蹤調(diào)查,并給其中2人贈(zèng)送額外禮品,則獲得額外禮品的2人年齡都在[20,30)內(nèi)的概率為____________. 【解析】按年齡分層抽樣時(shí),抽樣比例為745+30+15+15=115,所以應(yīng)從[20,30)內(nèi)抽取3人,從[30,40)內(nèi)抽取2人,從[40,50)內(nèi)抽取1人,從[50,60)內(nèi)抽取1人. 記選出年齡在[20,30)內(nèi)的3人為A,B,C,其他4人為a,b,c,d,7個(gè)人中選取2 人贈(zèng)送額外禮品,有以下情況: AB,AC,Aa,Ab,Ac,Ad, BC,Ba,Bb,Bc,Bd, Ca,Cb,Cc,Cd, ab,ac,ad, bc,bd, cd. 共有21種不同的情況,其中獲得額外禮品的2人都在[20,30)內(nèi)的情況有3種, 所以,獲得額外禮品的2人年齡都在[20,30)內(nèi)的概率為321=17. 答案:17 8.為了解甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次期末聯(lián)考地理成績情況,從這兩所學(xué)校中分別隨機(jī)抽取30名高三年級(jí)的地理成績(百分制)作為樣本,樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示: 從樣本中甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生地理成績不及格(低于60分為不及格)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,則至少抽到一名乙校學(xué)生的概率為_______________. 【解析】由莖葉圖可知,甲校有4位同學(xué)成績不及格,分別記為:1,2,3,4; 乙校有2位同學(xué)成績不及格,分別記為:5,6. 則從兩校不及格的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人有如下可能: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6),總共有15個(gè)基本事件. 記“至少包含乙校一名學(xué)生成績不及格”的事件為A, 則A包含9個(gè)基本事件,如下:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6). 所以,P(A)=915=35. 答案:35 三、解答題 9.(10分)2017年5月27日當(dāng)今世界圍棋排名第一的柯潔在與AlphaGo的人機(jī)大戰(zhàn)中中盤棄子認(rèn)輸,至此柯潔與AlphaGo的三場比賽全部結(jié)束,柯潔三戰(zhàn)全負(fù),這次人機(jī)大戰(zhàn)再次引發(fā)全民對(duì)圍棋的關(guān)注,某學(xué)校社團(tuán)為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示),將日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”. (1)請(qǐng)根據(jù)已知條件完成下面22列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)? 非圍棋迷 圍棋迷 合計(jì) 男 女 10 55 合計(jì) (2)為了進(jìn)一步了解“圍棋迷”的圍棋水平,從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取5名學(xué)生組隊(duì)參加校際交流賽,首輪該校需派兩名學(xué)生出賽,若從5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人出賽,求2人恰好一男一女的概率. 【解析】(1)由頻率分布直方圖可知,(0.020+0.005)10100=25, 所以在抽取的100人中,“圍棋迷”有25人, 從而22列聯(lián)表如下 非圍棋迷 圍棋迷 合計(jì) 男 30 15 45 女 45 10 55 合計(jì) 75 25 100 K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) =100(3010-1545)245557525=10033≈3.030, 因?yàn)?.030<3.841,所以沒有95%的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān). (2)由(1)中列聯(lián)表可知25名“圍棋迷”中有男生15名,女生10名,所以從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取的5名學(xué)生中,有男生3名,記為B1,B2,B3,有女生 2名,記為G1,G2. 則從5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人出賽,基本事件有:(B1,B2),(B1,B3), (B1,G1),(B1,G2),(B2,B3),(B2,G1),(B2,G2),(B3,G1),(B3,G2), (G1,G2),共10種; 其中2人恰好一男一女的有:(B1,G1),(B1,G2), (B2,G1),(B2,G2),(B3,G1),(B3,G2),共6種; 故2人恰好一男一女的概率為610=35. (20分鐘　20分) 1.(10分)2017年10月18日至10月24日,中國共產(chǎn)黨第十九次全國代表大會(huì)(簡稱黨的“十九大”)在北京召開.一段時(shí)間后,某單位就“十九大”精神的領(lǐng)會(huì)程度隨機(jī)抽取100名員工進(jìn)行問卷調(diào)查,調(diào)查問卷共有20個(gè)問題,每個(gè)問題5分,調(diào)查結(jié)束后,發(fā)現(xiàn)這100名員工的成績都在[75,100]內(nèi),按成績分成5組:第1組[75,80),第2組[80,85),第3組[85,90),第4組[90,95),第5組[95,100],繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知甲、乙、丙分別在第3,4,5組,現(xiàn)在用分層抽樣的方法在第3,4,5組共選取6人對(duì)“十九大”精神作深入學(xué)習(xí). (1)求這100人的平均得分(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表). (2)求第3,4,5組分別選取的作深入學(xué)習(xí)的人數(shù). (3)若甲、乙、丙都被選取對(duì)“十九大”精神作深入學(xué)習(xí),之后要從這6人隨機(jī)選取2人再全面考查他們對(duì)“十九大”精神的領(lǐng)會(huì)程度,求甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率. 【解析】(1)這100人的平均得分為: x=575+8020.01+80+8520.07+85+902 0.06+90+9520.04+95+10020.02=87.25. (2)第3組的人數(shù)為0.065100=30, 第4組的人數(shù)為0.045100=20, 第5組的人數(shù)為0.025100=10,故共有60人, 所以用分層抽樣在這三個(gè)組選取的人數(shù)分別為:3,2,1. (3)記其他人為丁、戊、巳, 則所有選取的結(jié)果為(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、丁)、(甲、戊)、(甲、巳)、(乙、丙)、(乙、丁)、(乙、戊)、(乙、巳 )、(丙、丁)、(丙、戊)、(丙、巳)、(丁、戊)、(丁、巳 )、(戊、巳)共15種情況,其中甲、乙、丙這3人至多有一人被選取有12種情況,故甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率為P=1215=45. 2.(10分)據(jù)統(tǒng)計(jì),2017年國慶中秋節(jié)假日期間,黔東南州共接待游客590.23萬人次,實(shí)現(xiàn)旅游收入48.67億元,同比分別增長44.57%,55.22%.旅游公司規(guī)定:若公司導(dǎo)游接待旅客,旅游年總收入不低于40(單位:百萬元),則稱為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗(yàn)表明,如果公司的優(yōu)秀導(dǎo)游率越高,則該公司的影響度越高.已知甲、乙兩家旅游公司各有導(dǎo)游100名,統(tǒng)計(jì)他們一年內(nèi)旅游總收入,分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下: 分組 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 頻數(shù) b 18 49 24 5 (1)求a,b的值,并比較甲、乙兩家旅游公司,哪家的影響度高? (2)若導(dǎo)游的獎(jiǎng)金y(單位:萬元)與其一年內(nèi)旅游總收入x(單位:百萬元)之間的關(guān)系為 求甲公司導(dǎo)游的年平均獎(jiǎng)金. (3)從甲、乙兩家公司旅游收入在[50,60]的總?cè)藬?shù)中,用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行表彰,其中有兩名導(dǎo)游代表旅游行業(yè)去參加座談,求參加座談的導(dǎo)游中有乙公司導(dǎo)游的概率. 【解析】(1)由直方圖知:(0.01+0.025+0.035+a+0.01)10=1,有a=0.02, 由頻數(shù)分布表知:b+18+49+24+5=100,有b=4. 所以甲公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為:(0.02+0.01)10100%=30%; 乙公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為:24+5100100%=29%, 由于30%>29%,所以甲公司的影響度高. (2)甲公司年旅游總收入[10,20)的人數(shù)為0.0110100=10(人); 年旅游總收入[20,40)的人數(shù)為(0.025+0.035)10100=60(人); 年旅游總收入[40,60]的人數(shù)為(0.02+0.01)10100=30(人); 故甲公司導(dǎo)游的年平均獎(jiǎng)金y=110+602+303100=2.2(萬元). (3)由已知得,年旅游總收入在[50,60]的人數(shù)為15人,其中甲公司10人,乙公司5人.按分層抽樣的方法甲公司抽取61015=4人,記為a,b,c,d;從乙公司抽取6515=2人,記為1,2.則6人中隨機(jī)抽取2人的基本事件有: (a,b),(a,c),(a,d),(a,1),(a,2),(b,c),(b,d),(b,1),(b,2),(c,d),(c,1), (c,2), (d,1),(d,2),(1,2)共15個(gè). 參加座談的導(dǎo)游中有乙公司導(dǎo)游的基本事件有:(a,1),(a,2),(b,1),(b,2), (c,1),(c,2),(d,1),(d,2),(1,2)共9個(gè). 設(shè)事件A為“參加座談的導(dǎo)游中有乙公司導(dǎo)游”,則P(A)=915=35, 所以所求概率為35.