2019-2020年蘇教版選修2-3高中數(shù)學(xué)1.5《二項式定理》word導(dǎo)學(xué)案.doc
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2019-2020年蘇教版選修2-3高中數(shù)學(xué)1.5《二項式定理》word導(dǎo)學(xué)案 學(xué)習(xí)目標(biāo) 重點、難點 1.理解并掌握二項式定理的項數(shù)、系數(shù)、二項式系數(shù)、通項的特征,熟記它的展開式; 2.能應(yīng)用展開式的通項公式求展開式中的特定項; 3.掌握二項展開式的有關(guān)性質(zhì),能利用展開式的性質(zhì)計算和證明一些簡單問題. 重點:二項式定理及通項公式. 難點:二項式定理的實際應(yīng)用. 1.二項式定理 (a+b)n=Can+Can-1b+…+an-rbr+…+Cbn(n∈N*). 這個公式叫做二項式定理,右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式,它一共n+1項,其中an-rbr叫做二項展開式的第r+1項(也稱通項),用Tr+1表示,即Tr+1=an-rbr. (r=0,1,…,n)叫做第r+1項的二項式系數(shù). 預(yù)習(xí)交流1 你是如何理解和記憶二項式定理的? 提示:二項式定理是一個恒等式,左邊是二項式冪的形式,右邊是二項式的展開式,各項的次數(shù)都等于二項式的冪的次數(shù)為n;字母a按降冪排列,次數(shù)由n遞減到0;字母b按升冪排列,次數(shù)由0遞增到n. 2.二項式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 一般地,(a+b)n展開式的二項式系數(shù)C,C,…,C有如下性質(zhì): ①C=C;②C+C=C;③當(dāng)r<時,<C,當(dāng)r>時,C<;④C+C+C+…+C=2n. 預(yù)習(xí)交流2 如何說明C-C+C-C+…+(-1)nC=0. 提示:利用賦值法,令公式中的a=1,b=-1,展開就會得到上式. 在預(yù)習(xí)中,還有哪些問題需要你在聽課時加以關(guān)注?請在下列表格中做個備忘吧! 我的學(xué)困點 我的學(xué)疑點 一、二項式定理 求4的展開式. 思路分析:直接利用二項式定理展開,注意每一項都符合通項公式,也可先將原式變形后再展開. 解:解法一:4=C(3)40+C(3)31+C(3)22+C(3)3+C(3)04=81x2+108x+54++. 解法二:4=4==(81x4+108x3+54x2+12x+1)=81x2+108x+54++. 求二項式10的展開式中的常數(shù)項. 解:設(shè)第r+1項為常數(shù)項,則(x2)10-rr= r(r=0,1,…,10), 令20-r=0得r=8,所以第9項為常數(shù)項,常數(shù)項為C8=. 利用二項式定理求展開式中某特定項,通常的做法是先確定通項公式中的r的值或取值范圍,但要注意區(qū)分二項式系數(shù)、項的系數(shù)及項的關(guān)系. 二、二項式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 如果(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7=__________. 思路分析:比較展開式與a1+a2+…+a7結(jié)構(gòu),會發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=1時,含有a1+a2+…+a7,即(1-2)7=a0+a1+a2+…+a7=-1,從而只要知道a0即可. 答案:-2 解析:令x=0得(1-20)7=a0,∴a0=1. 再令x=1,則有(1-21)7=a0+a1+a2+…+a7, ∴a0+a1+a2+…+a7=-1. ∴a1+a2+…+a7=-1-a0=-1-1=-2. 設(shè)(1-2x)2 012=a0+a1x+a2x2+…+a2 012x2 012(x∈R). (1)求a1+a3+a5+…+a2 011的值. (2)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 012|的值. 解:(1)令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2 012=32 012.① 令x=1,得a0+a1+a2+a3+…+a2 012=(-1)2 012=1.② 由①②,得2(a1+a3+a5+…+a2 011)=1-32 012, ∴a1+a3+a5+…+a2 011=. (2)∵Tr+1=12 012-r(-2x)r=(-1)r(2x)r, ∴a2k-1<0(k∈N*),a2k>0(k∈N*). ∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 012| =a0-a1+a2-a3+…+a2 012=32 012. 求展開式的系數(shù)和關(guān)鍵是給字母賦值,賦值需根據(jù)展開式系數(shù)的特征來定,一般地,多項式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn的各項系數(shù)和為f(1),奇數(shù)項系數(shù)和為,偶數(shù)項系數(shù)的和為. 1.n(n∈N*)的展開式中,若存在常數(shù)項,則n的最小值為__________. 答案:5 解析:Tr+1=(2x3)n-rr=2n-rx3n-5r. 令3n-5r=0, 又∵0≤r≤n,r,n∈Z,∴n的最小值為5. 2.(1+2)3(1-)5的展開式中x的系數(shù)是__________. 答案:2 解析:(1+2)3(1-)5=(1+6+12x+8x)(1-)5, 故(1+2)3(1-)5的展開式中含x的項為1C(-)3+12xC=-10x+12x=2x. 3.5(x∈R)展開式中x3的系數(shù)為10,則實數(shù)a等于__________. 答案:2 解析:Tr+1=xr5-r=a5-rx2r-5,令2r-5=3, ∴r=4.∴Ca=10,解得a=2. 4.在20的展開式中,系數(shù)是有理數(shù)的項共有多少項? 解:Tr+1=(x)20-rr=r()20-rx20-r. ∵系數(shù)為有理數(shù),∴()r與均為有理數(shù). ∴r能被2整除,且20-r能被3整除. ∴r為偶數(shù),20-r是3的倍數(shù),0≤r≤20, ∴r=2,8,14,20,∴符合題意的有4項. 5.m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n展開式中x的系數(shù)為19,求x2的系數(shù)的最小值及此時展開式中x7的系數(shù). 解:由題設(shè)知m+n=19,∵m,n∈N*, ∴… x2的系數(shù)為C+C=(m2-m)+(n2-n)=m2-19m+171. ∴當(dāng)m=9或10時,x2的系數(shù)取最小值81,此時x7的系數(shù)為C+C=156. 用精練的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來,并進行識記. 知識精華 技能要領(lǐng)- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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